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1、阅读下列两份材料，理解其含义并解决问题：
【阅读材料1】如果两个正数a，b，则 ${(\sqrt{a} - \sqrt{b})}^{2} \geq 0$ ，即 $a + b - 2 \sqrt{a b} \geq 0$ ，
∴ $a + b \geq 2 \sqrt{a b}$ ，当且仅当 $a = b$ 时取等号，此时 $a + b$ 有最小值为 $2 \sqrt{a b}$ ；
【实例展示1】已知 $x > 0$ ，求式子 $x + \frac{9}{x}$ 最小值．
解： $x + \frac{9}{x} \geq 2 \sqrt{x \cdot \frac{9}{x}} = 6$ ，当且仅当 $x = \frac{9}{x}$ ， ∵ $x > 0$ ，即 $x = 3$ 时，式子有最小值为6．
【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大；或者分子．分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．
【实例展示2】如： $\frac{x - 1}{x + 1}$ ， $\frac{x^{2}}{x - 1}$ 这样的分式就是假分式；如 $\frac{3}{x + 1}$ ， $\frac{2 x}{x^{2} + 1}$ 这样的分式就是真分式，假分数 $\frac{7}{4}$ 可以化成 $1 \frac{3}{4}$ 带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如
$\frac{x - 1}{x + 1} = \frac{(x + 1) - 2}{x + 1} = 1 - \frac{2}{x + 1}$ ， $\frac{x^{2}}{x - 1}$ $= \frac{(x^{2} - 1) + 1}{x - 1} = \frac{(x + 1) (x - 1)}{x - 1} + \frac{1}{x - 1} = x + 1 + \frac{1}{x - 1}$ ．
【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题：

(1)、已知 $x > 0$ ，则当 $x =$ 时，式子 $x + \frac{16}{x}$ 取得最小值，最小值为；

(2)、分式 $\frac{3}{x}$ 是（填“真分式”或“假分式”）；假分式 $\frac{x + 6}{x + 1}$ 可化为带分式形式为；如果分式 $\frac{x + 6}{x + 4}$ 的值为整数，则满足条件的整数x的值有个；

(3)、用篱笆围一个面积为 $225 m^{2}$ 的长方形花园，这个长方形花园的两邻边长各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？

(4)、已知 $x > 1$ ，当x取何值时，分式 $\frac{x - 1}{x^{2} - 2 x + 5}$ 取得最大值，最大值是多少？

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2、阅读并回答问题：为了化简，我们尝试找到两个数 $m$ 、 $n$ ，使 $m^{2} + n^{2} = a$ 且 $m n = \sqrt{b}$ ，则可将 $a \pm 2 \sqrt{b}$ 化为 $m^{2} + n^{2} \pm 2 m n$ ，即 $(m \pm n)^{2}$ ，从而使得 $\sqrt{a \pm 2 \sqrt{b}}$ 化简．
例如， $5 + 2 \sqrt{6} = 3 + 2 + 2 \sqrt{6} = （ \sqrt{3} ）^{2} + （ \sqrt{2} ）^{2} + 2 \sqrt{2} \times \sqrt{3} = (\sqrt{3} + \sqrt{2})^{2}$ ，
所以 $\sqrt{5 + 2 \sqrt{6}} = \sqrt{(\sqrt{3} + \sqrt{2})^{2}} = \sqrt{3} + \sqrt{2}$ ．
请仿照上例化简下列根式。

(1)、 $\sqrt{4 + 2 \sqrt{3}} =$ ；

(2)、 $\sqrt{19 - 4 \sqrt{15}} =$ ；

(3)、计算： $\frac{1}{\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}} + \frac{1}{\sqrt{5 + 2 \sqrt{6}}} + \frac{1}{\sqrt{7 + 2 \sqrt{12}}} + \frac{1}{\sqrt{9 + 2 \sqrt{20}}} + ⋯ + \frac{1}{\sqrt{4051 + 2 \sqrt{2025 \times 2026}}}$ ．

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3、阅读下列解题过程：
$\sqrt{1 - \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2}} = \frac{1}{2}$ ；
$\sqrt{1 - \frac{5}{9}} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \sqrt{{(\frac{2}{3})}^{2}} = \frac{2}{3}$ ；
$\sqrt{1 - \frac{7}{16}} = \sqrt{\frac{9}{16}} = \sqrt{{(\frac{3}{4})}^{2}} = \frac{3}{4}$ ；
…

(1)、 $\sqrt{1 - \frac{9}{25}} =$ ， $\sqrt{1 - \frac{15}{64}} =$ ．

(2)、利用这一规律计算： $\sqrt{1 - \frac{3}{4}} \times \sqrt{1 - \frac{5}{9}} \times \sqrt{1 - \frac{7}{16}} \times \cdot \cdot \cdot \times \sqrt{1 - \frac{99}{2500}}$ ．

