相关试卷

1、【基础巩固】（1）如图1，已知 $A C ⊥ A B$ 于点 $A$ ， $B D ⊥ A B$ 于点B，P是 $A B$ 上一点，已知 $P C = P D$ ， $∠ C P D = 90 °$ ， $C P = 5$ ， $A C = 3$ ，求 $△ P B D$ 的周长；
【尝试应用】（2）如图2，已知 $A C = B C = 2 \sqrt{5}$ ， $A B = 4$ ，点D，E分别在边 $A C$ 和 $B C$ 上， $P$ 是 $A B$ 上一点，且 $P D = P E$ ， $∠ D P E = 90 °$ ，求 $A D + B E$ 的值；
【拓展提高】（3）如图3，已知 $A C = B C = 2 \sqrt{5}$ ， $A B = 4$ ，点D，E分别在直线 $A C$ 和直线 $B C$ 上， $P$ 是边 $A B$ 上一点，且 $A P = 1$ ， $∠ D P E = 90 °$ ， $△ D P E$ 的两条直角边 $P D : P E = 1 : 2$ ，直接写出此时 $B E$ 的长度．

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2、已知 $y_{1} = a x^{2} + (a + b) x + b$ 和 $y_{2} = b x^{2} + (a + b) x + a$ （ $a \neq b$ 且 $a b \neq 0$ ）是同一直角坐标系中的两条抛物线．

(1)、当 $a = 1$ ， $b = - 3$ 时，求抛物线 $y_{1} = a x^{2} + (a + b) x + b$ 的顶点坐标；

(2)、判断 $y_{1} = a x^{2} + (a + b) x + b$ 与坐标轴的交点个数，并说明理由；

(3)、如果对于抛物线 $y_{1} = a x^{2} + (a + b) x + b$ 上的任意一点 $P (m, n)$ 均有 $n \leq 2 a + 2 b$ ．当 $y_{2} \geq 0$ 时，求自变量 $x$ 的取值范围．

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3、体育是义乌市中考科目之一，现随机抽取初三年级部分学生进行“你最想选择哪个考试项目？”的问卷调查，参与调查的学生需从 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 、 $E$ 五个选项（ $A$ ：篮球； $B$ ：立定跳远； $C$ ：排球； $D$ ：实心球； $E$ ：跳绳）中任选一项（必选且只选一项）．根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息完成以下问题：

(1)、参加本次调查的一共有_____名学生；在扇形统计图中，“ $D$ ”所在扇形圆心角的度数是_____；

(2)、请你补全条形统计图；

(3)、已知立信中学初二年级共有750名学生，请你根据调查结果，估计初二年级最想选择“跳绳”的学生有多少人？

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4、（1）计算： $2^{- 1} + |- \frac{1}{2}| + {(\sqrt{2} - 2025)}^{0} - cos 60 °$ ；
（2）解方程： $\frac{3}{x - 2} + 3 = \frac{1 - x}{2 - x}$ ；

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5、如图，正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ 是边 $A D$ 的中点．连接 $B E$ ，在 $B E$ 上找一点 $F$ ，连接 $A F$ ，将 $A F$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $90 °$ 到 $A G$ ． $A G$ ， $B D$ 延长线交于点 $H$ ．若 $A B = 2$ ，当F，E，G三点共线时， $S_{△ B F H}$ $=$ ．

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6、如图，已知 $a ∥ b$ ，直线 $c$ 分别与a，b相交于D，A两点，把一块含 $30 °$ 角的三角尺按如图所示的位置摆放，若 $∠ 3 = 106 °$ ， $∠ 2 = ∠ 1 + 2 °$ ，则 $∠ 1$ 的度数为．

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7、三国时代的数学家刘徽创作了一幅“青朱出入图”（如图1），利用割补的方法可以得到两个小正方形的面积之和等于大正方形的面积，这样就证明了勾股定理，图2也是一幅青朱出入图，设 $△ A B M$ ， $△ E F H$ ， $△ C M Q$ 的面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{3}$ ，已知 $S_{1} + S_{2} + S_{3} = \frac{56}{3}$ ， $S_{1} + S_{2} - S_{3} = 16$ ，则大正方形 $A M N E$ 的面积为（）

