相关试卷

1、中国高铁是“中国速度”的闪亮名片，其基础造价为每米10万元．为保障列车运行安全，高铁线路的拐角设计通常控制在 $10 °$ 以内，某高铁线路需避开山体，在 $B$ 点处规划两处绕行方案：方案一：设计 $9 °$ 的拐角，即 $∠ C B F = 9 °$ ，在 $C$ 点处再设计一个拐角使得路线恢复方向，即 $C E ∥ B F$ ；方案二：设计 $6 °$ 的拐角，即 $∠ D B F = 6 °$ ，在 $D$ 点处再设计一个拐角使得路线与方案一的路线重合，但这样路线 $B D$ 会经过一片沙地（即 $B D$ 为沙地），使每米的造价比基础造价增加10%．

(1)、若 $D E$ 与 $B F$ 的距离 $D G$ 为66米，求线段 $B D$ 、 $B C$ 、 $C D$ 的长．

(2)、在（1）的条件下，方案一和方案二哪一个造价更便宜？并说明理由．（参考数据： $\sin 6 ° \approx 0.10$ ， $\tan 6 ° \approx 0.11$ ， $\sin 9 ° \approx 0.15$ ， $\tan 9 ° \approx 0.16$ ）

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2、在长跑、骑行等耐力运动中，运动员常用“配速”来评估运动强度．配速是指运动时间与运动距离的比值（即每公里的运动耗时），单位通常为“分钟/公里”（ $\min / km$ ），配速数值越高，代表运动速度越慢．小海参加了一场 $10$ 公里的健身跑活动，他的配速 $p$ 与已完成路程 $s$ （单位： $km$ ）之间的关系如图所示．

(1)、 $p$ 是关于 $s$ 的函数吗?请说明理由．

(2)、在 $s_{1}$ 、 $s_{2}$ 、 $s_{3}$ 三个位置中，运动速度最慢的是________．

(3)、若点 $A (10, 6)$ ，求小海完成 $10$ 公里健身跑的时间．

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3、为保障2026年央视春晚机器人武术表演的动作整齐度，技术人员抽取部分机器人开展动作同步误差检测，以此筛选最终上场的设备．规定：同步误差数值越小，代表动作精准度越高．误差单位为毫秒（ms）根据检测结果，绘制了如下未完成的频数统计表与扇形统计图．
机器人动作同步误差数据频数统计表
同步误差（ms）
频数
对应扇形区域
$0 \leq x < 10$
5
A
$10 \leq x < 20$
$a$
B
$20 \leq x < 30$
14
C
$30 \leq x < 40$
11
D
$40 \leq x \leq 50$
10
E
根据以上信息，解答下列问题：

(1)、抽取的机器人数是________台，统计图表中 $a =$ ________． $b =$ ________．

(2)、这组数据的中位数落在________组．

(3)、若规定误差小于30（ $ms$ ）为“表演合格”，请估计200台同款机器人中合格的台数．

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4、如图，点 $C$ 是 $⊙ E$ 外一点， $C E$ 的延长线交 $⊙ E$ 于点 $B$ ，点 $A$ 在圆上，连接 $A E$ ，且 $A B = A C$ ， $∠ C = 30 °$ ．

(1)、求证： $A C$ 为 $⊙ E$ 切线；

(2)、若 $A E = 1$ ，求 $B C$ 的长．

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5、如图， $△ A B C$ 为 $⊙ O$ 内接三角形，其中 $A B$ 为直径，且 $A B = 6 \sqrt{2}$ ，点 $E$ 为 $∠ B A C$ 和 $∠ A C B$ 平分线的交点，延长 $C E$ 交 $⊙ O$ 于点 $P$ ，连结 $O E$ ， $O P$ ， $B P$ ．
① $B P =$ ；
②若 $O E = x$ ， $C E = y$ ， $y$ 与 $x$ 之间的函数关系为．

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6、如图，在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 是 $B A$ 上一点，且 $∠ A C D = ∠ B$ ，若 $A C = 3$ ， $A D = 2$ ，则 $B D =$ ．

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7、不等式组 $\{\begin{array}{l} 2 x - 1 \leq 3 \\ 3 x + 7 > - 2 \end{array}$ 的解集为．

