相关试卷

1、请同学们认真阅读下面求代数值的方法．
已知实数 $x$ 、 $y$ 满足 $x - y = 4, x y = - 1$ ，计算 $x^{3} - y^{3}$ 的值．
解：因为 $x^{2} + y^{2} = {(x - y)}^{2} + 2 x y = 16 + 2 \times (- 1) = 14$ ，
所以 $x^{3} - y^{3} = (x^{2} + y^{2}) (x - y) + x y (x - y) = 14 \times 4 + (- 1) \times 4 = 52$ ．
借鉴上面的方法，解决下列问题：
若实数a、b满足 $a - b = 3, a b = - 1$ ．

(1)、求 $a^{3} - b^{3}$ 的值；

(2)、求 $a^{5} - b^{5}$ 的值．

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2、如图，一款杯子的轴截面可以抽象成等腰梯形（ $A B = C D$ ， $A D ∥ B C$ ， $A D \neq B C$ ），某同学想知道该杯子最大盛水高度（即C到 $A D$ 的距离）与杯子内底面的直径，通过测量，得到了如下数据： $A C = A D = 13 c m$ ， $C D = 10 c m$ ．请帮该同学计算：

(1)、杯子最大盛水高度：

(2)、内底面的直径（ $B C$ 的长度）

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3、 2025年3月30日是第30个全国中小学安全教育日，为提高学生安全防范意识和自我防护能力，某校举行了两次校园安全知识竞赛活动，某班有50名学生，现对这个班两次竞赛成绩（十分制）进行收集、整理和统计，画出如下统计图表．
第一次校园安全知识竞赛得分情况统计表
竞赛成绩（分）
5
7
8
9
10
人数（人）
2
1
13
16
18
请根据以上信息，回答下列问题：

(1)、两次校园安全知识竞赛得分的中位数分别是多少分？

(2)、求该班第二次校园安全知识竞赛得分的平均分．

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4、解方程： $3 (x + 4) = (x + 4) (x + 1)$ ．

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5、先化简，再求值： $(\frac{2}{x^{2} - 4} + \frac{1}{x + 2}) \div \frac{1}{x - 2}$ ，其中 $x = 1$ ．

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6、如图， $⊙ O$ 直径 $A B = 10 c m$ ，弦 $A C = 6 c m, ∠ A C B$ 的平分线分别交 $⊙ O$ 、 $A B$ 于点D ， M ，则线段 $D M$ 的长为．

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7、七巧板是我国古代著名的益智玩具，由一个正方形分割成七块几何图形组成，现把正方形边长为 $4$ 的图1七巧板拼成“小天鹅”形状，并放置在图2所示的直角坐标系中，则最高点 $A$ 的坐标为．

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8、某河堤横断面如图所示，提高 $A C = 3$ 米，迎水坡AB的坡比是 $1 : 3$ （即 $t a n ∠ A B C = \frac{1}{3}$ ），则AB的长为米．

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9、点 $P (2, - 3)$ 关于y轴对称的点的坐标为．

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10、某超市进行购物抽奖活动：购物满58元即可参加一次抽奖，共设一等奖、二等奖、三等奖三种奖项，中奖概率 $100 %$ ，其中一等奖、二等奖、三等奖的比例是 $1 : 3 : 6$ ，则一名顾客抽奖一次获得一等奖的概率是．

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11、计算： ${(- 1)}^{2026} - \sqrt{4} =$ ．

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12、为筹备校园“正方形主题文化角”，工作人员用两个边长相同的正方形展板布置：如图 $1$ ，固定展板 $A B C D$ （顶点 $A$ 、 $C$ 在直线展台 $M N$ 上）与移动展板 $E F G H$ （顶点 $E$ 、 $G$ 在直线展台 $M N$ 上），移动展板可沿 $M N$ 平移．设固定展板顶点 $C$ 与移动展板顶点 $E$ 的距离为 $x$ （单位： $m$ ）（ $0 \leq x \leq 8$ ），两个展板重叠部分的面积为 $y$ （单位： $m^{2}$ ）， $y$ 关于 $x$ 的函数图象如图 $2$ 所示．下列选项正确的是（）

A、正方形的对角线长为 $2 \sqrt{5} m$ B、当 $x = 2$ 时，重叠面积 $y = 2 m^{2}$ C、当 $x = 5$ 时，重叠面积 $y = 6 m^{2}$ D、函数图象的最高点的坐标为 $(4, 10)$

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13、如图，有一格点 $△ A B C$ ，现要找一点P ，使得 $B P$ 平分 $∠ A B C$ ，甲、乙两位同学给出了他们的作法，请判断两人的作法是否正确（）

