相关试卷

1、阅读理解：
（1）【学习心得】学习完“圆”这一章内容后，有一些几何问题，如果添加辅助圆，可以使问题变得容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”．这类题目主要是两种类型．
①类型一，“定点 $+$ 定长”：
如图1，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B A C = 56 °$ ， D是 $△ A B C$ 外一点，且 $A D = A C$ ，求 $∠ B D C$ 的度数．
解：由题意，若以点 $A$ （定点）为圆心， $A B$ （定长）为半径作辅助圆 $⊙ A$ （可在图1中画出辅助圆 $⊙ A$ ），则点 $C$ 、 $D$ 必在 $⊙ A$ 上， $∠ B A C$ 是 $\overset{⌢}{B C}$ 所对的圆心角，而 $∠ B D C$ 是 $\overset{⌢}{B C}$ 所对的圆周角，从而可容易得到 $∠ B D C =$ ________ $°$ ．
②类型二，“定角 $+$ 定弦”：
如图2， $Rt △ A B C$ 中， $A B ⊥ B C$ ， $A B = 12$ ， $B C = 8$ ， $P$ 是 $△ A B C$ 内部的一个动点，且满足 $∠ P A B = ∠ P B C$ ，求线段 $P C$ 长的最小值．
请将以下解题过程补充完整．
解：∵ $∠ A B C = 90 °$ ，
∴ $∠ A B P + ∠ P B C = 90 °$ ，
∵ $∠ P A B = ∠ P B C$ ，
∴ $∠ A B P + ∠ P A B = 90 °$ ，
∴ $∠ A P B =$ _______ $°$ ，（定角）
∴点 $P$ 在以 $A B$ （定弦）为直径的 $⊙ O$ 上，
如图2，连接 $O C$ 交 $⊙ O$ 于点 $P$ ，此时 $P C$ 最小．
请完成后面的解题过程．
（2）【方法应用】如图3，在矩形 $A B C D$ 中，已知 $A B = 6$ ， $B C = 8$ ，点 $P$ 是 $B C$ 边上一动点（点P不与B，C重合），连接 $A P$ ，作点 $B$ 关于直线 $A P$ 的对称点 $M$ ，则线段 $M C$ 的最小值为________（直接写结果）．
（3）【能力拓展】如图4，在正方形 $A B C D$ 中， $A D = 10$ ，动点E，F分别在边 $D C$ ， $C B$ 上移动，且满足 $D E = C F$ ．连接 $A E$ 和 $D F$ ，交于点P．点E从点D开始运动到点C时，点P也随之运动，请求出点 $P$ 的运动路径长．

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2、对于二次函数 $y = x^{2} - 4 x + 3$ 和一次函数 $y = - x + 1$ ，我们把 $y = t (x^{2} - 4 x + 3) + (1 - t) (- x + 1)$ 称为这两个函数的“再生二次函数”，其中t是不为零的实数，其图象记作抛物线E.现有点A(1，0)和抛物线E上的点B(2，n)，请完成下列任务：
【尝试】
（1）当t=2时，抛物线 $y = t (x^{2} - 4 x + 3) + (1 - t) (- x + 1)$ 的顶点坐标为 .
（2）判断点A是否在抛物线E上；
（3）求n的值.
【发现】通过（2）和（3）的演算可知，对于t取任何不为零的实数，抛物线E总过定点，定点的坐标 .
【应用】二次函数 $y = - 3 x^{2} + 5 x - 2$ 是二次函数 $y = x^{2} - 4 x + 3$ 和一次函数 $y = - x + 1$ 的一个“再生二次函数”吗？如果是，求出t的值；如果不是，说明理由.

