相关试卷

1、问题探究：数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题．初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．例如：我们可以通过表示几何图形面积的方法来快速的对多项式 $a^{2} + 2 a b + b^{2}$ 进行因式分解
如图1所示边长为 $(a + b)$ 的大正方形是由1张边长为 $a$ 的正方形卡片A，1个边长为 $b$ 的正方形卡片B（ $a < b$ ），2个边长为 $a \times b$ 的长方形卡片C组成，这个图形的面积可以表示成： $a^{2} + 2 a b + b^{2}$ 或 ${(a + b)}^{2}$ 从而验证多项式因式分解为 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$

(1)、如图2，用1张正方形片A，2张长方形卡片C拼成一个长方形，可以验证多项式的因式分解为______；

(2)、某数学兴趣小组的同学用若干张卡片A、B、C，开展对多项式因式分解的几何验证活动：
①他们利用若干张A、B、C卡片，拼成图3中的长方形，你认为他们想验证多项式的因式分解为______；
②请你类比上述方法对多项式 $3 a^{2} + 4 a b + b^{2}$ 进行因式分解，要求画出因式分解的图形，标出各边的长度，根据图形可知因式分解 $3 a^{2} + 4 a b + b^{2} =$ ______；
③问题②中，某同学发现他们所拼成的长方形面积为45，并且 $a$ 、 $b$ 均为正整数，请分别求出 $a$ 、 $b$ 的长．

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2、某校对寒假社会实践表现突出的同学进行表彰，准备购买一批精装硬皮笔记本作为奖品，经市场调研发现，这种笔记本的单价均为10元；
学校选定了甲、乙两家学习用品商店准备购买，这两家商店均有优惠活动：
甲商店：购买超过30本，超过部分打九折出售；
乙商店：购买超过50本，超过部分打八折出售；
设学校购买 $x$ 本笔记本，所花费用为 $y$ 元，其函数图象如图所示．

(1)、若 $x = 40$ ，则去______商店购买，所花费用最少

(2)、当 $x > 30$ 时，甲商店的应付总价 $y_{1}$ 与数量 $x$ 之间的函数关系式为______；
当 $x > 50$ 时，乙商店的应付总价 $y_{2}$ 与数量 $x$ 之间的函数关系式为______；

(3)、学生会的同学在坐标系中画出了 $y_{1}$ 、 $y_{2}$ 与数量 $x$ 之间的函数图象，请结合问题中的知识，求点 $M$ 坐标；

(4)、当 $x > 30$ 时，根据图象直接写出如何购买笔记本才能更优惠．

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3、已知：如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，点 $D$ 、 $E$ 分别在边 $A C$ 、 $A B$ 上，且 $B E = C D$ ， $B D$ 与 $C E$ 相交于点 $O$ ．
求证：

(1)、 $O B = O C$ ；

(2)、连接直线 $O A$ ，证明直线 $O A$ 垂直平分 $B C$ ．

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4、如图，在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 的三个顶点的坐标分别为 $A (- 5, - 2)$ 、 $B (- 4, - 4)$ 、 $C (- 2, - 1)$ ，点 $P (a, b)$ 是 $△ A B C$ 内一个点．

(1)、将 $△ A B C$ 先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，请在原直角坐标系中画出 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，点 $A_{1}$ 的坐标为______， $△ A B C$ 平移距离为______；

(2)、若 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ 与 $△ A B C$ 关于原点 $O$ 成中心对称，请在原直角坐标系中画出 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ．若点 $P (a, b)$ 是 $△ A B C$ 内一个点，则 $P$ 的在 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ 对应点 $P_{2}$ 的坐标为______

(3)、点 $M$ 在线段 $B C$ 上，线段 $A M$ 把 $△ A B C$ 分成两个面积相等的三角形，请作出线段 $A M$ （要求：尺规作图，保留画图痕迹．）

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5、解不等式（组）

(1)、解不等式 $3 x + 2 (7 - x) \leq 6$

(2)、解不等式组 $\{\begin{array}{l} 2 x - 1 \leq - x + 2 \\ \frac{x - 1}{2} < \frac{1 + 2 x}{3} \end{array}$ ．并把不等式组的解集在数轴上表示出来．

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6、因式分解：

(1)、 $2 x^{2} - 12 x + 18$ ；

(2)、 $a^{2} (x - y) - 4 b^{2} (x - y)$ ．

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7、如图，在等腰直角三角形 $A B C$ 中， $A B = B C$ ， $∠ C B A = 90 °$ ，将边 $A B$ 绕点A逆时针旋转至 $A B^{'}$ ，连接 $B B^{'}$ ， $C B^{'}$ ，若 $∠ C B^{'} B = 90 °$ ， $A B = 5$ ，则线段 $B^{'} B$ 的长度为．

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8、如图，在 $△ A B C$ 中，以点A为圆心， $A C$ 的长为半径作弧，与 $B C$ 交于点E，分别以点E，C为圆心，大于 $\frac{1}{2} E C$ 的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线 $A P$ 交 $B C$ 于点D．若 $∠ B = 45 °$ ， $A C = \sqrt{5}$ ， $C D = 1$ ，则 $A B$ 的长度为．

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9、完美五边形是指可以无重叠、无间隙铺满整个平面的凸五边形．展示了数学与艺术的完美结合，它不仅是数学领域中的一个重要发现，还在建筑设计、艺术创作等领域中具有重要的美学价值．如图，五边形 $A B C D E$ 是人类发现的第15种完美五边形的示意图，其中 $∠ 1 + ∠ 5 = 120 °$ ，则 $∠ 2 + ∠ 3 + ∠ 4$ 等于．

