相关试卷

1、动手实践：将三角板绕某点旋转能形成丰富的图形，可得到许多有趣的结论.
小宁与小周两位同学用一副三角板和两条平行线进行了如下探究：
三角板ABC与三角板DEF如图1所示摆放，其中 $∠ A C B = ∠ E D F = 9 0^{\circ}, ∠ B A C = 3 0^{\circ}, ∠ D E F = 4 5^{\circ}$ ， GH∥MN，点A，B在直线GH上，点E，F在直线MN上.

(1)、【操作一】小宁固定三角板ABC不动，小周将三角板DEF绕点E以每秒 $3^{\circ}$ 的速度逆时针旋转，设时间为t秒，且0≤t≤60.
当DF与AB平行时，则t的值为；

(2)、当DF与AC平行时，求t的值；

(3)、【操作二】小宁和小周同时旋转两块三角板，小周将三角板DEF绕点E以每秒 $3^{\circ}$ 的速度逆时针旋转，小宁将三角板ABC绕点A以每秒2°的速度顺时针旋转，设时间为t秒，且 $0 \leq t \leq 60$ ，当DF与BC平行时，则t的值为。

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2、综合应用
在学习《完全平方公式》时，某兴趣小组发现：已知a+b=5，ab=3，可以在不求a、b的值的情况下，求出 $a^{2} + b^{2}$ 的值.具体做法如下：
$a^{2} + b^{2} = a^{2} + b^{2} + 2 a b - 2 a b = {(a + b)}^{2} - 2 a b = 5^{2} - 2 \times 3 = 19$ .

(1)、若a+b=7，ab=6，则 $a^{2} + b^{2}$ =；

(2)、若m满足m（8-m）=3，求 $m^{2} + {(8 - m)}^{2}$ 的值，同样可以应用上述方法解决问题.具体操作如下：
解：设m=a，8-m=b，
则a+b=m+（8-m）=8，ab=m（8-m）=3，
所以 $m^{2} + {(8 - m)}^{2} = a^{2} + b^{2} = {(a + b)}^{2} - 2 a b = 8^{2} - 2 \times 3 = 58 .$
请参照上述方法解决下列问题：
①若-3x（3x+5）=6，求 $9 x^{2} + {(3 x + 5)}^{2}$ 的值；
②若（2x-1）（5-2x）=3，求 ${(2 x - 1)}^{2} + {(5 - 2 x)}^{2}$ 的值；

(3)、如图，某校园艺社团在三面靠墙的空地上，用长11米的篱笆（不含墙AD）围成一个长方形的花圃ABCD，面积为15平方米，其中墙AD足够长，墙AB⊥墙AD，墙DC⊥墙AD.随着学校社团成员的增加，学校在花圃ABCD旁分别以AB，CD边向外各扩建两个正方形花圃，以BC边向外扩建一个正方形花圃（扩建部分如图所示虚线区域部分），求花圃扩建后增加的面积.

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3、实践背景：某小型植物可能开出多种颜色的花朵.为了解该植物开红色花朵的比例，植物社团的成员打算随机收集一些该植物植株幼苗进行试验研究.
试验设计：由五个小组的成员分别收集该植物的一些植株幼苗，播种在校园五处适合植物生长的空地分开试验，最后统计各组数据.
【数据记录】

一组
二组
三组
四组
五组
开红花的植株数量
39
1
71
63
86
开其他颜色花的植株数量
61
9
101
93
129
出现红花的频率
0.39
a
0.41
0.40
b

(1)、表中a= ， b=；

(2)、经过学习我们知道，在大量重复的试验中，我们可以用一个事件发生的频率来估计该事件发生的概率.在上述五个小组的数据中，你认为第组的数据不适合用频率估计概率，理由是.你认为一株该植物开出红花的概率是（结果精确到0.1）.

(3)、某小公园自然存在有大量该植物，经统计其中开红花的该植株有514棵，请你估计该公园此植物植株的总数量.

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4、如图，已知∠B=∠C=∠AED=90°.

(1)、请你添加一个条件，使△ABE与△ECD全等，这个条件可以是（写出一个合理的即可）.

(2)、根据你所添加的条件，求证：△ABE≌△ECD.

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5、填空并完成推理过程.
如图，E点为DF上的点，B点为AC上的点，∠1=∠2，∠C=∠D，试说明：AC∥DF.
证明：∵∠1=∠2（   ▲   ），
∠1=∠3（   ▲   ），
∴∠2=∠3（   ▲   ），
∴   ▲   ∥   ▲   （   ▲   ），
∴∠C=∠ABD（   ▲   ）.
又∵∠C=∠D（已知），
∴∠D=∠ABD（   ▲   ），
∴AC∥DF（   ▲   ）.

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6、先化简，再求值：（2x+3y）²-3（2x+y）（2x-y），其中 $x = - \frac{1}{2} ， y = - 1$

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7、计算：

(1)、 ${(- 1)}^{2025} + {(π - 3.14)}^{0} - {(- \frac{1}{2})}^{- 1}$ ；

(2)、 $(4 a^{3} b - 6 a^{2} b^{2} + 12 a b^{3}) \div (- 2 a b) .$

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8、如图，△ABC的两条高AD与BE交于点O，AD=BD，AC=8.F是射线BC上一点，且CF=AO，动点P从点O出发，沿线段OB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线AC以每秒6个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当△AOP与△FCQ全等时，则t的值为.

