相关试卷

1、如图，已知四边形 $A B C D$ 是平行四边形， $A C$ 为对角线， $∠ A C B = 40 °$ ，则 $∠ C A D$ 的度数是（）

A、 $20 °$ B、 $40 °$ C、 $50 °$ D、 $140 °$

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2、下列曲线中不能表示y是x的函数的是（）

A、 B、 C、 D、

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3、我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（）

A、3，4，5 B、6，7，8 C、8，9，10 D、4，12，13

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4、下列是二次根式的是（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、 $- 4$

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5、在平面直角坐标系中， $A (0 ， a) ， B (b ， a) ， C (c ， 0) ， a, b, c$ 满足 $|a - 5| + {(3 a - 5 b)}^{2} + \sqrt{a + b - c} = 0 ．$

(1)、请直接写出点 $A, B, C$ 的坐标；

(2)、如图1，点 $D$ 在线段 $B C$ 上，点 $E$ 从点 $D$ 出发沿 $x$ 轴负方向平移，线段 $E F ∥ x$ 轴， $E F = 1$ ．
①当线段 $B E$ 最短时，则 $△ A F O$ 的面积是；
②点 $E$ 在运动过程中，探究 $∠ B E O$ ， $∠ A B E$ ， $∠ E O C$ 之间的关系，画出图形，直接写出结论；

(3)、点 $Q (1, 0)$ ，点 $P (m, n)$ 在线段 $B C$ 上，设四边形 $A O C B$ 面积为 $S_{1}$ ，三角形 $P C Q$ 面积为 $S_{2}$ ．若 $\frac{1}{5} \leq \frac{S_{2}}{S_{1}} \leq \frac{5}{6}$ 成立，请求出 $m$ 的取值范围．

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6、数学活动：

在数学活动课上，陈老师引导同学们探究画平行线的方法，张华通过折纸得出了过点P画直线 $A B$ 的平行线的方法，折纸过程如下．①-②-③-④．

张华在任务1的条件下继续探究．他在 $P 、 Q$ 两点处安装了绚丽的小射灯，灯P射线从 $P D$ 开始绕点 $P$ 顺时针旋转至 $P C$ 后立即回转，灯 $Q$ 射线从 $Q A$ 开始绕点 $Q$ 顺时针旋转至 $Q B$ 后立即回转两灯不停旋转交叉照射，且灯P，灯Q转动的速度分别是 $1 °$ /秒， $3 °$ /秒，若灯P射线转动20秒后，灯 $Q$ 射线开始转动．在灯 $P$ 射线第一次到达 $P C$ 之前，当灯 $Q$ 转动 $t$ 秒时，灯 $P$ 射线 $P N$ 转动到如图的位置．

张华按照上面要求转动灯 $P$ 、灯 $Q$ 过程中，发现当 $t$ 取某个值时，两灯的光束可以互相平行．

问题解决：

(1)、任务1：

通过上述的折纸过程，图②的折痕 $P Q$ 与直线 $A B$ 的位置关系是．如图． $∠ 1 = ∠ 2 =$ ．则 $A B$ 与 $C D$ 的位置关系为．

(2)、任务2：

①用含 $t$ 的式子表示 $∠ D P N =$ ，

②当 $t = 45 s$ 时，两条射线的夹角为．

(3)、任务3：

灯 $P$ 射线第一次到达 $P C$ 之前，求满足条件的 $t$ 的所有值并说明理由．

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7、2026马年央视春晚中，字树科技的机器人（武 $BOT$ ）展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作，是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率．拟购买 $A 、 B$ 两种型号智能机器人进行快递分拣．若买1台A型机器人、3台B型机器人，共需260万元；若买3台A型机器人、2台B型机器人，共需360万元．

(1)、求 $A 、 B$ 两种型号智能机器人的单价．

(2)、该企业现计划用960万元采购 $A$ 型和 $B$ 型机器人，两种机器人均要购买且预算必须全部用完．请列出所有可能的购买方案．

(3)、每台A型机器人每月维护费 $0.5$ 万元，每台B型机器人每月维护费 $0.3$ 万元，在（2）的所有方案中，维护费最低的是哪个方案？最低维护费是多少？

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8、已知 $2 a - 7$ 和 $a + 4$ 是某正数 $m$ 的两个平方根， $b - 12$ 的立方根为 $- 2$ ， $c$ 是 $\sqrt{19} - 3$ 的小数部分．

(1)、求 $m$ 的值；

(2)、求 $|2 b - m| + {(4 a + c)}^{2}$ 的值．

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9、解方程；

(1)、 $2 {(x - 1)}^{2} = 8$

(2)、 $\{\begin{matrix} 2 x + y = 3 \\ 3 x - 5 y = 11 \end{matrix}$

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10、如图，已知 $A C ∥ F E, ∠ 1 + ∠ 2 = 180 °$ ．
求证： $∠ F A B = ∠ B D C$ ．请将下面证明过程补充完整：
证明： $∵ A C ∥ E F$ （已知）
$∴ ∠ 1 + ∠ F A C = 180 °$ （①                  ）
又 $∵ ∠ 1 + ∠ 2 = 180 °$ （②                  ）
$∴$ ③                  （④                  ）
$∴ F A ∥ C D$ （⑤                  ）
$∴ ∠ F A B = ∠ B D C$ （⑥                  ）

