相关试卷

1、已知关于 $x$ 的方程 $x^{2} - (k + 2) x + 2 k = 0$ ．

(1)、求证： $k$ 取任何实数值，方程总有实数根；

(2)、若等腰 $△ A B C$ 的一边长为4，另两边长 $m$ ， $n$ 恰好是这个方程的两个根，求 $△ A B C$ 的周长．

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2、如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 与 $B D$ 相交于点O ，点M、N在对角线 $A C$ 上，若 ▲ ，则 $△ A B M ≌ △ C D N$ ．
请从① $B M ∥ D N$ ；② $∠ A B M = ∠ C D N$ ；③ $B M = D N$ ；这三个选项中选择一个作为条件，使结论成立，并说明理由．

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3、解方程：

(1)、 $3 {(x - 2)}^{2} = 12$ ；

(2)、 $x^{2} + 6 x - 7 = 0$ ．

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4、计算：

(1)、 $\sqrt{\frac{8}{3}} \times \sqrt{\frac{27}{8}}$ ；

(2)、 $\sqrt{12} - \sqrt{48} + 9 \sqrt{\frac{1}{3}}$ ．

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5、如图，有一张平行四边形纸条 $A B C D$ ， $A D = 5 c m$ ， $A B = 2 c m$ ， $∠ A = 120 °$ ，点E ， F分别在边 $A D$ ， $B C$ 上， $D E = 1 c m$ ．现将四边形 $C F E D$ 沿 $E F$ 折叠，使点C ， D分别落在点 $C^{'}$ ， $D^{'}$ 上．当点 $C^{'}$ 恰好落在边 $A D$ 上时，线段 $C F$ 的长为 $c m$ ．在点F从点B运动到点C的过程中，若边 $F C'$ 与边 $A D$ 交于点M ，则点 $M$ 相应运动的路径长为 $c m$ ．

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6、关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} = b$ 的两个根分别是 $m + 1$ 与 $2 m - 4$ ，则 $\frac{b}{a} =$ ．

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7、如果 $\sqrt{45 n}$ 是有理数，那么正整数 $n$ 的最小值是．

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8、已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + m x + n = 0$ ，则下列判断中不正确的是（）

A、若方程有一根为1，则 $m = - n$ B、若 $m = 0$ ， $n < 0$ ，则方程两根互为相反数 C、若 $n < 0$ ，则方程必有解 D、若 $n = 0$ ，则方程有一根为0

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9、下列计算中正确的是（）

A、 $\sqrt{{(- 2)}^{2}} = - 2$ B、 $\sqrt{2} \times \sqrt{8} = 4$ C、 ${(\sqrt{- 2})}^{2} = - 2$ D、 $\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$

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10、【学科融合】运用数学知识可以帮助我们理解物理学中的很多原理. 下面是物理学中“光的反射定律”相关内容. 请阅读并解决下面问题：

经过入射点 O并垂直于反射面的直线 ON叫做法线，入射光线 (AO)与法线的夹角 i叫做入射角，反射光线 (OB)与法线的夹角 r叫做反射角 (如图 1).

在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一平面内；反射光线、入射光线分别位于法线两侧；反射角等于入射角. 这就是光的反射定律.

(1)、【理解原理】

小聪发现，如图 1，光线经过反射面时∠1=∠2，其中的数学原理是；反射角始终等于入射角，故反射角会随着入射角的减小而减小，当反射光线与入射光线重合时，入射光线与镜面的位置关系为；

(2)、【尝试探究】

如图 2，若平面镜 AB、BC的夹角∠ABC=α，入射光线 EF与平面镜 AB夹角∠1=48 °，经过两次反射后，反射光线 GH与入射光线 EF平行但方向相反，求α的度数；

(3)、如图 3，平面镜 AB、BC、CD依次连接，其中 AB与 BC的夹角为α， BC与 CD的夹角为β，光线 EF射向平面镜 AB上的点 F，反射后沿 FG方向射向平面镜 BC上的点 G，再次反射后沿 GH方向射向平面镜 CD上的点 H，最后反射后沿 HI方向射出.

