相关试卷

1、铁道工人把铁轨下面的每根枕木做成一模一样的依据是（）

A、平行线间的距离处处相等 B、两点之间，线段最短 C、垂线段最短 D、两点确定一条直线

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2、如图，在 $▱ A B C D$ 中， $∠ A B C$ 的平分线交 $A D$ 于点M．若 $A B = 5$ ， $B C = 8$ 则 $M D$ 的长为（）

A、3 B、2.5 C、2 D、1

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3、在 $△ A B C$ 中， $∠ A 、 ∠ B 、 ∠ C$ 所对的边分别为a、b、c，下列条件中，不能判定 $△ A B C$ 是直角三角形的是（）

A、 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ B、 $a : b : c = 1 : \sqrt{3} : 2$ C、 $a = 6, b = 8, c = 10$ D、 $∠ A : ∠ B : ∠ C = 3 : 4 : 5$

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4、若二次根式 $\sqrt{x - 6}$ 有意义，则 $x$ 的取值范围是（）

A、 $x \geq 0$ B、 $x \geq 6$ C、 $0 \leq x \leq 6$ D、 $x$ 为一切实数

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5、按要求解答问题：

(1)、【初步探究】
如图1，已知 $△ A B C 、 △ C E F$ 是等腰直角三角形，将 $△ C E F$ 的 $45 °$ 角的顶点与 $C$ 重合，将三角板 $C E F$ 绕点 $C$ 转动， $C F$ 交 $A B$ 于M， $C E$ 交 $A B$ 于 $N$ ．若 $A C = A M$ ，则 $B C$ 与 $B N$ 的数量关系是__________；

(2)、【大胆尝试】
如图2，在三角板 $C E F$ 转动过程中，请探究线段 $A N$ 、 $B M$ 与 $M N$ 之间有怎样的数量关系？并说明理由；

(3)、【拓展应用】
如图3，在（2）的条件下，转动三角板 $C E F$ ，当 $C F$ 与 $A B$ 边的延长线相交于点 $M$ 时，当 $A B = 3 B M, S_{△ B C N} = 8$ 时，求 $△ A B C$ 的面积．

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6、新定义：如果两个实数 $a (a \neq 0)$ 、b使得关于x的分式方程 $\frac{a}{x} - 1 = b$ 的解是 $x = \frac{1}{a + b}$ 成立，那么我们就把实数a，b组成的数对 $[a, b]$ 称为关于x的分式方程 $\frac{a}{x} - 1 = b$ 的一个“友好数对”．
例如： $a = 2$ ， $b = - 3$ 使得关于x的分式方程 $\frac{2}{x} - 1 = - 3$ 的解是 $x = \frac{1}{2 + (- 3)} = - 1$ 成立，所以数对 $[2, - 3]$ 就是关于x的分式方程 $\frac{a}{x} - 1 = b$ 的一个“友好数对”．

(1)、判断下列数对是否为关于 $x$ 的分式方程 $\frac{a}{x} - 1 = b$ 的“友好数对”，若是，请在括号内打“√”．若不是，打“ $\times$ ”．
① $[2, 1]$ （）；② $[3, - 4]$ （）．

(2)、请判断数对 $[n, n - 3]$ 是否有可能是关于 $x$ 的分式方程 $\frac{a}{x} - 1 = b$ 的“友好数对”，如果可能，请求出此时的 $n$ 需满足什么条件？如果不可能，请说明理由．

(3)、若数对 $[- 4, k n] (k < - 3, n \neq 0)$ ，是关于 $x$ 的分式方程 $\frac{a}{x} - 1 = b$ 的“友好数对”， $M = \frac{k}{k + 1} - \frac{2}{n + 2}$ ， $N = \frac{1}{2 k + 3} + \frac{n}{n + 3}$ ，试比较M、N的大小．

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7、按要求解答下列问题：

(1)、若关于 $x$ ， $y$ 的二元一次方程组 $\{\begin{array}{l} 5 x + y = - m + 6 \\ 3 x - y = 7 m - 8 \end{array}$ 的解满足 $x + y \geq 2$ ，求 $m$ 的取值范围；

(2)、已知a，b，c是 $△ A B C$ 的三条边，且满足 $a^{2} - c^{2} + a b - b c = 0$ ，请判断 $△ A B C$ 的形状并说明理由．

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8、如图，等边 $△ A B C$ 中， $A B = 6, D$ 是 $A C$ 上一点，且 $A D = \frac{1}{3} A C$ ，点 $M$ 为AB边上一动点，连接 $D M$ ，将线段 $D M$ 绕点 $D$ 按逆时针方向旋转 $60 °$ 至 $D N$ ，连接 $C N$ 、 $A N$ ，则 $A N + C N$ 的最小值为．

