相关试卷

1、综合与实践：在数学综合实践课上，孙老师和“希望小组”的同学们从特殊的几何图形入手，探究旋转变换的几何问题．
【建立模型】（1）如图1，点 $M$ 为等边 $△ A B C$ 内部一点，小颜发现：将 $B M$ 绕点 $B$ 逆时针旋转 $60 °$ 得到 $B N$ ，则 $M C = N A$ ．请思考并证明小颜的结论；
【类比探究】（2）小梁进一步探究；如图2，点 $M$ 为正方形 $A B C D$ 内部一点，将 $B M$ 绕点 $B$ 逆时针旋转 $90 °$ 得到 $B N$ ，连接 $C M$ 并延长，交 $A N$ 于点 $E$ ．求证： $E M + E N = \sqrt{2} E B$ ；
【拓展延伸】（3）孙老师提出新的探究方向：如图3，点 $M$ 为 $△ A B C$ 内部一点， $A B = A C$ ．点 $P$ ， $Q$ 是 $A B$ ， $A C$ 上的动点，且 $A P = A Q$ ，若 $∠ A B M + ∠ A C M = 30 °$ ， $B M = 6$ ， $C M = 5 \sqrt{3}$ ，请直接写出 $P M + Q M$ 的最小值．

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2、如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + 4 x + c (a \neq 0)$ 与 $x$ 轴交于点 $A (- 1, 0)$ 和点B，且点A在点B的左侧，与 $y$ 轴交于点 $C (0, 5)$ ．

(1)、求抛物线的函数表达式；

(2)、如图1，直线 $y = - x + 2$ 与 $x$ 轴交于点D，与 $y$ 轴交于点E，在x轴上方的抛物线上有一动点P，设射线 $A P$ 与直线 $y = - x + 2$ 交于点N，求 $\frac{P N}{A N}$ 的最大值，及此时点P的坐标；

(3)、如图2，连接 $A E$ ，将原抛物线沿射线 $E D$ 方向平移得到新抛物线 $y^{'}$ ，使平移后的新抛物线 $y^{'}$ 经过点B，新抛物线 $y^{'}$ 与x轴的另一交点为点M，请问在新抛物线 $y^{'}$ 上是否存在一点T，使得 $∠ T M B + ∠ A E O = 90 °$ ？若存在，则直接写出点T的坐标；若不存在，则说明理由．

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3、我国机器人产业正处于高速发展的关键时期.2025年春晚名为《秧 $B O T$ 》的舞蹈，机器人们以精准的动作和热情的表演让观众体验到秧歌的独特韵味．某科研团队研发了三款智能机器人，分别命名为 $A$ 、 $B$ 、 $C$ ．为测试这三款机器人在图象识别能力和运动能力方面的综合表现，团队对它们进行了全面测试．在图象识别能力测试中， $A$ 、 $B$ 、 $C$ 三款机器人的得分（满分为100分）分别为87分、85分、90分．运动能力测试由10位专业测试员打分，每位测试员最高打10分，各位测试员打分之和为运动能力测试成绩．现需对三款机器人的运动能力测试数据进行详细分析．
【数据收集与整理】
$A$ 、 $B$ 、 $C$ 三款机器人运动能力测试情况统计表
机器人
测试员打分的中位数
测试员打分的众数
运动能力测试成绩
方差
$A$
$m$
9和10
85
1.85
$B$
8.5
8
87
0.61
$C$
8
$n$
83
2.01
（1）任务1： $m =$ ______， $n =$ ______；
【数据分析与运用】
（2）任务2：按图象识别能力测试成绩占 $40 %$ ，运动能力测试成绩占 $60 %$ 计算综合成绩，请你判断 $A$ 、
$B$ 、 $C$ 三款机器人中综合成绩最高的是哪一款？
（3）任务3：如果要选择 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 三款机器人中的一款上台表演，你会选择哪一款？请给出你的理由．

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4、如图，圆的直径是 $10 cm$ ，按图中各图规律画下去，第 $n$ （ $n \geq 1$ ）个图的周长（外围）是 $cm$ （结果保留 $π$ ）

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5、如图，燃烧的蜡烛 $A B$ 经小孔 $O$ 在屏幕上成像 $A^{'} B^{'}$ ，设 $A B = 30 cm$ ，小孔 $O$ 到 $A B$ 、 $A^{'} B^{'}$ 的距离分别为 $32 cm$ 、 $20 cm$ ，则像 $A^{'} B^{'}$ 的长是 $cm$ ．

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6、计算： $2 \sin 30 ° + {(\frac{1}{2})}^{- 2} + {(2025 + π)}^{0} =$ ．

