相关试卷

1、如图1，四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ， $A C$ 是 $⊙ O$ 的直径，过点A的切线与 $C D$ 的延长线相交于点P．且 $∠ A P C = ∠ B C P$ ．

(1)、求证： $∠ B A C = 2 ∠ A C D$ ；

(2)、过图1中的点D作 $D E ⊥ A C$ ，垂足为E（如图2），当 $B C = 6$ ， $A E = 2$ 时，求 $⊙ O$ 的半径．

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2、如图，所示，在某海域，一艘指挥船在C处收到渔船在B处发出的求救信号，经确定，遇险抛锚的渔船所在的B处位于C处的南偏西 $45 °$ 方向上，且 $B C = 100$ 海里；指挥船搜索发现，在C处的南偏西 $60 °$ 方向上有一艘海监船A，恰好位于B处的正西方向．于是命令海监船A前往搜救，已知海监船A的航行速度为40海里/小时，问渔船在B处需要等待多长时间才能得到海监船A的救援？（已知 $\sqrt{2} \approx 1.41$ ， $\sqrt{6} \approx 2.45$ ）

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3、如图，在正方形 $A B C D$ 中， $A C$ 为对角线，E为 $A B$ 上一点，过点E作 $E F ∥ A D$ ，与 $A C 、 D C$ 分别交于点G、F，H为 $C G$ 的中点，连接 $D E 、 E H 、 D H 、 F H$ ．下列结论：① $E G = D F$ ；② $∠ A E H + ∠ A D H = 180 °$ ；③ $△ E H F ≌ △ D H C$ ；④若 $\frac{A E}{A B} = \frac{1}{3}$ ，则 $3 S_{△ E D H} = 13 S_{△ D H C}$ ，其中结论正确的有（填写序号）．

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4、如图，△ABC中，∠BAC＞90°，BC=5，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°，点B对应点B^'落在BA的延长线上．若sin∠B^'AC= $\frac{9}{10}$ ，则AC= ．

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5、比较大小 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ $- 2$ （填“ $>$ ”、“ $<$ ”或“ $=$ ”）．

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6、已知抛物线 $C : y = \frac{1}{2} {(x - 1)}^{2} - 1$ ，顶点为D，将C沿水平方向向右（或向左）平移m个单位，得到抛物线 $C_{1}$ ，顶点为 $D_{1}$ ， C与 $C_{1}$ 相交于点Q，若 $∠ D Q D_{1} = 60^{°}$ ，则m等于（）

A、 $\pm 4 \sqrt{3}$ B、 $\pm 2 \sqrt{3}$ C、﹣2或 $2 \sqrt{3}$ D、﹣4或 $4 \sqrt{3}$

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7、如图，菱形ABCD的两个顶点B、D在反比例函数y= $\frac{k}{x}$ 的图象上，对角线AC与BD的交点恰好是坐标原点O，已知点A（1，1），∠ABC=60°，则k的值是（　　）

A、﹣5 B、﹣4 C、﹣3 D、﹣2

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8、下列运算正确的是( )

A、m⁶÷m²＝m³ B、3m²－2m²＝m² C、(3m²)³＝9m⁶ D、 $\frac{1}{2}$ m·2m²＝m²

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9、某数学兴趣小组同学遇到这样一个问题：如图1，点 $A$ 是一只探照灯，距离地面高度 $A B = m$ ，照射角度 $∠ M A N = α$ ，在地平线 $l$ 上的照射范围是线段 $M N$ ，此灯的光照区域 $△ A M N$ 的面积最小值是多少？

(1)、小明同学利用特殊化方法进行分析，请你完成填空：如图2，设 $α = 90 °$ ， $m = 4$ ，构造 $△ A M N$ 的外接圆 $⊙ O$ ，可得 $O A \geq A B$ ，即 $O A$ 的最小值为4，又 $M N = 2 O A$ ，故得 $M N$ 的最小值为__________，通过计算可得 $△ A M N$ 的面积最小值为__________．

(2)、当 $α = 45 ° ， m = 4$ 时，小慧同学采用小明的思路进行如下构造，请你在图1中画出图形，并把解题过程续写完整：
解：作 $△ A M N$ 的外接圆 $⊙ O$ ，作 $O H ⊥ M N$ 于H，设 $M N = 2 x$

(3)、请你写出原题中的结论：光照区域 $△ A M N$ 的面积最小值是__________________________．（用含 $m ， α$ 的式子表示）

(4)、如图3，探照灯A到地平线l距离 $A B = 4$ 米，到垂直于地面的墙壁n的距离 $A D = 6$ 米，探照灯的照射角度 $∠ M A N$ ，且 $∠ M A N = 45 °$ ，光照区域为四边形 $A M C N$ ，点M、N分别在射线 $C D 、 C B$ 上，设 $△ A C M$ 的面积为 $S_{1}$ ， $△ A C N$ 的面积为 $S_{2}$ ，求 $4 S_{1} + 9 S_{2}$ 的最大值．

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10、已知抛物线 $y = x^{2} - 2 b x + c$ ．

(1)、若点 $(2, c)$ 在抛物线上．
①求抛物线的对称轴；
②当 $0 \leq x \leq 3$ 时， $y$ 的最大值为 $4$ ，求抛物线的函数表达式；