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8、已知抛物线 $y_{1} = a x^{2} - 2 a x + c$ （ $a$ ， $c$ 为常数且 $a \neq 0$ ），当 $x \geq 1$ 时 $y_{1} \leq 2$ ．若抛物线 $y_{2} = a {(x + m)}^{2} - 2 a (x + m) + c$ 与 $y$ 轴的交点位于最高位置时，则 $y_{2}$ 的图像可能正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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9、2026年1月，浙江省统计局公布2025年全省11个地市 $G D P$ 与增速，如下图所示．如果以2025年 $G D P$ 的增速预测舟山2026年全年 $G D P$ 增量，并且以元为单位表示这个数据，那么这个数据用科学记数法可以表示约为（）

A、 $1.55 \times 10^{10}$ B、 $155 \times 10^{8}$ C、 $2.5 \times 10^{11}$ D、 $2500 \times 10^{8}$

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10、如图，在平面直角坐标系中， $△ O A B$ 的顶点为 $O (0, 0)$ ， $A (4, 3)$ ， $B (3, 0)$ ．以点 $O$ 为位似中心，在第三象限内作与 $△ O A B$ 的位似比为 $\frac{1}{3}$ 的位似图形 $△ O C D$ ，则点 $C$ 坐标为（）

A、 $(- 1, - 1)$ B、 $(- \frac{4}{3}, - 1)$ C、 $(1, - \frac{4}{3})$ D、 $(- 2, - 1)$

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11、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ，观察如图所示的尺规作图痕迹（图中所有画弧的半径均相等）若 $A D = 2$ ，则 $B C =$ （）

A、3 B、4 C、5 D、6

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12、用反证法证明“ $\sqrt{2}$ 是无理数”时，应先假设（）

A、 $\sqrt{2}$ 是无理数 B、 $\sqrt{2}$ 是有理数 C、 $\sqrt{2}$ 是正数 D、 $\sqrt{2}$ 是实数

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13、下列历届冬奥会图形是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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14、【方法回顾】

(1)、如图1，过正方形ABCD的顶点A作一条直线l交边BC于点P， $B E ⟂ A P$ 于点E，DF⊥AP于点F，猜想BE，DF，EF三条线段的数量关系： ▲ ，并证明你的猜想.

(2)、【问题解决】
如图2，菱形ABCD的边长为 $\frac{3}{2},$ 过点A作一条直线l交边BC于点P，且 $∠ D A P = 90$ °，点F是AP上一点，且. $∠ B A D + ∠ A F D = 18 0^{\circ},$ 过点B作. $B E ⟂ A B,$ 与直线l交于点E，若EF=1，求BE的长.

(3)、【思维拓展】
如图3，在正方形ABCD中，点P在AD所在直线上的上方，AP=2，连接PB，PD，若△PAD的面积与△PAB的面积之差为m>0，求出 $P B^{2} - P D^{2}$ 的值（用含m的式子表示）.

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15、《见微知著》谈到，从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是开启思想阀门，发现新问题、新结论的重要方法.下面同学们试着自主学习探索解决下列问题，
【阅读观察】
二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式.例如，化简 $\frac{1}{\sqrt{2} - 1} .$ 解：将分子、分母同乘以 $\sqrt{2} + 1$ 得， $\frac{1}{\sqrt{2} - 1} = \frac{\sqrt{2} + 1}{(\sqrt{2} - 1) (\sqrt{2} + 1)} = \sqrt{2} + 1 .$

(1)、【类比应用】
化简： $\frac{1}{2 \sqrt{3} - \sqrt{11}}$ =；
$\frac{1}{\sqrt{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{2026} + \sqrt{2025}}$ ==；

(2)、【拓展延伸】
宽与长的比是 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ （约为0.618）的矩形叫做黄金矩形.黄金矩形给我们以协调、匀称的美感.世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如希腊的巴特农神庙等.
如图①，已知黄金矩形ABCD的宽.AB=1.
黄金矩形ABCD的长 $B C$ =；

(3)、如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以AB为边的正方形ABEF，得到新的矩形DCEF，猜想矩形DCEF是否为黄金矩形，并证明你的结论：

(4)、在图②中，请连接AE，求出点D到线段AE的距离.