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7、把多项式x³﹣xy²分解因式的结果是．

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8、如图， $A$ ， $B$ ， $C$ 在 $⊙ O$ 上， $A C$ ， $O B$ 交于点 $D$ ．若 $A D = C D = 8$ ， $O D = 6$ ，则 $⊙ O$ 半径的长为（）

A、 $2 \sqrt{13}$ B、6 C、8 D、10

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9、不等式组 $\{\begin{matrix} 2 x + 2 \geq 0 \\ - x > - 1 \end{matrix}$ 的解集在数轴上表示为（）

A、 B、 C、 D、

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10、下列计算不正确的是（）

A、 $\sqrt{8} = 2 \sqrt{2}$ B、 ${(- a^{3})}^{2} = a^{6}$ C、 ${(a + 1)}^{2} = a^{2} + 1$ D、 $3 a^{2} + 2 a^{2} = 5 a^{2}$

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11、从下列四个食品标识图中，随机取出一个图形，是轴对称图形的概率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、1

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12、【图形感知】
如图 $1$ ，在四边形 $A B C D$ 中，已知 $∠ B A D = ∠ A B C = ∠ B D C = 90^{\circ}$ ， $A D = 2$ ， $A B = 4$ ．

(1)、求 $C D$ 的长；

(2)、【探究发现】
老师指导同学们对图 $1$ 所示的纸片进行了折叠探究．
在线段 $C D$ 上取一点 $E$ ，连接 $B E .$ 将四边形 $A B E D$ 沿 $B E$ 翻折得到四边形 $A' B E D'$ ，其中 $A'$ ， $D'$ 分别是 $A$ ， $D$ 的对应点．
其中甲、乙两位同学的折叠情况如下：
$①$ 甲：点 $D'$ 恰好落在边 $B C$ 上，延长 $A' D'$ 交 $C D$ 于点 $F$ ，如图 $2 .$ 判断四边形 $D B A' F$ 的形状，并说明理由；
$②$ 乙：点 $A'$ 恰好落在边 $B C$ 上，如图 $3 .$ 求 $D E$ 的长；

(3)、如图 $4$ ，连接 $D D'$ 交 $B E$ 于点 $P$ ，连接 $C P .$ 当点 $E$ 在线段 $C D$ 上运动时，线段 $C P$ 是否存在最小值？若存在，直接写出；若不存在，说明理由．

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13、已知二次函数 $y = x (x - a) + (x - a) (x - b) + x (x - b)$ ，其中 $a$ ， $b$ 为两个不相等的实数．

(1)、当 $a = 0$ 、 $b = 3$ 时，求此函数图象的对称轴；

(2)、当 $b = 2 a$ 时，若该函数在 $0 \leq x \leq 1$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而减小；在 $3 \leq x \leq 4$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而增大，求 $a$ 的取值范围；

(3)、若点 $A (a, y_{1})$ ， $B (\frac{a + b}{2}, y_{2})$ ， $C (b, y_{3})$ 均在该函数的图象上，是否存在常数 $m$ ，使得 $y_{1} + m y_{2} + y_{3} = 0$ ？若存在，求出 $m$ 的值；若不存在，说明理由

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14、【问题情境】
$2025$ 年 $5$ 月 $29$ 日“天问二号”成功发射，开启了小行星伴飞取样探测的新篇章．某校航天兴趣小组受到鼓舞，制作了一个航天器模型，其中某个部件使用 $3 D$ 打印完成，如图 $1$ ．
【问题提出】
部件主视图如图 $2$ 所示，由于 $1$ 的尺寸不易直接测量，需要设计一个可以得到 $l$ 的长度的方案，以检测该部件中 $l$ 的长度是否符合要求．
【方案设计】
兴趣小组通过查阅文献，提出了钢柱测量法．
测量工具：游标卡尺、若干个底面圆半径相同的钢柱 $($ 圆柱 $)$ ．
操作步骤：如图 $3$ ，将两个钢柱平行放在部件合适位置，使得钢柱与部件紧密贴合．示意图如图 $4$ ， $⊙ O$ 分别与 $A C$ ， $A D$ 相切于点 $B$ ， $D .$ 用游标卡尺测量出 $C C'$ 的长度 $y$ ．
【问题解决】
已知 $∠ C A D = ∠ C' A' D' = 60^{\circ}$ ， $l$ 的长度要求是 $1.9 c m \sim 2.1 c m$ ．

(1)、求 $∠ B A O$ 的度数；

(2)、已知钢柱的底面圆半径为 $1 c m$ ，现测得 $y = 7.52 c m .$ 根据以上信息，通过计算说明该部件 $l$ 的长度是否符合要求． $($ 参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.73)$

