相关试卷

1、阅读材料解决问题：
物体重心的位置对于物体保持平衡、运动和稳定的状态至关重要，例如，比赛中运动员在转向时，通过调整身体重心的位置来改变滑行方向；杂技演员在表演转盘的时候，用木棍支撑盘子的重心以使盘子长时间地转动；飞机的重心位于合适的位置时，不仅有利于飞机在飞行状态下保持平衡和稳定，而且能使飞机具有良好的操纵性能等等．
（1）简单平面图形的重心位置
我们学习了三角形的重心，知道三角形的重心是三条中线的交点．我们可以用平衡法、悬挂法等方法确定这些简单平面图形的重心位置，发现重心位置都位于它们的几何中心．
任务一、作出图1、图2的重心 $G_{1}$ ， $G_{2} ．$
（2）合平面图形的重心位置
在平面内，图形A与图形B拼成一个图形 $C$ （无缝隙、不重叠），那么图形C的重心一定在图形A的重心与图形B的重心连接的线段上．根据这一结论，我们可以确定两个简单平面图形拼成的图形重心位置．例如：要确定图3的重心G的位置，可以将图3用两种方法分割成两个简单图形（如图4、图5），则重心G在这两个基本图形的重心M， $N (P, Q)$ 所连线段 $M N (P Q)$ 上，所以图3的重心为线段 $M N 、 P Q$ 的交点 $G$ （如图6）．
任务二、作出图7的重心 $G ．$
（3）跳高是一种需要技巧和力量的运动，常见的方法有跨越式、滚式和背越式，如图 $8 ．$
任务三、如果将不同方法的运动员体态抽象为平面图形，请根据材料中内容，解释为什么跳高运动员采用“背越式”成绩往往比采用“跨越式”和“滚式”更好．

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2、已知 $m, n$ 是方程 $x^{2} + 2 x - 3 = 0$ 的两个实数根，则代数式 $m^{2} + 3 m n + n^{2} =$ ．

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3、若关于x的方程 $(b - 3) x^{3 a - 2} + 6 = 0$ 是一元一次方程，则a，b应满足什么条件？

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4、某中学学生步行到郊外旅行，七年级（1）班学生组成前队，步行速度为 $4 km/h$ ，七年级（2）班的学生组成后队，速度为 $6 km/h$ ．前队出发 $1 h$ 后，后队才出发，后队追上前队需要多长时间？

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5、（1）若a，b两数在数轴上的表示如下：那么请根据图形化简代数式 $|a + b| - |a - 1| + |b + 2|$ ；
（2）若有理数a，b满足 $|a - 2015| + |b + 100| = 0$ ，求（1）中化简后式子的值．

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6、化简

(1)、 $- 2 y^{2} + (3 x y^{2} - x^{2} y) - 2 (x y^{2} - y^{2})$ ；

(2)、 $- 4 a^{2} - [5 a - 8 a^{2} - (2 a^{2} - a) + 9 a^{2}]$ ．

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7、某商场1月份销售额为x万元，2月份销售额比1月份增加 $20 %$ ， 3月份的销售额是2月份的 $\frac{2}{3}$ 倍还多8万元．用代数式表示第一季度的总销售额为万元．当 $x = 55$ 时，第一季度的总销售额为万元．

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8、如图，两条直线相交，有1个交点，三条直线相交最多有3个交点，四条直线相交最多有6个交点，则七条直线相交最多有个交点．

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9、已知 $\{\begin{matrix} x = 1 \\ y = - 3 \end{matrix}$ 是方程 $2 m x - y = - 1$ ( $m$ 为常数) 的解，则 $m$ 的值为．

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10、若方程组 $\{\begin{array}{l} 2 x + y = m \\ 2 x - y = 10 \end{array}$ 的解为 $\{\begin{array}{l} x = 3 \\ y = n \end{array}$ ，小亮求解时不小心滴上了两滴墨水，刚好遮住了 $m$ 和 $n$ 两数，则这两数分别为（）

A、6和4 B、10和0 C、2和 $- 4$ D、4和2

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11、如图，点C，D为线段 $A B$ 上两点， $A C + B D = a$ ，且 $A D + B C = \frac{3}{2} A B$ ，则 $C D$ 等于（）

A、 $\frac{2}{3} a$ B、 $2 a$ C、a D、 $\frac{3}{5} a$

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12、在数轴上和有理数 $a, b, c$ 对应的点的位置如图所示，有下列四个结论：
① $a < - 1 < 0 < b < c < 1$ ；② $(a - 1) (b - 1) (c - 1) < 0$ ， ③ $|a - b| + |b - c |=| a - c|$ ；④ $|a| < 1 - b c$ ．其中正确结论的个数为（）

