相关试卷

1、[类比思想]利用我们学过的知识，可以导出下面这个等式：
$a^{2} + b^{2} + c^{2} - a b - b c - a c = \frac{1}{2} [{(a - b)}^{2} + {(b - c)}^{2} + {(c - a)}^{2}]$ ．
该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美．

(1)、请你展开右边检验这个等式的正确性；

(2)、利用上面的式子计算： $202 6^{2} + 202 7^{2} + 202 8^{2} - 2026 \times 2027 - 2027 \times 2028 - 2026 \times 2028$ ．

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2、【阅读理解】对于二次多项式 $x^{2} - 4 x - 21$ ，我们把 $x = - 3$ 代入多项式，发现 $x^{2} - 4 x - 21 = 0$ ，由此可以推断多项式中有因式 $(x + 3)$ [注：把 $x = a$ 代入多项式，若能使多项式的值为0，则多项式中有因式 $(x - a)]$ ．设另一个因式为 $(x + k)$ ，则有 $x^{2} - 4 x - 21 = (x + 3) (x + k) = x^{2} + (k + 3) x + 3 k$ ，所以 $k + 3 = - 4$ ，解得 $k = - 7$ ，因此多项式因式分解得 $x^{2} - 4 x - 21 = (x + 3) (x - 7)$ ．我们把以上因式分解的方法叫作“试根法”．
【解决问题】

(1)、当 $x =$ 时，多项式 $x^{2} - 4 = 0$ ，所以 $x^{2} - 4$ 可以因式分解为；

(2)、对于三次多项式 $x^{3} - x^{2} - 3 x + 3$ ，我们把 $x = 1$ 代入多项式，发现 $x^{3} - x^{2} - 3 x + 3 = 0$ ，由此可以推断多项式中有因式 $(x - 1)$ ，设另一个因式为 $(x^{2} + a x + b)$ ，则有 $x^{3} - x^{2} - 3 x + 3 = (x - 1) (x^{2} + a x + b)$ ，求 $a, b$ 的值；

(3)、对于三次多项式 $x^{3} + 4 x^{2} - 3 x - 18$ ，用“试根法”因式分解．

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3、已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 满足 $a^{2} + b^{2} + c^{2} + 50 = 6 a + 8 b + 10 c$ ，试求 $a + 2 b + c$ 的值．

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4、对于任意自然数 $n, {(n + 8)}^{2} - {(n - 4)}^{2}$ 是否能被24整除？

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5、分解因式：

(1)、 $a^{2} + 8 a + 16$ ；

(2)、 $3 a^{2} - 12 a b + 12 b^{2}$ ；

(3)、 $- a^{2} - 4 b^{2} + 4 a b$ ；

(4)、 ${(a + b)}^{2} + 6 (a + b) + 9$

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6、定义：如果一个正整数能表示为两个正整数 $m$ ， $n$ 的平方差，且 $m - n > 1$ ，则称这个正整数为“智慧优数”．例如， $16 = 5^{2} - 3^{2}$ ， 16就是一个“智慧优数”，可以利用 $m^{2} - n^{2} = (m + n) (m - n)$ 进行研究．若将“智慧优数”从小到大排列，第4个“智慧优数”是．

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7、设 $a = 1 9^{2} \times 918$ ， $b = 88 8^{2} - 3 0^{2}$ ， $c = 69 8^{2} - 22 0^{2}$ ，则a，b，c的大小关系为．（用“<”号连接）

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8、已知 $a - b + c = 5$ ，且 $a^{2} - (b - c)^{2} = 20$ ，则 $a + b - c$ 的值为．

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9、多项式 $3 x^{2} - m x + 6$ 的一个因式为 $x - 3$ ，则m的值为．

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10、已知 $a, b, c$ 是三角形ABC的三边长，则 ${(a^{2} + b^{2} - c^{2})}^{2} - 4 a^{2} b^{2}$ 的取值为（）

A、大于0 B、等于0 C、小于0 D、非负数

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11、若 $n$ 为整数，则代数式 $(3 n + 3) (n + 3) - 6$ 的值一定可以（）

A、被9整除 B、被6整除 C、被3整除 D、被2整除

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12、若 $x^{2} - y^{2} = 7$ ，则 ${(x + y)}^{2} {(x - y)}^{2}$ 的值为（）

A、14 B、21 C、49 D、56

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13、因式分解 $6 a {(a - b)}^{2} - 4 {(b - a)}^{3}$ 时，应提取的公因式是（）

A、6a B、 $6 a {(a - b)}^{3}$ C、 $4 a (a - b)$ D、 $2 {(a - b)}^{2}$

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14、下面是甲、乙两位同学因式分解 $- x^{3} + x$ 的结果，下列判断正确的是（）
甲同学：原式 $= - x (x + 1) (x - 1)$
乙同学：原式 $= x (1 + x) (1 - x)$

A、只有甲的结果正确 B、只有乙的结果正确 C、甲、乙的结果都正确 D、甲、乙的结果都不正确

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15、已知 $a + b = 4, a b = 3$ ，则 $a^{3} b + a b^{3}$ 的值等于（）

A、24 B、26 C、28 D、30

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16、将多项式 $4 x^{2} + 1$ 加上一项，使它能化成 ${(a + b)}^{2}$ 的形式，以下是四位学生所加的项，其中错误的是（）

A、 $4 x$ B、 $- 4 x$ C、 $4 x^{4}$ D、 $2 x$

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17、若长为 $a$ ，宽为 $b$ 的长方形周长为10，面积为6，则 $a^{2} b + a b^{2}$ 的值是（）

A、60 B、16 C、30 D、1

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18、我们在解决问题的时候，常通过全等变换将分散的边或角等条件相对集中在一起，构建起新的联系，从而解决问题．通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的.

(1)、【发现问题】如图①，点E，F分别是正方形ABCD的边AD，AB上的点，连接CE，CF，EF，若∠ECF＝45°，则线段BF，DE，EF之间的数量关系是；

(2)、【类比探究】如图②，P为正方形ABCD内一点，若PA＝1，PB＝2，PC＝3，求∠APB的度数；

(3)、【拓展延伸】如图③，在四边形ABCD中，∠ABC＝30°，∠ADC＝60°，AD＝CD.试探究AB，BC，BD之间的数量关系，并说明理由．

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19、正方形OABC的边长为2，点D是线段AB上的一个动点，以OD为边在OD的右侧作正方形ODEF，连接CD，FA.

(1)、如图①，建立平面直角坐标系，O为原点，若BD的长度为 $\frac{1}{2}$ ，求点E的坐标；

(2)、如图②，探究CD与FA的数量、位置关系；

(3)、如图②，连接CF，直接写出CD＋CF的最小值．

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20、将两张完全相同的矩形纸片ABCD和矩形纸片FBED按如图方式放置，BD为两者重合的对角线，重叠部分为四边形DHBG.

(1)、试判断四边形DHBG为何种特殊的四边形，并说明理由；

(2)、若AB＝8，AD＝4，求四边形DHBG的面积．

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