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1、设a，b是方程： $x^{2} + x - 2025 = 0$ 的两个实数根，则（a-1)（b-1)的值为。

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2、设x₁ ， x₂是关于x的方程. $x^{2} - 3 x + k = 0$ 的两个根，且 $x_{1} = 2 x_{2},$ 则k=。

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3、若方程. $x^{2} - 2 x - 4 = 0$ 的两个实数根为α，β，则 $α^{2} + β^{2}$ 的值为（）。

A、12 B、10 C、4 D、-4

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4、一元二次方程 $2 x^{2} - 3 x + 4 = 0$ 的根的情况为（）。

A、没有实数根 B、两根之和是3 C、两根之积是-2 D、有两个不相等的实数根

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5、设一元二次方程. $x^{2} + 4 x - 3 = 0$ 的两根为x₁ ， x₂ ，则x₁x₂的值是（ )。

A、4 B、-4 C、3 D、-3

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6、已知关于x的方程 $x^{2} - (2 k + 1) x + 4 (k - \frac{1}{2}) = 0 。$

(1)、求证：无论k取何值，这个方程总有实数根。

(2)、若等腰三角形ABC的一边长a=4，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长。

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7、已知关于x的一元二次方程. $x^{2} - (2 k + 1) x + k^{2} + k = 0 。$

(1)、求证：无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根。

(2)、如果方程的两个实数根为x₁ ， x₂ ，且k与 $\frac{x_{1}}{x_{2}}$ 都为整数，求k所有可能的值。

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8、已知关于x的一元二次方程. $x^{2} - m n x + m + n = 0,$ 其中m，n在数轴上的对应点如图，则这个方程的根的情况是（）。

A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、没有实数根 D、无法确定

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9、阅读材料：方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 的根是 $x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} 。$ 方程 $y^{2} + b y + a c = 0$ 的根是 $y = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2} 。$ 因此，要求 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 的根，只要求出方程 $y^{2} +$ by+ ac=0的根，再除以a就可以了。
例：解方程 $72 x^{2} + 8 x + \frac{1}{6} = 0 。$
解：先解方程 $y^{2} + 8 y + 72 \times \frac{1}{6} = 0,$ 解得 $y_{1} = - 2, y_{2} = - 6 。$
∴方程 $72 x^{2} + 8 x + \frac{1}{6} = 0$ 的两根是 $x_{1} = \frac{- 2}{72}, x_{2} = \frac{- 6}{72},$ 即 $x_{1} = - \frac{1}{36}, x_{2} = - \frac{1}{12} 。$ 请按上述材料中所提供的方法解方程： $49 x^{2} + 6 x - \frac{1}{7} = 0 。$

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10、如果 $a^{2} + b^{2} = c^{2},$ 那么把形如 $a x^{2} + \sqrt{2} c x + b = 0 (a \neq 0)$ 的方程称为“勾系方程”。

(1)、当a=3，b=4时，写出相应的“勾系方程”：。

(2)、求证：关于x的“勾系方程’ $` a x^{2} + \sqrt{2} c x + b = 0 (a \neq 0)$ 必有实数根。

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11、已知关于x的方程.x²-（a+2)x+a-2b=0|的根的判别式等于0，且 $x = \frac{1}{2}$ 是方程的根，则a+b的值为。

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12、小刚在解关于x的方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 时，只抄对了a=1，b=4，解出其中一个根是x=-1。他核对时发现所抄的c比原方程的c小2，则原方程的根的情况是（）。

A、不存在实数根 B、有两个不相等的实数根 C、有一个根是x=-1 D、有两个相等的实数根

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13、设x₁为一元二次方程 $2 x^{2} - 4 x = \frac{5}{4}$ 较小的根，则（）。

A、 $0 < x_{1} < 1$ B、 $- 1 < x_{1} < 0$ C、 $- 2 < x_{1} < - 1$ D、 $- 5 < x_{1} < - \frac{9}{2}$

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14、解方程：

(1)、 $x^{2} - 6 x = 1 。$

(2)、 $2 x^{2} + \sqrt{5} x - 5 = 0 。$

(3)、 $4 x^{2} - 3 x - 5 = x - 2 。$

(4)、3x（x-3)=2（x-1)（x+1)。

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15、有一个数值转换机，其流程如图。若输入a=-2，则输出的x的值为。

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16、方程. $x^{2} - x - 3 = 0$ 的根是。

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17、用公式法解一元二次方程时，一般要先计算（ $b^{2} - 4 a c$ 的值，则一元二次方程 $- x^{2} + 5 x = 3$ 的 $b^{2} - 4 a c$ c的值为。

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18、下列说法中，正确的是（）。

A、 $a x^{2} + b x + c = 0$ 是一元二次方程 B、方程x（x+2)（x-3)=0的实数根有三个 C、一元二次方程的一般形式为 $a x^{2} + b x + c = 0,$ 根是 $x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ D、方程. $x^{2} = x$ 的解是x=1

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19、下列方程中，有两个相等的实数根的是（）。

A、 $x^{2} + x + 1 = 0$ B、 $4 x^{2} + 4 x + 1 = 0$ C、 $x^{2} + 6 x + 36 = 0$ D、 $x^{2} + x - 2 = 0$

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20、一元二次方程. $x^{2} + 2 \sqrt{2} x - 6 = 0$ 的根是（）。

A、 $x_{1} = x_{2} = \sqrt{2}$ B、 $x_{1} = 0, x_{2} = - 2 \sqrt{2}$ C、 $x_{1} = \sqrt{2}, x_{2} = - 3 \sqrt{2}$ D、 $x_{1} = - \sqrt{2}, x_{2} = 3 \sqrt{2}$

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