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9、若关于 $x$ 的不等式组 $\{\begin{array}{l} 4 x + 1 > 3 (x - 1) \\ \frac{3 x + a}{4} \leq 2 - x \end{array}$ 有解且仅有两个偶数解，且关于 $y$ 的分式方程 $\frac{a - 8}{y - 2} - 2 = \frac{y}{2 - y}$ 的解为非负数，则满足条件的所有整数 $a$ 的值的和为．

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10、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 60 °$ ， $D$ 为 $A B$ 上一点．若 $C D = C B$ ， $A D = 1$ ， $B D = 2$ ，则 $C B$ 的长为．

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11、若关于x的分式方程 $\frac{x}{x - 2} + \frac{k}{2 - x} = 3$ 有增根，则 $k =$ ．

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12、如图1，直线 $A B$ ： $y = - 4 x - 8$ 与直线 $A C$ 交于 $y$ 轴上一点 $A$ ，点 $B$ 在 $x$ 轴负半轴上，点 $C$ 在 $x$ 轴正半轴上， $O C = 4$ ．

(1)、求直线 $A C$ 的函数表达式；

(2)、若线段 $A C$ 的垂直平分线与 $y$ 轴交于点 $P$ ，求 $△ A P C$ 的面积；

(3)、点 $E$ 是直线 $A C$ 上的一个动点，在 $y$ 轴上找一点 $F$ ，连接 $B E ， E F ， F B$ ，当 $△ B E F$ 是以 $E F$ 为底边的等腰直角三角形时，直接写出 $F$ 点的坐标．

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13、某文具店计划购进 $A$ 、 $B$ 两种文件袋，购进 $A$ 款共用960元，购进 $B$ 款共用1680元． $B$ 款数量是 $A$ 款的1.5倍， $B$ 款的单价比 $A$ 款贵4元．

(1)、求 $A$ 、 $B$ 两款文件袋的单价；

(2)、一共再购买两款文件袋共65个，总费用不超过1690元，求最少购进多少个 $A$ 款文件袋．

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14、按要求解答下列问题：

(1)、因式分解： $x^{2} y - 3 x y^{2} + x y$

(2)、因式分解： $a^{3} - 2 a^{2} - 15 a$

(3)、解方程： $\frac{3}{x} = \frac{5}{x - 1}$

(4)、解方程： $\frac{x - 3}{x - 2} + 1 = \frac{3}{2 - x}$

(5)、解不等式组： $\{\begin{array}{l} 2 (x - 1) \leq - 3 + x \\ \frac{x - 3}{2} > - 1 \end{array}$

(6)、解不等式组： $\{\begin{array}{l} 5 x - 1 < 3 (x + 1) \\ \frac{2 x - 1}{3} - \frac{5 x + 1}{2} < 1 \end{array}$

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15、如图，一次函数 $y = k x + 4 (k < 0)$ 的图象经过点 $A (1, 2)$ ，则关于 $x$ 的不等式 $k x + 4 > 2$ 的解集为．

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16、已知 $2 a = 3 b$ ，则 $\frac{2 a - b}{2 a + b}$ 的值为．

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17、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B = 70 °$ ，若沿图中虚线剪去 $∠ B$ ，则 $∠ 1 + ∠ 2 =$ ．

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18、若分式 $\frac{9 - x^{2}}{x - 3}$ 的值为零，则 $x$ 的值为．

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19、下列图案中，可以看成是由某一个基础图形通过平移得到的是（）

A、 B、 C、 D、

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20、阅读材料，并解决问题：

(1)、【思维指引】如图1，等边三角形 $A B C$ 内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为5，12，13，求 $∠ A P B$ 的度数．
解决此题，我们可以将 $△ A B P$ 绕顶点A逆时针旋转 $60 °$ 到 $△ A C P^{'}$ 处，此时 $△ A C P^{'} ≌ △ A B P$ ，连接 $P^{'} P$ ，借助旋转的性质可以推导出 $△ P A P^{'}$ 是________三角形；这样利用旋转变换，我们将三条线段 $P A$ ， $P B$ ， $P C$ 转化到一个三角形中，从而求出 $∠ A P B =$ ________；

(2)、【知识迁移】如图2，在等腰直角三角形ABC中， $∠ C A B = 90 °$ ， $A B = A C$ ， E，F为边 $B C$ 上两点，且 $∠ E A F = 45 °$ ，请判断 $E F^{2}$ ， $B E^{2}$ ， $F C^{2}$ 的数量关系，并证明你的结论；

(3)、【方法推广】如图3，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 60 °$ ， $A C = 2 \sqrt{3}$ ， $B C = 7$ ，点P为 $△ A B C$ 内一点，连接 $P A$ ， $P B$ ， $P C$ ，请你求出 $P A + P B + \sqrt{2} P C$ 的最小值．

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