①若α=120°，β=145°，且经过三次反射后，反射光线 HI与入射光线 EF互相平行但方向相反，求入射光线 EF与平面镜 AB的夹角∠1的度数；

②若α=90°，入射光线 EF与平面镜 AB的夹角∠1=30°，且经过三次反射后，反射光线 HI与原入射光线EF互相平行但方向相同(即沿原路返回)，则β的度数为 ▲ .

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11、将两数和(差)的完全平方公式     ${(a \pm b)}^{2} = a^{2} \pm 2 a b + b^{2},$    通过适当的变形，可以解决很多数学问题.
例：若 a-b=4， ab=1，求 $a^{2} + b^{2}$ 的值.
解：  ∵a-b=4，  ab=1，
$∴ a^{2} + b^{2} = {(a - b)}^{2} + 2 a b = 4^{2} + 2 \times 1 = 18 .$
根据上面的解题思路和方法，解决下列问题：

(1)、已知 a+b=14， ab=48，则     $a^{2} + b^{2} =$ .

(2)、两块完全相同的直角三角板(∠AOB=∠COD=90°)如图所示放置，其中 A，O，D在一条直线上，连接 AC， BD. 若 $A D = 14, S_{△ A O C} + S_{△ B O D} = 64,$ 求一块三角板的面积；

(3)、若 x满足     ${(x - 2023)}^{2} + {(x - 2027)}^{2} = 36,$    求(x-2023)  (x-2027)的值.

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12、如图，在△ABC中， D为 BC边上一点，以 AD为边作△ADE，使∠1=∠2=∠3， AC=AE. 若 DE=7， BD=3，求 CD的长度.

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13、如图，图 1和图 2均是可以自由转动的转盘，图 1被平均分成 9等份，分别标有 1，2，3，4，5，6，7，8，9这 9个数字，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字(当指针恰好指在分界线上时重转)；图 2被涂上红色与绿色，绿色部分的扇形圆心角是 120°，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的颜色即为转出的颜色(当指针恰好指在分界线上时重转). 小明转动图 1的转盘，小亮转动图 2的转盘.

(1)、求小明转出的数字大于 3的概率；

(2)、小颖认为，小明转出的数字大于 3的概率与小亮转出的颜色是红色的概率相同. 她的看法正确吗?为什么?

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14、 2025 年 12 月 26 日西延高铁正式开通运营. 西延高铁的开通不仅拉近了两地的时空距离，更对区域发展、民生出行和经济格局产生了深远影响. 西延高铁在修建过程中需要铺设一段轨道，甲队单独施工需要 20天，乙队单独施工需要 30天，甲先单独施工 5天，然后乙队加入一起施工. 问还需要多少天可以完成这段轨道铺设?

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15、把下面的说理过程补充完整：
已知：如图，△ABC中，CD平分∠ACB，点 E，F分别在边 AB，AC上，CD，BF交于点 G，∠BGC+∠EFB=180°. 请说明∠BCD=∠AFE.
解： ∵∠BGC+∠EFB=180°  (已知)，
∠BGC=∠DGF  (          )，
∴∠DGF+∠EFB=180°，
∴CD∥    ▲        (          )   .
∴    ▲        =∠ACD   (          )   .
∵CD平分∠ACB (已知) ，
∴    ▲        =∠ACD   (          )   .
∴∠BCD=∠AFE  (          )  .

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16、如图，已知△ABC，用尺规过点 A作直线 MN，使得 MN∥BC. (保留作图痕迹，不写作法)

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17、先化简，再求值： $[{(x - y)}^{2} + (2 x + y) (x - y)] \div 3 x,$ ，其中 x=1， y=-2.

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18、计算：

(1)、 $- 2 \times 3 + ∣ - 5 ∣ + {(- \frac{1}{3})}^{- 1};$

(2)、 ${(3 a^{2})}^{2} - a \cdot 2 a^{3} + a^{5} \div a;$

(3)、 (3m-n) (3m+n)+n(m+n) .

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19、如图，在 Rt△ABC中， ∠ABC=90°， AB=BC，点 D为三角形右侧外一点，且∠BDC=45°，连接 AD. 若△ACD的面积为 $\frac{49}{32},$ 则线段 CD的长度为.

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20、定义：一个三角形的一边长是另一边长的 2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”. 若△ABC是“倍长三角形”，有两条边的长分别为 4和 6，则第三条边的长为.

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