(2)、当 $0 \leq x \leq 1$ 时， $y = x^{2} - 2 b x + c$ （ $0 < b < 1$ ）最大值与最小值的差为 $\frac{3}{4}$ ，求 $b$ 的值．

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11、综合与实践
【发现并提出问题】
在进行综合与实践活动时，学习小组发现可以将一张特殊的平行四边形硬纸片剪拼成一个有盖的直四棱柱形盒子（无损耗无重叠），在制作过程中，学习小组提出了一个问题：制作的盒子的高与四边形硬纸片的边长存在怎样的数量关系？
【分析并解决问题】
探究一：盒子的高与正方形硬纸片的边长的数量关系
（1）以正方形 $O A B C$ 的顶点O为坐标原点， $O A$ ， $O C$ 所在的直线为坐标轴建立如图1所示的平面直角坐标系，此时点B的坐标为 $(4, 4)$ ，再以正方形 $O A B C$ 的两条对角线交点P为位似中心，画一个正方形 $D E F G$ ，使它与正方形 $O A B C$ 位似，且相似比为 $1 : 2$ ，然后按图2的方式将正方形纸片 $O A B C$ 沿虚线剪开，可拼接成如图3所示的四棱柱形有盖盒子．
请在图1中画出正方形 $D E F G$ ，此时盒子的高h为______；
探究二：盒子的高与菱形硬纸片的边长的数量关系
（2）按探究一的方式将图4中的菱形硬纸片制作成了如图5所示的四棱柱形有盖盒子．在菱形 $A B C D$ 中，若 $A B = a$ ， $∠ D A B = 60 °$ ，则盒子的高 $P Q$ 为______；（用含a的代数式表示）
【推广并创新应用】
探究三：盒子的高与矩形硬纸片的边长的数量关系
（3）如图6，矩形硬纸片 $A B C D$ 中， $A B = m$ ， $A D = n$ ，将该纸片沿虚线剪开，把所得的四个阴影部分纸片再剪拼成一个长方形盖子，并与剩余部分一起拼接成一个四棱柱形有盖盒子，求盒子的高 $P Q$ ．（用含有m，n的代数式表示）

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12、已知点 $A (a, b)$ 与点 $B$ 关于 $x$ 轴对称，将点 $A$ 向左平移3个单位长度得到点 $C$ ．若 $B, C$ 两点都在函数 $y = 2 x + 1$ 的图象上，求点 $A$ 的坐标．

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13、在 $△ A B C$ 和 $△ A E D$ 中， $A B \cdot A D = A C \cdot A E$ ， $∠ B A D = ∠ C A E$ ，求证： $△ A B C ∽ △ A E D$ ．

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14、计算： $\frac{3 x}{1 - x} - \frac{3}{1 - x}$

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15、如图，顶点为 $(- 3, - 6)$ 的抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 过 $(- 1, - 4)$ ，则下列结论：① $a b c < 0$ ；②对于任意的m，均有 $a m^{2} + b m + c + 6 > 0;$ ③ $5 a - c = 4$ ；④若 $a x^{2} + b x + c \geq - 4$ ，则 $x \geq - 1$ ；⑤ $a = \frac{1}{2}$ ⑥不等式 $a x^{2} + b x + c > x - 3$ 的解集为 $- 3 < x < - 1$ 其中正确的为（填序号）．

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16、如图，数轴上A、B两点表示的数分别为a、b，则关于x的不等式组 $\{\begin{array}{l} x < a \\ x < b \end{array}$ 的解集是．

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17、因式分解： $6 m^{2} - 6 =$ ．

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18、下列命题是假命题的是（）

A、矩形的对角线相等且互相平分 B、对角线相等的菱形是正方形 C、若双曲线 $y = \frac{k}{x}$ 经过点 $(1, 1)$ ，则点 $(2025, \frac{1}{2025})$ 在双曲线上 D、有一个角相等的两个等腰三角形相似

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19、下列运算正确的是（）

A、 $2 a^{2} \cdot 3 a = 6 a^{3}$ B、 ${(2 a)}^{3} = 2 a^{3}$ C、 $a^{6} + a^{2} = a^{3}$ D、 $3 a^{2} + 4 a^{7} = 7 a^{9}$

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20、已知： $⊙ O$ 是 $△ A B C$ 的外接圆， $∠ A C B$ 的平分线交 $⊙ O$ 于点 $D$ ，连接 $A D$ ， $B D$ ．

(1)、如图1，求证： $A D = B D$ ；

(2)、如图2， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，过点 $A$ 作 $A E ⊥ C D$ ，垂足为点 $E$ ，连接 $B E$ ，若 $∠ D B E = 2 ∠ A B C$ ， $D E = 2$ ，求 $⊙ O$ 的半径；

(3)、如图3， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，过点 $A$ 作 $A E ⊥ C D$ ，垂足为点 $E$ ，连接 $B E$ ，若 $∠ D B E = 2 ∠ A B C$ ， $B G = C G$ ， $S_{△ C E G} = 3$ ，点 $F$ 在 $\overset{⌢}{B D}$ 上，连接 $C F$ ，分别交 $B E$ ， $B D$ 于点 $G$ ， $H$ ，求线段 $F H$ 的长．

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