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16、【综合与实践】

背景素材：随着人工智能技术的爆发，算力需求正呈指数级增长，算力与电力的协同发展已成为2026年数字经济领域的核心主线。某科技企业积极响应国家“东数西算”工程，计划在西部绿电资源丰富的地区部署一座智算中心。
素材1	采购中心通过市场调研发现，购买3台A型设备和4台B型设备共需11万元；购买5台A型设备和2台B型设备共需9万元.
素材2	采购中心需要采购服务器（A型）和智能电力调度系统（B型），总计共需20套.设采购A型设备m台，总费用为W万元.在本次批量采购中，总费用W与采购数量m满足一次函数关系.
素材3	由于项目总预算限制，m的取值范围为0≤m≤7.5，且m为整数.
任务解决
⑴任务1	确定价格	求A，B两种型号设备的单价.
⑵任务2	探究函数关系	求W与m之间的函数关系式.
⑶任务3	拟定购买方案	应如何选择购买方案，才能使总费用最低?并求出最低总费用.

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17、【项目式学习】
项目背景：某校为更好地开展劳动实践活动，在校园内开辟了一片小菜园，用来种植甲、乙两种菜苗.
项目主题：探究不同种菜苗高度与种植天数的关系.
研究步骤：
①选定小菜园中土壤水平及光照时长相同的一块地，并选择甲、乙两种菜苗进行种植；
②从种植开始每两天记录一次数据；
③数据分析，形成结论.
数据记录：
已种菜苗天数x/天
0
2
4
6
8
10
…
甲种菜苗高度y₁/cm
6
9
12
15
18
21
…
乙种菜苗高度y₂/cm
15
16
17
18
19
20
…
初步分析：通过分析数据得两种菜苗的高度y₁ ， y₂（单位：cm）与已种菜苗天数均为一次函数关系.
问题解决：请根据上述材料完成下列问题.

(1)、在平面直角坐标系中分别画出菜苗高度y₁ ， y₂（单位：cm）关于已种菜苗天数x（单位：天）的函数图象；

(2)、求出y₁关于x的函数关系式，并写出第18天甲种菜苗的高度；

(3)、观察函数图象，据实践经验可得这两种菜苗均在菜苗高度达到50cm左右时开花，请估计哪种菜苗先开花，并说明理由.

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18、如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，且 $∠ 1 = ∠ 2 .$

(1)、求证：四边形ABCD是矩形；

(2)、若∠AOB=60°，AB=6，求四边形ABCD的面积.

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19、近年来，未成年人遭电信网络诈骗的案例呈现增长趋势，为了提B州市某中学组织七、八年级的学生参加了防范电信网络诈骗安全知识竞赛（成绩：x，单位：分，满分100分），现随机抽取了七、八年级各15名学生的测试成绩进行整理分析，过程如下：
【收集数据】
七年级15名学生的测试成绩中，90≤x<95的成绩：91，92，94，90，93.
八年级15名学生的测试成绩：78，83，89，97，98，85，100，94，87，90，93，92，99，95，100.
【整理数据】：
班级
75≤x<80
80≤x<85
85≤x<90
90≤x<95
95≤x≤100
七年级
1
2
3
5
4
八年级
1
1
3
4
6
【分析数据】
年级
平均数
众数
中位数
方差
七年级
92
87
c
50.2
八年级
a
b
92
41.1

(1)、根据以上信息，可以求出a= ， b= ， c=；

(2)、若规定测试成绩在92分及以上为优秀，请估计本次参加防范电信网络诈骗安全知识竞赛的900名七年级学生中，成绩为优秀的共有多少名；

(3)、根据以上数据，你认为七、八两个年级中，哪个年级的学生掌握防范电信网络诈骗安全知识的整体水平较好?请说明理由（写出一条即可）.

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20、计算： $\sqrt{8} - {(\sqrt{2} - 1)}^{0} + {(\sqrt{3})}^{2} + (2 + \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3}) .$

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同步误差（ms）	频数	对应扇形区域
$0 \leq x < 10$	5	A
$10 \leq x < 20$	$a$	B
$20 \leq x < 30$	14	C
$30 \leq x < 40$	11	D
$40 \leq x \leq 50$	10	E

已种菜苗天数x/天	0	2	4	6	8	10	…
甲种菜苗高度y₁/cm	6	9	12	15	18	21	…
乙种菜苗高度y₂/cm	15	16	17	18	19	20	…

班级	75≤x<80	80≤x<85	85≤x<90	90≤x<95	95≤x≤100
七年级	1	2	3	5	4
八年级	1	1	3	4	6

年级	平均数	众数	中位数	方差
七年级	92	87	c	50.2
八年级	a	b	92	41.1