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11、计算：

(1)、 $\sqrt{16} + \sqrt[3]{8} - \sqrt{{(- 5)}^{2}}$

(2)、 $|\sqrt{2} - 3| + {(- 1)}^{2026} - \sqrt[3]{125}$ ．

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12、 $\sqrt{9}$ =； $\sqrt[3]{- 64}$ = ．

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13、如图，有下列条件能判断直线 $a ∥ b$ 的有（）
① $∠ 1 = ∠ 2$ ；② $∠ 3 + ∠ 4 = 180 °$ ；③ $∠ 5 + ∠ 6 = 180 °$ ；④ $∠ 2 = ∠ 3$ ．

A、4个 B、3个 C、2个 D、1个

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14、已知平面直角坐标系中有点 $A (- 2, 1)$ ，过点 $A$ 作直线 $A B ⊥ x$ 轴，如果 $A B = 3$ ，则点 $B$ 的坐标为（　　）

A、 $(- 2, 4)$ 或 $(- 2, - 2)$ B、 $(1, 1)$ 或 $(- 5, 1)$ C、 $(1, 4)$ 或 $(- 5, - 2)$ D、 $(1, 1)$

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15、下列方程中，是二元一次方程的是（）

A、 $x^{2} + x = 2$ B、 $x + 3 x = 8$ C、 $2 x + y = 6$ D、 $x + \frac{1}{y} = 4$

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16、无理数的产生不仅是数学史上的一个重要里程碑，也对整个科学和哲学产生了深远的影响．下列四个数中无理数是（）

A、 $\sqrt{9}$ B、 $\sqrt[3]{8}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、3.14

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17、如图1，正方形 $A B C D$ 的边长为 $4 \sqrt{2}$ ，在 $△ E C F$ 中， $E C = C F, E C ⊥ C F$ ，连接 $B E$ ，且 $B E ⊥ E C$ ．

(1)、若 $B E = 2$ ，求 $E F$ 的长；

(2)、如图2，连接 $B F$ 交 $C E$ 于点O，若O是 $C E$ 的中点，求证： $B C = E F$ ；

(3)、在（2）问的条件下，连接 $D E$ ，求 $D E$ 的长．

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18、定义：如图1，点 $M, N$ 把线段 $A B$ 分割成 $A M, M N$ 和 $B N$ ，若以 $A M, M N, B N$ 为边的三角形是一个直角三角形，则称点 $M, N$ 是线段 $A B$ 的勾股分割点．

(1)、如图1，已知点 $M, N$ 是线段 $A B$ 的勾股分割点，且线段 $B N$ 是线段 $A M, M N$ 和 $N B$ 中最长的，若 $A M = 3 cm, M N = 5 cm$ ，则线段 $B N$ 的长为 $cm$ ；

(2)、如图2，已知点 $M$ 在线段 $A B$ 上，且 $A M = 4 cm, B M = 8 cm$ ，点 $N$ 在 $B M$ 上，且 $M$ ， $N$ 是线段 $A B$ 的勾股分割点，求线段 $B N$ 的长；

(3)、如图3，在 $△ A B C$ 中， $∠ B C A = 90 °, A C = B C$ ，点 $M, N$ 在斜边 $A B$ 上，且 $∠ M C N = 45 °$ ，求证：点 $M, N$ 是线段 $A B$ 的勾股分割点．

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19、已知 $m = \frac{1}{\sqrt{5} - 2}$ ，求 $3 m^{2} - 12 m + 2$ 的值．小华是这样分析与解答的：
$∵ m = \frac{1}{\sqrt{5} - 2} = \frac{\sqrt{5} + 2}{(\sqrt{5} - 2) (\sqrt{5} + 2)} = \sqrt{5} + 2$ ，
$∴ m - 2 = \sqrt{5}$ ，
$∴ {(m - 2)}^{2} = 5$ ，即 $m^{2} - 4 m + 4 = 5$ ，
$∴ m^{2} - 4 m = 1$ ，
$∴ 3 m^{2} - 12 m + 2 = 3 (m^{2} - 4 m) + 2 = 3 \times 1 + 2 = 5$ ．
请你根据小华的分析过程，解决如下问题：

(1)、若 $m = \frac{1}{\sqrt{5} + 2}$ ，求 $2 m^{2} + 8 m + 1$ 的值；

(2)、求 $\frac{1}{\sqrt{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{200} + \sqrt{199}}$ 的值；

(3)、比较 $\sqrt{2026} - \sqrt{2025}$ 与 $\sqrt{2025} - \sqrt{2024}$ 的大小，并说明理由．

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20、如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，点E，F分别在 $B C ， A D$ 上，且 $B E = E C = D F$ ， $A C ⊥ A B$ ．

(1)、证明：四边形 $A E C F$ 为菱形；

(2)、在（1）的条件下，若 $∠ D = 60 °$ ， $F D = 2$ ，求菱形 $A E C F$ 的面积．

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