A、4个 B、3个 C、2个 D、1个

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13、用代数式表示比 $a$ 的平方的一半小 $1$ 的数是（）

A、 ${(\frac{1}{2})}^{2}$ B、 $\frac{1}{2} a^{2} - 1$ C、 $\frac{1}{2} {(a - 1)}^{2}$ D、 ${(\frac{1}{2} a - 1)}^{2}$

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14、下列式子： $a^{2} + 3$ ， $- 8 x$ ， 0， $\frac{5}{a}$ ， $\frac{x + 3 y}{2}$ ，整式的个数是（）

A、5 B、4 C、3 D、2

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15、下列各式中不是代数式的是（）

A、 $- 5 \frac{5}{7}$ B、 $3 x - 2 y - 1$ C、 $a b = b a$ D、 $\frac{5}{v}$

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16、如图，在等边 $△ A B C$ 中，D为 $B C$ 边上一点，E为 $A C$ 边上一点，且 $∠ A D E = 60 °$ ， $B D = 4$ ， $C E = 2$ 则等边 $△ A B C$ 的边长为（）

A、6 B、7 C、8 D、9

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17、如图，等腰 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ A = 60 °$ ， $B E ⊥ A C$ 于点 $E$ ，延长 $B C$ 至点 $F$ ，使 $C F =$ $C E$ ，连接 $F E$ ．

(1)、求 $∠ A B C$ 的度数；

(2)、求证： $B E = F E$ ．

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18、中式古典园林中大部分月亮门（如图1）可以看作圆的一部分，图2是一个月亮门的示意图，E是 $⊙ O$ 上一点， $E M$ 经过圆心O，且 $E M ⊥$ 弦 $C D$ ，垂足为M．已知 $C D = 2 m$ ， $E M = 3 m$ ．求这个月亮门的最大宽度（ $⊙ O$ 的直径）．

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19、下面是爱思考的小颖同学在学习了一元二次方程的解法之后，又探索发现了一元二次方程的另一种解法．请认真阅读小颖同学的解法，并完成下面的相关任务．
【阅读材料】
解方程： $x (x + 4) = 6$ ．
小颖同学的解法：将原方程变形，得 $(x + 0) (x + 4) = 6$ ，
再变形，得 $[(x + 2) - 2] [(x + 2) + 2] = 6$ ，
所以， ${(x + 2)}^{2} - 2^{2} = 6$ ，
所以， ${(x + 2)}^{2} = 6 + 2^{2}$ ，
所以， ${(x + 2)}^{2} = 10$ ，
直接开平方并整理，得 $x_{1} = - 2 + \sqrt{10}, x_{2} = - 2 - \sqrt{10}$ ．
所以，原方程的解为 $x_{1} = - 2 + \sqrt{10}, x_{2} = - 2 - \sqrt{10}$ ．
【用以致学】
请运用小颖同学的解法解下列方程：
（1） $(x + 2) (x + 6) = 5$ ；
（2） $(x - 3) (x + 1) = 12$ ．
【总结感悟】
（3）若在用小颖的方法解关于 $x$ 的方程 $(x + a) (x + b) = c$ （ $a$ ， $b$ ， $c$ 是常数）时，可将其变形为 $[(x + m) - n] [(x + m) + n] = c$ （ $m, n$ 也是常数），则 $m =$ _____， $n =$ _____．（用含 $a, b$ 的式子表示 $m, n$ ）

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20、【感知】已知 $a + b = 5$ ， $a b = 3$ ，求 $a^{2} + b^{2}$ 的值．
解： $∵ a + b = 5$ ，
$∴$ ${(a + b)}^{2} = 5^{2} = 25$ ，即 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = 25$ ．
$∵ a b = 3$ ，
$∴ a^{2} + b^{2} = {(a + b)}^{2} - 2 a b = 25 - 6 = 19$ ．
【探究】参考上述过程，解答下列问题：

(1)、若 $x + y = 4$ ， $x^{2} + y^{2} = 2$ ，则 $x y =$             ；

(2)、如图①所示，若 $a + b + c = 8$ ， $a b + a c + b c = 20$ ，求 $a^{2} + b^{2} + c^{2}$ 的值；

(3)、若 $m$ 满足 ${(m + 3)}^{2} + {(5 - m)}^{2} = 56$ ，求 $(m + 3) (5 - m)$ 的值；

(4)、如图②，在长方形 $A B C D$ 中， $A B = 10$ ， $B C = 6$ ， $E$ 、 $F$ 是 $B C$ 、 $C D$ 上的点，且 $B E = D F$ ，分别以 $F C$ 、 $C E$ 为边在长方形 $A B C D$ 外侧作正方形 $C F G H$ 和 $C E M N$ ，若长方形 $C E P F$ 的面积为50，直接写出图中阴影部分的面积和为                   ．


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