A、64 B、60 C、56 D、52

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8、利用尺规作图，过直线 $A B$ 外一点 $P$ 作已知直线 $A B$ 的平行线．下列作法错误的是（）

A、 B、 C、 D、

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9、“践行垃圾分类·助力双碳目标”主题班会结束后，米乐和琪琪一起收集了一些废电池，米乐说：“我比你多收集了7节废电池”琪琪说：“如果你给我8节废电池，我的废电池数量就是你的2倍．”如果他们说的都是真的，设米乐收集了x节废电池，琪琪收集了y节废电池，根据题意可列方程组为（）

A、 $\{\begin{array}{l} x - y = 7 \\ 2 (x - 8) = y + 8 \end{array}$ B、 $\{\begin{array}{l} x - y = 7 \\ x - 8 = 2 (y + 8) \end{array}$ C、 $\{\begin{array}{l} x - y = 7 \\ 2 (x - 8) = y \end{array}$ D、 $\{\begin{array}{l} y - x = 7 \\ x + 8 = 2 (y - 8) \end{array}$

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10、如图1， $Rt △ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $A B = 20$ ， $B C = 15$ ，以 $A B$ 为直径的 $⊙ O$ 交 $A C$ 于点D，M是 $B C$ 的中点，连结 $D M$ ．

(1)、求证： $M D$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、如图2，过点B作 $M D$ 的平行线交 $A C$ 于点E．
①求 $A E$ 的长；
②如图3，点 $P$ 在线段 $B E$ 上，连结 $D P$ 交并延长交 $⊙ O$ 于点Q，当 $\frac{E P}{B P} = \frac{21}{4}$ 时，求 $D Q$ 的值．

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11、已知：在矩形 $A B C D$ 中， $A C$ 是对角线．求作：菱形 $A E C F$ ，使点 $E ， F$ 分别在边 $A D ， B C$ 上．
作法：如图，①分别以点 $A$ ， $C$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} A C$ 长为半径画弧，两弧在线段 $A C$ 两侧分别交于点 $M ， N$ ；
②作直线 $M N$ 交 $A C$ 于点 $O$ ，与 $A D ， B C$ 分别交于点 $E ， F$ ；
③连接 $A F ， C E$ ．
所以四边形 $A E C F$ 就是所求的菱形．
根据上面设计的尺规作图过程，

(1)、使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；

(2)、完成下面的证明．
证明：连接 $M A ， M C ， N A ， N C$ ．
∵ $M A = M C ， N A = N C$ ，
∴ $M N$ 是 $A C$ 的垂直平分线             （填推理根据）．
∴ $E A = E C$ ．
∴ $∠ E A C = ∠ E C A$ ．
∵四边形 $A B C D$ 是矩形，
∴ $A D ∥ B C$ ，
∴ $∠ E A C = ∠ F C A$ ．
∴ $∠ E C A =$               ．
又 $M N ⊥ A C$ ，
∴ $∠ C O E = ∠ C O F = 90 °$ ．
∴ $∠ C E F = ∠ C F E$ ．
∴ $C F = C E$ ．
∴ $C F = E A$ ．
又∵ $C F ∥ E A$ ，
∴四边形 $A E C F$ 是平行四边形             （填推理根据）．
又∵ $A C ⊥ E F$ ，
∴四边形 $A E C F$ 是菱形             （填推理根据）．

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12、(1)先化简，再求值：[(3x+2y)(3x-2y)-(x+2y)(5x-2y)]÷(4x).其中x=100，y=25.
(2)已知3a＝2b，求代数式[(a＋b)²－a²－b²＋4b(a－b)]÷(2b)的值．