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3、如图， $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ，以点 $A$ 为圆心， $A C$ 为半径作圆，交 $B C$ 于点 $P$ ．

(1)、请用无刻度的直尺和圆规作出线段 $B P$ 的垂直平分线（保留作图痕迹，不写作法）；

(2)、若（1）中所作的垂直平分线与边 $A B$ 交于点 $Q$ ，连接 $P Q$ ．求证： $P Q$ 是 $⊙ A$ 的切线．

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4、如图，小明所在的数学小组测量计算学校国旗旗杆的高度，小明先在教学楼前台阶的底部点C处，测得旗杆顶端A的仰角为 $63 °$ ，然后他上到台阶顶端点D处，再测旗杆顶端A的仰角为 $45 °$ ，已知教学楼前台阶的斜坡 $C D$ 的坡度为 $1 : 2.4$ ，台阶斜坡 $C D$ 的铅直高度 $D E$ 为2米，求旗杆 $A B$ 的高度．（参考数据： $\sin 63 ° \approx 0.89$ ， $\cos 63 ° \approx 0.45$ ， $\tan 63 ° \approx 2.00$ ）

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5、为了改善城市环境，提升市容市貌，某区计划在街道两旁种植900棵景观树．由于社区志愿者的支援，实际每天种植的棵数是原计划的1.2倍，结果提前2天完成任务．原计划每天种树多少棵？

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6、计算： ${(- 1)}^{2025} + {(3.14 - π)}^{0} + {(\frac{1}{2})}^{- 1} - |- 4|$ ．

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7、在平面直角坐标系中，若点 $(b, a)$ 与点 $(- 3, 4)$ 关于原点对称，则 $b - a =$ ．

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8、已知方程 $x ^{2} - 3 x + m = 0$ 的一个根是1，则它的另一个根是．

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9、如图，已知 $m ∥ n$ ， $A B = B C$ ，下列数量关系中正确的是（）

A、 $∠ 1 = ∠ 3$ B、 $∠ 2 = ∠ 3$ C、 $∠ 1 = ∠ 2$ D、 $∠ 3 + ∠ 4 = 180 °$

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10、我们知道，对角线互相垂直的圆内接四边形有许多特殊的结论成立，如对边的平方和相等，等等．如图1，四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ， $A C ⊥ B D$ ， $A C$ ， $B D$ 交于点 $E$ ．

(1)、若 $A C = B D = 4$ ，则 $∠ B D C =$ ________度，四边形 $A B C D$ 的面积为________．

(2)、如图2，在 $A D$ 上找一点 $M$ ，连结 $B M$ ， $O M$ ，使 $B M ⊥ O M$ ，求证： $B M^{2} = A M • D M$ ．

(3)、如图1，已知 $B D = 4$ ，且 $C D = \sqrt{3} A B$ ．
①当 $A B = 2 \sqrt{3}$ 时，求 $A C$ 的长．
②如图3，在四边形 $A B C D$ 内取一点 $P$ ，连结 $A P$ ， $B P$ ， $C P$ ， $D P$ ，使 $∠ A P B = ∠ C P D = 90 °$ ，当 $A B$ 取最小值时，直接写出 $\tan ∠ A B P$ 的值．

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11、已知二次函数 $y = x^{2} + b x + c$ （ $b$ ， $c$ 为常数）的图象经过点 $A (2, 5)$ ，对称轴为直线 $x = \frac{1}{2}$ ．

(1)、求二次函数的表达式；

(2)、若点 $B (- 1, 7)$ 向上平移2个单位长度，向右平移 $m (m > 0)$ 个单位长度后，恰好落在 $y = x^{2} + b x + c$ 的图象上，求 $m$ 的值；

(3)、当 $n \leq x \leq 2$ 时，二次函数 $y = x^{2} + b x + c$ 的最大值与最小值的差为 $\frac{9}{4}$ ，求 $n$ 的取值范围．

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12、“轻轨飞梭如影重，上天入地驶楼中”， $8 D$ 魔幻城市重庆吸引全国各地的游客，而李子坝的“轻轨穿梭”成了游客们争相打卡的热门景点．如图，已知斜坡 $C D$ 底端 $C$ 距离轻轨所穿楼栋 $A B$ 底端 $A$ 处 $30$ 米远，斜坡 $C D$ 长为 $42$ 米，坡角为 $30 °$ ， $D E ⊥ C E$ ，为了方便游客拍照，现需在距斜坡底端 $C$ 处 $12$ 米的 $M$ 处挖去部分坡体修建一个平行于水平线 $C E$ 的观景平台 $M N$ 和一条新的坡角为 $45 °$ 的斜坡 $D N$ ．

