相关试卷

1、同学们，本学期我们认识了无理数，数系从有理数扩充到实数，有理数的所有运算律对实数都适用．任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而0与无理数的积为0．由此可得，如果 $a x + b = 0$ ，其中 $a$ ， $b$ 为有理数， $x$ 为无理数，那么 $a = 0$ 且 $b = 0$ ．运用上述知识，解决下列问题：

(1)、若 $(a + 3) \sqrt{5} + b - 2 = 0$ ，其中 $a$ ， $b$ 为有理数，则 $a =$ ________， $b =$ ________；

(2)、如果 $(3 + \sqrt{2}) a - \sqrt{2} b = 6$ ，其中 $a$ ， $b$ 为有理数，求 $a - 5 b$ 的立方根．

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2、在平面直角坐标系中，已知点 $A$ 的坐标为 $(a + 2, 2 a - 5)$ ．

(1)、在同一平面直角坐标系中，点 $B$ 的坐标为 $(4, 6)$ ，且 $A B ∥ y$ 轴，求点 $A$ 的坐标；

(2)、若点 $A$ 在第二、四象限的角平分线上，求点 $A$ 的坐标．

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3、已知某个正数的两个不同的平方根分别是 $a - 12$ 和 $2 a - 15$ ， $2 a + b - 26$ 的立方根是2．

(1)、求 $a$ ， $b$ 的值；

(2)、求 $a + b$ 的算术平方根．

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4、在平面直角坐标系中，对于平面内任一点 $(a, b)$ ，若规定以下三种变换：
① $f (a, b) = (- a, b)$ ，如 $f (1, 3) = (- 1, 3)$ ；
② $g (a, b) = (b, a)$ ，如 $g (1, 3) = (3, 1)$ ；
③ $h (a, b) = (- a, - b)$ ，如 $h (1, 3) = (- 1, - 3)$ ．
按照以上变换有 $f (g (2, - 3)) = f (- 3, 2) = (3, 2)$ ，那么 $f (g (h (5, 3))) =$ ．

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5、若 $\sqrt[3]{t - 2}$ 与 $\sqrt[3]{2 t - 1}$ 互为相反数，则t的值为．

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6、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = 3 cm$ ， $A C = 4 cm$ ， $B C = 5 cm$ ，将 $△ A B C$ 沿 $B C$ 方向平移，得到 $△ D E F$ ，且 $A C$ 与 $D E$ 相交于点 $G$ ，连接 $A D$ ．则阴影部分的两个三角形周长之和为 $cm$ ．

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7、已知球的体积公式为 $V = \frac{4}{3} π r^{3}$ ( $r$ 为球的半径)，若某小球的体积为 $36 {πcm}^{3}$ ，则该小球的半径为 $cm$ ．

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8、定义： $[x]$ 是不大于数x的最大整数，如： $[2.8] = 2$ ， $[- 2.1] = - 3$ ， $[2] = 2$ ．规定 $x - [x]$ 是x的小数部分．设 $x = 1 + \sqrt{2}$ ， a是x的小数部分，b是 $- x$ 的小数部分； $c = [- x]$ ．则 $a + b + c =$ （）

A、 $- 2$ B、 $\sqrt{2} - 2$ C、0 D、1

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9、在平面直角坐标系中，对于点 $P (x, y)$ ，我们把点 $P (- y + 1, x + 1)$ 叫做点 $P$ 的伴随点，已知点 $A_{1}$ 的伴随点为 $A_{2}$ ，点 $A_{2}$ 的伴随点为 $A_{3}$ ，点 $A_{3}$ 的伴随点为 $A_{4} \dots$ 这样依次得到点 $A_{1}, A_{2}, A_{3}, \dots A_{n}$ $\dots$ ．若点 $A_{1}$ 的坐标为 $(a, b)$ ，则点 $A_{2026}$ 的坐标为（）

A、 $(a, b)$ B、 $(- b + 1, a + 1)$ C、 $(- a, - b + 2)$ D、 $(b - 1, - a + 1)$

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10、如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，如果第一次拐的角 $∠ A = 105 °$ ，第二次拐的角 $∠ B = 120 °$ ，第三次拐的角是 $∠ C$ ，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则 $∠ C$ 是（）

