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1、综合与实践探究
【问题背景】学习旋转之后，某学习小组打算用两个大小不同的等腰直角三角形通过旋转变换设计本组的logo，小鸣在设计logo的过程中发现两个三角形在旋转过程中，某些边和角存在一定的关系，因此，他和同学在一起对这个问题进行了数学探究．已知和都是等腰直角三角形，且 ．
【初步探究】
（1）小鸣将绕点在平面内自由旋转，连接后，发现它们之间存在着一定的关系，如图①，求证： ， 且；
【深入探究】
（2）若 ， 点为的中点，旋转过程中，当点在一条直线上时，如图②，求证： ．
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2、综合与实践
问题情境：
数学课上，老师让同学们以“三角板与平行线”为主题开展数学活动．如图1，已知 ， 直角三角板中， ， 将其顶点A放在直线上，并使边于点D，与相交于点H．
（1）试判断边与直线的位置关系并说明理由；
操作探究：
（2）如图2，将图1中三角板的直角顶点B放在平行线之间，两直角边 ， 分别与 ， 相交于点E，F，得到和 ， 试探究与的数量关系并说明理由；
下面是小明不完整的解答过程，请你补充完整．
解： ， 理由：
过点B作直线 ， 如图4所示．
因为（已知）
所以（______________）
所以 ， ________（______________）
因为________ ，
所以
深入探究：
（3）受小明启发，同学们继续探究下列问题．
在图2中作线段和 ， 使它们分别平分和的顶角，如图3，请直接写出的度数．
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3、一个四位数 ， 如果 ， 那么称这个四位数为“吉利数”，例如：1243，因为 ， 所以1243是“吉利数”．(1)、①用含的代数式表示为___________；②最大的吉利数是___________．(2)、将一个“吉利数”的个位数字与百位数字交换位置，同时将十位数字与千位数字交换位置后得到新的“吉利数” ， 称交换前后这两个“吉利数”为“相伴吉利数”，例如：1243与4312为“相伴吉利数”．一个“吉利数”和它的“相伴吉利数”之和一定可以被11整除，为什么？请说明理由．(3)、直接写出同时满足和这两个条件的所有“吉利数”．
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4、根据以下素材，完成探索任务．
素材1
中秋节，又称祭月节、月光诞、月夕、秋节、仲秋节、拜月节、月娘节、月亮节、团圆节等，是中国民间的传统节日．中秋节源自天象崇拜，中秋节起源于上古时代，普及于汉代，定型于唐朝初年，盛行于宋朝以后．中秋节自古便有祭月、赏月、吃月饼、玩花灯、赏桂花、饮桂花酒等民俗，流传至今，经久不息．中秋节是秋季时令习俗的综合，其所包含的节俗因素，大都有古老的渊源．中秋节以月之圆兆人之团圆，为寄托思念故乡、思念亲人之情，祈盼丰收、幸福，成为丰富多彩、弥足珍贵的文化遗产．中秋节与春节、清明节、端午节并称为中国四大传统节日．受中华文化的影响.2006年5月20日，国务院将其列入首批国家级非物质文化遗产名录．自2008年起中秋节被列为国家法定节假日．
素材2
随着时代的发展，月饼的馅料越来越丰富．不仅和每个地方的饮食文化结合，出现广式、晋式、京式、苏式等口味，而且，富有想象力的大厨们还发明了抹茶冰皮、山楂蔓越莓等各种各样的月饼．中秋节又要到了，乐乐和妈妈一起去买月饼，妈妈买了一盒月饼（共计8枚）．
回家后，妈妈要求乐乐用称重不超过100克的电子秤，结合所学知识判断这盒月饼的总质量是否合格．乐乐仔细地看了标签和包装盒上的有关说明，包装说明上标记的总质量合格标准为（560±5）克．
她们把8枚月饼的质量称重后统计列表如下表：（单位：克）
第n枚
1
2
3
4
5
6
7
88
质量
69.2
70.3
70.8
69.3
69.6
70
69.3
70.8
为了简化运算，乐乐选取了一个恰当的标准质量，依据这个标准质量，他把超出部分记为正，不足部分记为负，列出表格（数据不完整）．
第n枚
1
2
3
4
5
6
7
88
质量
-0.8
+0.8
-0.4
-0.7
+0.8
问题解决
任务1
乐乐选取的这个标准质量是_______克；
任务2
表格中______，______，_______；
任务3
质量最大的那枚月饼比质量最少的那枚月饼多多少克？
任务4
乐乐对妈妈说这盒月饼总质量是合格的，请你通过计算说明理由．