A、甲、乙都对 B、甲、乙都错 C、甲错、乙对 D、甲对、乙错

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14、在平面直角坐标系中，点P是直线 $y = - x + 4$ 上一点，O为坐标原点，则 $P O$ 的最小值为（）

A、2 B、 $2 \sqrt{2}$ C、4 D、 $4 \sqrt{2}$

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15、如图所示， $△ A B C$ 和 $△ A D E$ 都是等边三角形， $∠ B E C = 40 °$ ，则 $∠ D B E$ 的度数为（）

A、 $90 °$ B、 $100 °$ C、 $120 °$ D、 $160 °$

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16、古代粮仓用大、小两种量器称米．已知：每个大量器可装米5斗；每个小量器可装米4斗．管理员进行了两次称量，记录如下：第一次用3个大量器和2个小量器装米，称得米的重量为230斤；第二次用2个大量器和3个小量器装米，称得米的重量为220斤．设每个大量器可装米x斤，每个小量器可装米y斤，则可列出方程组（）

A、 ${\begin{array}{l} 30 x + 12 y = 230 \\ 20 x + 18 y = 220 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} 3 x + 2 y = 220 \\ 2 x + 3 y = 230 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} 3 x + 2 y = 230 \\ 2 x + 3 y = 220 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} 10 x + 6 y = 230 \\ 10 x + 6 y = 220 \end{array}$

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17、计算某一组数据的方差算式如下： $S^{2} = \frac{{(x_{1} - 10)}^{2} + {(x_{2} - 10)}^{2} + \dots + {(x_{5} - 10)}^{2}}{5} = 2$ ，根据该算式，得到下列结论：①一共有5个数据；②该数据的平均数是10；③该数据的标准差是 $\sqrt{2}$ ；④若添加一个数据10，新数据的方差不变，其中正确的结论有（）个

A、1 B、2 C、3 D、4

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18、截至2月8日（春运第7天）全社会跨区域人员流动量为227713000人次，227713000用科学记数法可表示为（）

A、 $2.27713 \times 1 0^{8}$ B、 $0.227713 \times 1 0^{9}$ C、 $0.227713 \times 1 0^{8}$ D、 $2.27713 \times 1 0^{9}$

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19、【定义】如果一个凸四边形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，则称该四边形为对称四边形，称该直线为对称轴.
【概念理解】

(1)、下列图形一定是对称四边形的是；（填序号）

(2)、如图1，在平面直角坐标系中，若点A（1，1），B（5，1），C（1，3），D组成的四边形为对称四边形，则满足点D的个数为；

(3)、【性质探究】
如图2，对称四边形ABCD关于直线AC对称，对角线AC ， BD相交于点O ，过点D作DF⊥AB于点F ，交AC于点E ，若AE=EO=OC=2，求对称四边形ABCD的面积.

(4)、【拓展应用】
如图3，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，点E为对角线BD上一点，△AED沿边AE折叠得到△AEF ，延长AE交射线DC于G ，则当A ， B ， E ， F组成的四边形为对称四边形时，求 $\frac{D G}{G C}$ 的值. （作答要求：画出所有满足条件的情况示意图，并写出相应的答案即可）

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20、太阳灶是利用凹面镜会聚光的性质把太阳能收集起来，用于做饭、烧水的一种器具. 目前应用最广泛的聚光式太阳造是利用镜面反射汇聚阳光，如图1，这种太阳灶的镜面设计，可以看成是抛物线绕其对称轴旋转一周所得的旋转抛物面，其原理是，如图2，若有一束平行光沿对称轴方向射向这个抛物面，则反射光线都会集中反射到一特殊点（即抛物线的焦点）的位置，于是形成聚光，达到加热的目的. 若抛物线的表达式为y=ax² ，则抛物线的焦点为 $(0, \frac{1}{4 a})$ .

(1)、已知在平面直角坐标系中，某款太阳灶抛物线的表达式为 $y = \frac{1}{4} x^{2}$ ，则焦点的坐标是；

(2)、如图3，用一过抛物线对称轴的平面截抛物面，将所截得的抛物线放在平面直角坐标系中，对称轴与y轴重合，顶点与原点重合，若太阳灶采光面的直径AB为1. 5米，凹面深度CD为0. 25米，求抛物线的表达式；

(3)、如图4，在（2）的条件下，MN为平行于y轴的入射光线，NF为反射光线，N为切点，F为焦点，当∠MNG=∠FNG=22. 5°时，求点N的横坐标；

(4)、如图5，在（1）的条件下，点E是焦点，α表示太阳灶边缘（最远程）反射光同对称轴的夹角，当α为45°时，求点B的坐标.

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竞赛成绩（分）	5	7	8	9	10
人数（人）	2	1	13	16	18