A、 $135 °$ B、 $145 °$ C、 $155 °$ D、 $165 °$

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11、如图，在平面直角坐标系中，一个点从原点出发，按如图所示的路线移动，依次经过点 $A_{1} (1, 1)$ ， $A_{2} (1, - 1)$ ， $A_{3} (2, 0)$ ， $A_{4} (2, - 2) \dots \dots$ 按照此规律，则点 $A_{2026}$ 的坐标为（）

A、 $(2024, - 2023)$ B、 $(2026, - 2025)$ C、 $(1013, - 1013)$ D、 $(1012, - 1010)$

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12、实数 $- 8, 3.14159265, 0, \frac{π}{2}, \sqrt[3]{3}, \frac{3}{11}, \sqrt{9}$ 中，无理数的个数是( )个．

A、1 B、2 C、3 D、4

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13、奇奇发给来访的朋友小明一张旅游简图，并告知大学城的坐标是 $(- 1, 4)$ ，河南博物院的坐标是 $(2, 0)$ ．他们相约在二七纪念塔会合，在这张简图上二七纪念塔的坐标为（）

A、 $(1, - 2)$ B、 $(- 1, - 2)$ C、 $(- 2, 1)$ D、 $(0, - 2)$

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14、下列说法中，正确的是（）

A、有限小数一定是有理数 B、无限小数一定是无理数 C、实数可以分为正实数和负实数两类 D、数轴上的所有点都对应有理数

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15、实数16的平方根是（）

A、4 B、 $\pm 4$ C、2 D、 $\pm 2$

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16、（1）计算： $\sqrt{4} \times \sqrt{9} =$ ______， $\sqrt{4 \times 9} =$ ______； $\sqrt{16} \times \sqrt{25} =$ ______， $\sqrt{16 \times 25} =$ ______；
（2）请根据（1）中的规律进行计算：
① $\sqrt{5} \times \sqrt{125}$ ；② $\sqrt{1 \frac{2}{3}} \times \sqrt{9 \frac{3}{5}}$ ；
（3）已知 $a = \sqrt{2}$ ， $b = \sqrt{10}$ ，用含 $a$ ， $b$ 的式子表示 $\sqrt{40}$ ．

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17、如图，已知 $∠ 1 + ∠ 2 = 180 °$ ， $∠ B = ∠ D E F$ ．证明： $D E ∥ B C$ ．

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18、若a、b互为相反数，c、d互为负倒数，则 $\sqrt{a^{2} - b^{2}} + \sqrt[3]{c d}$ =.

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19、【提出问题】如图1，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，点 $D$ 是 $△ A B C$ 外一点，且 $∠ A B D = ∠ A C D$ ，作 $A E ⊥ B D$ 于点 $E$ ，要研究 $B E$ ， $D E$ ， $C D$ 之间的数量关系．
【特例分析】
（1）如图2， $△ A B C$ 是等边三角形，点 $D$ 是 $△ A B C$ 外一点，且 $∠ A B D = ∠ A C D = 30 °$ ，假设 $D E = a$ ，则 $D C =$ ________， $B E =$ ________， $B E$ 与 $D E + C D$ 之间的数量关系为______．
【猜想证明】
（2）在图1中，（1）中的结论是否仍然成立，请证明你的猜想．
【结论应用】
（3） $△ A B C$ 是边长为2的等边三角形，点 $D$ 是 $△ A B C$ 外一点， $∠ A B D = ∠ A C D$ ，作 $A E ⊥ B D$ 于点 $E$ ．若 $∠ C B D = 15 °$ ， $A E = \sqrt{2}$ ，请直接写出 $△ B C D$ 的周长．

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20、某工厂用如图所示的长方形和正方形纸板，做成如图乙所示的竖式与横式两种长方体形状的无盖纸盒．

(1)、现有正方形纸板162张，长方形纸板340张，若要做两种纸盒共100个，设做竖式纸盒x个．
①根据题意，完成以下表格：
纸盒
纸板
竖式纸盒（个）
横式纸盒（个）
x
$100 - x$
正方形纸板（张）

$2 (100 - x)$
长方形纸板（张）
$4 x$

②按两种纸盒的生产个数来分，有哪几种生产方案？

(2)、若每个竖式纸盒获利2元，横式纸盒获利3元，求上述哪种方案销售利润最大？最大利润是多少？

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纸盒纸板	竖式纸盒（个）	横式纸盒（个）
纸盒纸板	x	$100 - x$
正方形纸板（张）		$2 (100 - x)$
长方形纸板（张）	$4 x$