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13、“海之跃”摩天轮是某地区的城市名片．滨城学校九年级（3）班的项目式学习团队计划在摩天轮上测量一座写字楼的高度．
【素材一】如图1，“海之跃”摩天轮共有 $24$ 个轿厢，均匀分布在圆周上拟测算的写字楼与摩天轮在同一平面内．
【素材二】自制工具：使用直角三角板教具和铅锤，制作测角仪器（如图2）
【素材三】若学生身高和轿厢大小忽略不计，如图3，摩天轮的最高高度为 $150$ 米，半径为 $72$ 米，该团队分成三组分别乘坐 $1$ 号 $A$ 、 $4$ 号 $B$ 和 $10$ 号 $C$ 轿厢，当 $1$ 号轿厢运动到摩天轮最高点时，二组队员同时使用测角仪观测写字楼最高处 $D$ 点，观测数据如表（观测误差忽略不计）．
1号轿厢测量情况
4号轿厢测量情况
10号轿厢测量情况
【任务一】初步探究，获取基础数据
（1）如图3，请连接 $A O$ 、 $B O$ ，则 $∠ A O B =$ ______°；
（2）求出 $1$ 号轿厢运动到最高点时， $4$ 号轿厢所在位置 $B$ 点的高度．（结果保留根号）
【任务二】推理分析，估算实际高度
（3）根据观测数据，计算写字楼的实际高度 $D N$ ．（结果用四舍五入法取整数， $\sqrt{2} \approx 1.41$ ）
（4）根据 $4$ 号和 $10$ 号轿厢的测量数据，则 $1$ 号轿厢的测量数据x的值为______．（结果保留根号）

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14、在平面直角坐标系中，有如下定义：若某图形 $W$ 上的所有点都在一个矩形的内部或边界上（该矩形的一条边平行于x轴），这些矩形中面积最小的矩形叫图形 $W$ 的“美好矩形”．
例如：如图1，已知 $△ A B C$ ，矩形 $A D E F$ ， $A D ∥ x$ 轴，点 $B$ 在 $D E$ 上，点 $C$ 在 $E F$ 上，则矩形 $A D E F$ 为 $△ A B C$ 的美好矩形．

(1)、如图2，矩形 $A B C D$ 是函数 $y = 2 x (- 1 \leq x \leq 1)$ 图象的美好矩形，求出矩形 $A B C D$ 的面积；

(2)、如图3，点 $A$ 的坐标为 $(1, 4)$ ，点 $B$ 是函数 $y = \frac{4}{x} (x > 0)$ 图象上一点，且横坐标为 $m$ ，若函数图象在 $A$ 、 $B$ 之间的图形的美好矩形面积为 $9$ ，求 $m$ 的值；

(3)、对于实数 $a$ ，当 $a \leq x \leq a + 2$ 时，函数 $y = x^{2} - 6 x$ 图象的美好矩形恰好是面积为 $6$ ，请直接写出 $a$ 的值为_______．

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15、如图，A，B，C，D是 $⊙ O$ 上的四点， $A C$ 是直径， $A B = B D$ ， $⊙ O$ 的切线 $B E$ 交 $D C$ 的延长线于点E．

(1)、求证： $B E ⊥ D E$ ；

(2)、若 $A B = 5 \sqrt{5}$ ， $B E = 5$ ，求 $⊙ O$ 的半径．

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16、如图，在 $Rt △ A B C$ 中，在 $∠ A C B = 90 °$ ， $D$ 为 $A C$ 边上的中点，将 $△ A B D$ 沿 $B D$ 翻折至 $△ E B D$ ，连接 $C E$ ，若 $\tan A = \frac{2}{3}$ ，则 $\frac{S_{△ B C E}}{S_{△ B D E}} =$ ．

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17、如图，在平面直角坐标系中，四边形 $A O C B$ 为菱形， $\sin ∠ A O C = \frac{4}{5}$ ，且点 $A$ 落在反比例函数 $y = \frac{3}{x} (x > 0)$ 上，点 $B$ 落在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 上，则 $k =$ ．

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18、“二十四节气”是上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．若要从“惊蛰”“小满”“白露”“冬至”四张主题邮票中随机抽取两张，则恰好抽到“小满”和“冬至”两张主题邮票的概率是．

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19、现有 $x$ 辆载重 $6$ 吨的卡车运一批重 $y$ 吨的货物，若每辆卡车装 $5$ 吨，则剩下 $2$ 吨货物；若每辆卡车装满后，最后一辆卡车只需装 $4$ 吨，即可装满所有货物．根据题意，可列方程（组）（）

A、 $5 x + 2 = 6 (x - 1) + 4$ B、 $5 x + 2 = 6 x - 4$ C、 $\{\begin{matrix} 5 x - y = 2 \\ y - 6 (x - 1) = 4 \end{matrix}$ D、 $\{\begin{matrix} y - 5 x = 2 \\ 6 x - y = 4 \end{matrix}$

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20、下列 $1 o g o$ 中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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