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10、分解因式： $x^{2} - 2026 x =$ ．

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11、有甲、乙、丙三个村庄分别位于等边 $△ A B C$ 的顶点，在城中村改造时，为保护环境，改善居民的生活条件，政府决定铺设能够连接这三个村庄的天然气管道．设计人员给出了如图四个设计方案（点 $D$ 为 $B C$ 边的中点，点 $O$ 为 $△ A B C$ 的中心，实线表示天然气管道，其中天然气管道总长最短的是（）

A、方案1 B、方案2 C、方案3 D、方案4

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12、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 40 °$ ，将 $△ A B C$ 绕点B逆时针旋转 $60 °$ 得到 $△ D B E$ ，点A，C的对应点分别为D，E，连接 $D A$ ，若点C，A，D在一条直线上，下列结论一定正确的是（）

A、 $∠ A B C = ∠ E B A$ B、 $∠ D E C = 90 °$ C、 $D E ∥ A B$ D、 $B E ⊥ C D$

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13、下列命题中，是假命题的是（）

A、三边长为 $\sqrt{3}$ ， $\sqrt{4}$ ， $\sqrt{5}$ 的三角形为直角三角形 B、说明命题“如果 $a^{2} = b^{2}$ ，则 $a = b$ ”是假命题的一个反例是： $a = 2$ ， $b = - 2$ C、角平分线上的点到角的两边距离相等 D、三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角的和

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14、景区正殿梁架（如图1），其顶部可近似地看成一个等腰三角形，记为等腰三角形 $A B C$ （如图2），若 $A B = A C = 26$ ， $A D ⊥ B C$ 于点 $D$ ， $∠ A B C = 30 °$ ，则 $A D$ 的长为（）

A、10 B、11 C、12 D、13

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15、下列四个图形中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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16、某兴趣小组围绕“矩形折叠问题”展开探究．如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 6, B C = 9$ ，点 $E$ 为边 $A B$ 上一点（不与点 $A$ ，点 $B$ 重合）连接 $C E$ ，将矩形 $A B C D$ 沿 $C E$ 折叠，使点 $B$ 落在点 $F$ 处．

(1)、【观察发现】写出图1中除直角外的一组相等角：_____ $=$ _____；

(2)、【迁移探究】如图2，若点 $F$ 恰好落在 $A D$ 上，求 $E F$ 的长．

(3)、【拓展应用】若点 $B$ 的对应点 $F$ 落在矩形 $A B C D$ 的对称轴上，求 $B E$ 的长．

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17、某超市购入一批进价为20元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量 $y$ （盒）与销售单价 $x$ （元）有如下表的关系．
销售单价 $x$ （元）
…
40
42
44
46
48
…
销售量 $y$ （盒）
…
80
76
72
68
64
…

(1)、根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点 $(x, y)$ 并连线．观察图象，求出 $y$ 与 $x$ 的函数关系式；

(2)、设日销售总利润为 $w$ （元）
①直接写出 $w$ 与 $x$ 的函数关系式：__________；
②糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？

(3)、若进价上涨 $m$ 元，且超市每日固定成本为482元，该种糖果日销售获得的最大利润为1200元，求 $m$ 的值（日利润 $=$ （售价 $-$ 进价） $\times$ 日销量 $-$ 日固定成本）．

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18、如图， $A B$ 为半圆 $O$ 的直径， $D C$ 与半圆相切于点 $C, D E ⊥ A B$ 于点 $E$ ，与半圆相交于点 $F$ ，连接 $A C$ 与 $D E$ 交于点 $G$ ．

(1)、写出图中一个与 $∠ D G C$ 相等的角：__________；

(2)、求证： $D C = D G$ ；

(3)、若点 $E$ 为 $O A$ 的中点， $\overset{⌢}{B C} = \overset{⌢}{C F}$ ， $A B = 4$ ，求阴影部分的面积．

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19、小星利用测角仪测量古建筑 $A B$ 的高度．如图，古建筑 $A B$ 前有一座高为3米的斜坡（ $C D = 3$ 米），在斜坡顶端 $D$ 处测得古建筑顶部 $A$ 的仰角为 $37 °$ ，沿斜坡 $D E$ 走5米到达斜坡底部 $E$ 处（ $D E = 5$ 米），此时测得古建筑 $A$ 的仰角为 $45 °, C D ⊥ B C$ 于点 $C, E, B$ 在同一条直线上，涉及到的所有点在同一平面内，设 $A B$ 的高度为 $x$ 米．（参考数据： $sin 37 ° = \frac{3}{5}, cos 37 ° = \frac{4}{5}, tan 37 ° = \frac{3}{4}$ ．）

(1)、直接写出 $C E$ 的长为__________， $B C$ 的长为__________（用含 $x$ 的代数式表示）；

(2)、求古建筑 $A B$ 的高度．

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20、某社区计划安装两种新能源充电桩：快充桩和慢充桩．安装快充桩共用电缆 $600$ 米，安装慢充桩共用电缆180米．已知每个快充桩比每个慢充桩多用 $4$ 米电缆，且快充桩的数量是慢充桩数量的 $3$ 倍，所有电缆刚好用完．

(1)、求快充桩和慢充桩的数量；

(2)、由于新能源汽车数量增加，社区计划再采购两种充电桩共 $30$ 个，其中每个快充桩造价 $5000$ 元，每个慢充桩造价 $3000$ 元．若采购总费用不超过 $120000$ 元，请问该社区至少采购多少个慢充桩？

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销售单价 $x$ （元）	…	40	42	44	46	48	…
销售量 $y$ （盒）	…	80	76	72	68	64	…