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9、某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现：把它抽象成数学问题.如图所示，已知AB∥CD，∠BAE=84°，∠DCE=120°，则∠E的度数是°.

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10、如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠1=50°时，则∠2的度数为.

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11、等腰ABC的周长是10cm，腰长AB=4cm，则底边BC=cm.

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12、已知 $a^{m} = 5, d^{n} = 4,$ 则代数式 $a^{m - n}$ 的值为.

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13、如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别在边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平使A与A'重合，若∠A=35°，则∠1+∠2的度数为（）

A、70° B、75° C、105° D、35°

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14、若 $(x + 5) (2 x - m) = 2 x^{2} + n x - 15$ ，则（）

A、m=-3，n=7 B、m=-3，n=-7 C、m=3，n=7 D、m-3，n=-7

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15、如图，甲、乙两人分别沿不同的路线从A地到B地.下列关系正确的是（）
甲：A→C→B，路程为s_甲；
乙：A→D→E→B，路程为s_乙.

A、s_甲>s_乙 B、s_甲=s_乙 C、s_甲<s_乙 D、s_甲≥s_乙

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16、如图，将三角形纸片ABC按下面四种方式折叠，则CM是△ABC的高的是（）

A、 B、 C、 D、

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17、下列计算正确的是（）

A、 ${(a^{2})}^{4} = a^{6}$ B、 $a^{2} \cdot b^{2} = {(a b)}^{2}$ C、 $a^{2} \cdot b^{4} = a^{8}$ D、 $a^{2} + b^{2} = {(a + b)}^{2}$

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18、世界上几乎所有的生物都是由细胞组成的，科学家发现，一个细胞的平均质量约为0.0000000035克.用科学记数法表示0.0000000035正确的是（）

A、3.5×10⁹ B、 $0.35 \times 1 0^{- 8}$ C、 $3.5 \times 1 0^{- 10}$ D、 $3.5 \times 1 0^{- 9}$

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19、【问题情境】数学兴趣小组以矩形纸片ABCD为基本图形，探索几何图形折叠变化中的数学问题，其中AB=15，AD=20。

(1)、【特例探究】如图1：小坪对矩形ABCD进行折叠，使得C和A重合，折痕分别交AD和BC于E、F，点D的对应点是D'，连接AC。
①根据轴对称性质：
∵对应点的连线被对称轴垂直且平分
∴EF是 ▲ 的垂直平分线
②请探究BF和DE的数量关系，并说明理由。

(2)、【拓展延伸】
①如图2：小山沿着过点B的直线折叠，使得点C的对应点C'恰好在CA的延长线上，折痕交AD于M，点D的对应点为D'，求线段AC'的长。
②小深沿着与图2中BM平行的直线折叠矩形ABCD，折痕分别交AM、AB于P、Q，点C和点D的对应点分别是C'和D'。
请你借助图3进行分析，当△AC'D'是等腰三角形时，直接写出折痕PQ的长度。

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20、【综合实践】
【背景】日常出行离不开公共交通，面对公共交通种类日益丰富，乘坐公交车的人逐渐减少，公交车运营面临亏损，某校数学小组调查了某公交车线路的运营情况。
【材料一】图（a）是某公共汽车线路的收支差额y（票价总收入减去运营成本）与乘客量x的函数图象，该路线的票价为2元/人。
【材料二】为了扭亏有关部门举行提高票价的听证会。
乘客代表认为：公交公司应节约能源，改善管理，降低运营成本，从而实现扭亏。
公交公司认为：运营成本难以下降，公司已经尽力，每张票需提高票价才能扭亏。
根据两种意见，可以把图（a）分别改画成图（b）和图（c）。
【问题解决】

(1)、根据图中信息填空：
①写出图（a）的函数解析式： $y$ =；
②由图（a）可知，乘客量达到万人时，该公交路线才不会亏损，公交公司的运营成本是万元；
③你认为上述三个图象中，反映乘客代表意见的是图。

(2)、若同时采用乘客代表（成本降低m万元，0<1）和公交公司（票价提高n元，n>0）的方案.设收支平衡时（即公交公司的票价总收入=公交公司的运营成本）的乘客量为x₀（万人），则m，n，x₀满足的的数量关系为。

(3)、若x₀与n满足函数关系 $x_{0} = \frac{n + a}{n + b},$ 且当n=0.5时，x₀=0.2；当n=2时，x₀=0.5①求a、b的值；
②在（2）的方案下，当 $\frac{1}{5} \leq x_{0} < \frac{1}{2}$ 时，则m的取值范围是 ▲ 。

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	一组	二组	三组	四组	五组
开红花的植株数量	39	1	71	63	86
开其他颜色花的植株数量	61	9	101	93	129
出现红花的频率	0.39	a	0.41	0.40	b