(1)、求观景平台 $M N$ 的长：（结果保留根号）

(2)、小育在 $N$ 处测得轻轨所穿楼栋 $A B$ 顶端 $B$ 的仰角为 $30 °$ ，点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 、 $E$ 在同一个平面内，点 $A$ 、 $C$ 、 $E$ 在同一条直线上，且 $A B ⊥ A E$ ，求轻轨所穿楼栋 $A B$ 的高度．

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13、（1）计算： $3 \tan 30 ° + 6 \cos^{2} 45 ° - 2 \sin 60 °$ ．
（2）已知 $\frac{x}{2} = \frac{y}{3}$ ，求 $\frac{5 x - 2 y}{x + 2 y}$ 的值．

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14、如图，已知 $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，弦 $C D ⊥ A B$ 于点E， $O E = B E$ ．点P是劣弧 $A D$ 上任意一点（不与点A，D重合）， $C P$ 交 $A B$ 于点M， $A P$ 与 $C D$ 的延长线相交于点F，设 $∠ P C D = α$ ．
①则 $∠ F =$ ，（用含 $α$ 的代数式表示）；
②当 $∠ F = 3 ∠ P C D$ 时，则 $\frac{A M}{B M} =$ ．

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15、（1）已知 $a^{2} = 16$ ， $| - b | = 3$ ，若 $| a + b | = a + b$ ，求 $a + b$ 的平方根；
（2）已知 $x$ 是 $\sqrt{21} + 2$ 的小数部分， $y$ 是 $\sqrt{21} - 1$ 的整数部分，求 ${(\sqrt{21} - x)}^{y}$ 的立方根．

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16、完成下面的证明：
如图，已知 $A B ∥ E F$ ， $E P ⊥ E Q$ ， $∠ 1 + ∠ A P E = 90 °$ ，求证： $A B ∥ C D$ ．
证明： $∵ A B ∥ E F$ ，
∴ $∠ A P E =$ ______（____________）．
$∵ E P ⊥ E Q$ ，
$∴ ∠ P E Q =$ ______（垂直的定义）．
即 $∠ 2 + ∠ 3 = 90 °$ ．
$∴ ∠ A P E + ∠ 3 = 90 °$ ．
$∵ ∠ 1 + ∠ A P E = 90 °$ ，
$∴ ∠ 1 =$ ______．
$∴$ ______ $∥$ $C D$ （____________）．
又 $∵ A B ∥ E F$ ，
$∴ A B ∥ C D$ ．

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17、判定下列各数，并把下列各数前面的序号写入相应的集合中：
① $- 12 %$ ② $|- \sqrt{9}|$ ③ $- \frac{π}{3}$ ④ $\sqrt[3]{16}$ ⑤0 ⑥ $- \frac{22}{7}$ ⑦ $- 2^{2}$
正实数集合{_____________________________________________…}；
无理数集合{_____________________________________________…}；
整数集合{_______________________________________________…}；
分数集合{_______________________________________________…}．

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18、计算题或解方程：

(1)、 $\sqrt{4} + \sqrt[3]{8} - |- 18| \times \frac{2}{9}$ ；

(2)、 ${(- 1)}^{2025} + \sqrt{{(- 2)}^{2}} + |\sqrt{2} - \sqrt{3}| - \sqrt{3}$ ；

(3)、 $4 {(x + 1)}^{2} = 9$ ．

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19、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ B = 90 °$ ， $∠ C = 35 °$ ，点 $D$ 从点 $C$ 出发沿 $C A$ 方向向点 $A$ 运动，过点 $D$ 作 $D F ⊥ B C$ 于点 $F$ ，过点 $F$ 作 $E F ∥ C A$ 交 $A B$ 于点 $E$ ，若 $△ D E F$ 为直角三角形，则 $∠ A D E$ 的度数为．

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20、若一个正数的两个平方根分别是 $2 m + 6$ 和 $m - 18$ ，则 $m$ 的值是．

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