(3)、【结果反思】本次实践过程借助圆柱将不可测量的长度转化为可测量的长度，能将圆柱换成其他几何体吗？如果能，写出一个；如果不能，说明理由．

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15、如图，在 $▵ O A B$ 中，点 $A$ 在 $⊙ O$ 上，边 $O B$ 交 $⊙ O$ 于点 $C$ ， $A D ⊥ O B$ 于点 $D$ ． $A C$ 是 $∠ B A D$ 的平分线．

(1)、求证： $A B$ 为 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $⊙ O$ 的半径为 $2$ ， $∠ A O B = 45^{\circ}$ ，求 $C B$ 的长．

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16、在 $2025$ 年全国科技活动周期间，某校科技小组对甲、乙两个水产养殖基地水体的 $p H$ 值进行了检测，并对一天 $(24$ 小时 $)$ 内每小时的 $p H$ 值进行了整理、描述及分析．
【收集数据】
甲基地水体的 $p H$ 值数据：
$7.27$ ， $7.28$ ， $7.34$ ， $7.35$ ， $7.36$ ， $7.51$ ， $7.53$ ， $7.67$ ， $7.67$ ， $7.67$ ， $7.67$ ， $7.81$ ， $7.81$ ， $7.88$ ， $7.91$ ， $8.01$ ， $8.02$ ， $8.03$ ， $8.07$ ， $8.16$ ， $8.17$ ， $8.23$ ， $8.26$ ， $8.26$ ．
乙基地水体的 $p H$ 值数据：
$7.11$ ， $7.12$ ， $7.14$ ， $7.25$ ， $7.36$ ， $7.52$ ， $7.63$ ， $7.67$ ， $7.69$ ， $7.75$ ， $7.77$ ， $7.77$ ， $7.81$ ， $7.84$ ， $7.89$ ， $8.01$ ， $8.12$ ， $8.13$ ， $8.14$ ， $8.16$ ， $8.17$ ， $8.18$ ， $8.20$ ， $8.21$ ．
【整理数据】

$7.00 \leq x < 7.30$

$7.30 \leq x < 7.60$

$7.60 \leq x < 7.90$

$7.90 \leq x < 8.20$

$8.20 \leq x \leq 8.50$
甲
$2$
$5$
$7$
$7$
$3$
乙
$4$
$2$
$9$
$a$
$2$
【描述数据】
【分析数据】

平均数
众数
中位数
方差
甲
$7.79$
$b$
$7.81$
$0.10$
乙
$7.78$
$7.77$
$c$
$0.13$
根据以上信息解决下列问题：

(1)、补全频数分布直方图；

(2)、填空： $b =$ ， $c =$ ；

(3)、请判断甲、乙哪个基地水体的 $p H$ 值更稳定，并说明理由；

(4)、已知两基地对水体 $p H$ 值的日变化量 $(p H$ 值最大值与最小值的差 $)$ 要求为 $0.5 \sim 1$ ，分别判断并说明该日两基地的 $p H$ 值是否符合要求．

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17、山东省在能源绿色低碳转型过程中，探索出一条“以储调绿”的能源转型路径．某地结合实际情况，建立了一座圆柱形蓄水池，通过蓄水发电实现低峰蓄能、高峰释能，助力能源转型．
已知本次注水前蓄水池的水位高度为 $5$ 米，注水时水位高度每小时上升 $6$ 米．

(1)、请写出本次注水过程中，蓄水池的水位高度 $y ($ 米 $)$ 与注水时间 $x ($ 小时 $)$ 之间的关系式；

(2)、已知蓄水池的底面积为 $0.4$ 万平方米，每立方米的水可供发电 $0.3$ 千瓦时，求注水多长时间可供发电 $4.2$ 万千瓦时？

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18、在 $R t ▵ A B C$ 中， $∠ A B C = 90^{\circ}$ ， $∠ A C B = 30^{\circ}$ ， $∠ B A C$ 的平分线 $A D$ 交 $B C$ 于点 $D$ ．
如图 $1$ ．

(1)、求 $∠ A D C$ 的度数；

(2)、已知 $A B = 3$ ，分别以 $C$ ， $D$ 为圆心，以大于 $\frac{1}{2} C D$ 的长为半径作弧，两弧相交于点 $M$ ， $N$ ，作直线 $M N$ 交 $B C$ 于点 $E$ ，交 $A D$ 的延长线于点 $F .$ 如图 $2$ ，求 $D F$ 的长．

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19、

(1)、计算： $|- \frac{1}{3}| \times \sqrt{9} + π^{0}$ ；

(2)、先化简，再求值： $(x^{2} - 1) (\frac{1}{x + 1} + 1)$ ，其中 $x = 2$ ．

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20、如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A B C = 90^{\circ}$ ， $A B = 6$ ， $B C = 8 .$ 点 $P$ 为边 $A C$ 上异于 $A$ 的一点，以 $P A$ ， $P B$ 为邻边作 $▱ P A Q B$ ，则线段 $P Q$ 的最小值是．

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