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5、直线 ， 的位置如图所示，已知 ， ， ．
(1)、直线与平行吗？请说明理由；(2)、求的度数． -
6、如图，为线段的中点．
(1)、延长线段 ， 用尺规作图法，在线段的延长线上作点 ， 使（保留作图痕迹）；(2)、若 ， 求线段的长． -
7、计算：(1)、；(2)、 ．
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8、五线谱是一种记谱法，通过五根等距离的平行线上标以不同的音符构成旋律，如图，和是五线谱上的两条线段，点E在之间的一条平行线上，若 ， 则的度数是 ．
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9、如图，射线OE方向表示北偏西53°17' ， 则∠DOE的度数是 ．
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10、的问世吸引了无数人的目光，其中大语言模型参数量约为 ， 在预训练阶段仅使用2048块训练了约2个月的时间，且训练费用仅560万美元左右．上述信息中，准确数是（ ）A、671 B、2048 C、2 D、560
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11、李白出生于公元701年，我们记作+701，那么秦始皇出生于公元前259年，可记作（ ）A、259 B、﹣960 C、﹣259 D、442
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12、如图1，在△ABC中， ∠ACB=90°， AC=BC， D为BC边上一点。速结AD、E为AD边上一点， DE=DB，连结BE， CE，记∠ABE=a。
(1)、用含a的代数式表示∠CAD。(2)、若△CDE是以DE为腰的等腰三角形， BD=1，求AD的长。(3)、如图2，延长BE交AC于点 F，(若 FC=7， AD=12，求BD的长。 -
13、 “智造慈模”家电产品展明会上，某品牌进行机器人行走表演。甲、乙两机器人分别从A、B两地同时出发，相向商行。甲机器人到达B地后，停留3a，然后损拖返回A地，乙机器人到达A地即停止。甲、乙两机器人之间的距离y(相)与行走时间x(s)的函数图象如图所示。请根据上述信息，回答下列问题：
(1)、写出图中点M表示的实际意义。(2)、求甲、乙两机器人的速度。(3)、若点N的纵坐标为23，求点 N的横坐标。 -
14、【问题】已知x-y=2， 且x>1， y<0， 试确定x+y的取值范围。
【方法】由x-y=2可知x=y+2。由x>1可知y+2>1即.y>-1，从而可以得到 因为.x+y=(y+2)+y=2y+2，所以由-1<y<0可得(0<2y+2<2。
即0<x+y<2。
根据以上信息，解决下列问题：
(1)、 已知x+2y=3， 且x<1， y<5， 求x+y的取值范围。(2)、一家具生产厂生产学生就餐使用的桌椅，1张桌子的售价比2把椅子贵40元，若一张桌子的售价不低于 120元，一把椅子的售价不超过50元，求出售一套桌椅(1张桌子+4把椅子)定价的范围。 -
15、如图1， 和 均为等边三角形，点E在 内， 连结BE， AD。
(1)、 证明：(2)、如图2，若点B、E、D恰好在同一条直线上，且. 的面积为1，求 的面积。 -
16、解一元一次不等式组 ， 并写出满足该不等式组的x的整数值。
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17、 如图， 在△ABC中， AB=AC， 点D在AB右下方， ∠ADB=∠ACB。过点C作AD的平行线交BD于点F， 过A作AE⊥BD， 垂足E在线段DF上。若DE=3， EF=1， 则CD的长为 ， BF的长为。
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18、某校八年级组织了一场趣味运动会，甲、乙两组同学参加“背夹球竞走”比赛。下图反映了比赛过程中，两组同学距离出发点的距离y(m)与比赛时间x(s)的函数关系。根据函数图象，可知甲、乙两组同学比赛途中两次相遇所间隔的时间为s。
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19、 已知一次函数y=-x+3， 当-1<x<3时， 函数值y的取值范围是。
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20、已知等腰三角形的两边长分别为2和4，则它的第三边长为。