(3)、观察上面的解题过程，计算： $\sqrt{1 - \frac{2 n + 1}{{(n + 1)}^{2}}}$ （ $n$ 为正整数）．

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4、阅读并解答：已知 $x = \sqrt{5} + 2$ ，求代数式 $x^{2} - 4 x - 7$ 的值．
小熙根据二次根式的性质： ${(\sqrt{a})}^{2} = a$ ，联想到了如下解法：
由 $x = \sqrt{5} + 2$ 得 $x - 2 = \sqrt{5}$ ，则 ${(x - 2)}^{2} = 5$ ，即 $x^{2} - 4 x + 4 = 5$ ， ∴ $x^{2} - 4 x = 1$ ．把 $x^{2} - 4 x$ 作为整体，得： $x^{2} - 4 x - 7 = 1 - 7 = - 6$ ．
请运用上述方法解决下列问题：

(1)、已知 $x = \sqrt{2} - 1$ ，求代数式 $x^{2} + 2 x + 7$ 的值．

(2)、已知 $x = \frac{1}{\sqrt{10} - 3}$ ，对x进行分母有理化．

(3)、结合问题（2）的结论，运用整体代入法，求代数式 $- 2 x^{2} + 12 x - 8$ 的值．

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5、古希腊的几何学家海伦，在数学史上以解决几何测量问题而闻名．在他的著作《度量论》一书中，给出了一个公式：如果一个三角形的三边长分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，记 $p = \frac{a + b + c}{2}$ ，那么三角形的面积 $S = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ ．此公式称为海伦公式．
思考运用：已知王大爷有一块三角形的菜地，如图，测得 $A B = 7 m$ ， $A C = 5 m$ ， $B C = 8 m$ ，你能求出这块菜地的面积吗（结果精确到 $0.1 m^{2}$ ，参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.41$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73$ ， $\sqrt{5} \approx 2.24$ ）？

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6、已知 $a = \frac{1}{2 + \sqrt{3}}$ ， $b = \frac{1}{2 - \sqrt{3}}$ ．

(1)、求 $a^{2} b + a b^{2}$ 的值；

(2)、求 $a^{2} - a b + b^{2}$ 的值．

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7、已知 $y = \sqrt{2 x - 5} + \sqrt{10 - 4 x} + 1$ ， $x$ ， $y$ 均为实数，求 $x \sqrt{2 x} \div \sqrt{\frac{x}{y}}$ 的值．

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8、计算：

(1)、 $\sqrt{48} + \sqrt{3} - \sqrt{\frac{1}{2}} \times \sqrt{12} + \sqrt{24}$ ；

(2)、 $\frac{\sqrt{20} + \sqrt{5}}{\sqrt{5}} - 6 \sqrt{\frac{1}{3}}$ ；

(3)、 $(3 + \sqrt{5}) (3 - \sqrt{5}) - {(\sqrt{3} - 1)}^{2}$ ．

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9、计算：

(1)、 $\sqrt{75} - \sqrt{54} + \sqrt{96} - \sqrt{108}$ ；

(2)、 $\frac{1}{4} \sqrt{8} \div (2 \sqrt{\frac{1}{2}}) \times (- 2 \sqrt{2})$ ．

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10、如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °, B C = 2, A C = 4$ ， D是 $A B$ 上的动点，过点D作 $D E ⊥ C D$ ，交AC于点E，将∆ADE沿直线 $D E$ 翻折，点A落在F处， $D F$ 交 $A C$ 于点G，则 $C G$ 长度的最小值为．

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11、在直角三角形 $A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 8$ ， $B C = 6$ ， $B D$ 平分 $∠ A B C$ 交 $A C$ 于点 $D$ ，则 $B D$ 的长为．

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12、化简： $\sqrt{1 - 4 x + 4 x^{2}} - (\sqrt{2 x - 3})^{2} =$ ．

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13、实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简 $\sqrt{a^{2}} + | b - a | =$ ．

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14、现定义一种新运算 $◎$ ：对于任意正有理数 $x 、 y$ ，都有 $x ◎ y = \sqrt{3 x} - 2 \sqrt{y}$ ．
例如： $9 ◎ 3 = \sqrt{3 \times 9} - 2 \sqrt{3} = 3 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} = \sqrt{3}$ ，则 $6 ◎ 8 =$ ．

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15、若 $a 、 b$ 为实数，且 $a = \sqrt{b - 5} + \sqrt{5 - b} + 3$ ，则 $a - b$ 的值为．

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16、计算 $\sqrt{5} \times \sqrt{7}$ 的结果是．

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17、若 $x = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ ，则 $x^{3} - 2 x^{2} - 4 x + 1$ 的值为（）

A、4 B、 $- 4$ C、2 D、 $- 2$

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18、如图，矩形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 与 $B D$ 交于点 $O$ ， $A E$ 垂直平分 $O B$ ， $E$ 是垂足，若 $A B = \sqrt{3}$ ，则 $A D$ 的长是（）

A、2 B、3 C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{5}$

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19、已知 $m$ 为实数，则代数式 $\sqrt{m + 3} - \sqrt{- m^{2}} - \sqrt{12 - 4 m}$ 的值为（）

A、0 B、 $- \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{3}$ D、无法确定

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20、 $\sqrt{2} x = \sqrt{14}$ 的解在（）

A、1到2之间 B、2到3之间 C、3到4之间 D、4到5之间

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