相关试卷

1、如图， $⊙ O$ 的直径 $C D$ 与弦 $A B$ 交于点E， $E A = E B$ ，过点 $A$ 作射线 $A F$ 使得 $∠ C A F = ∠ C A B$ ．

(1)、求证： $A F$ 与 $⊙ O$ 相切于点 $A$ ；

(2)、延长 $C D$ 交射线 $A F$ 的反向延长线于点 $K$ ，若 $E D = 1$ ， $D K = 3$ ，求 $⊙ O$ 的半径长．

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2、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，函数 $y = k x + b (k \neq 0)$ 的图象经过点 $A (2, 1)$ 和 $B (0, - 1)$ ．

(1)、求该函数的表达式；

(2)、当 $x > 3$ 时，对于 $x$ 的每一个值，函数 $y = a x + 1 (a \neq 0)$ 的值小于函数 $y = k x + b$ 的值且大于0，直接写出 $a$ 的取值范围．

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3、三等分角问题、倍立方体问题和化圆为方问题被称为古希腊三大尺规作图难题．小岩对三等分角问题很感兴趣．于是，他利用所学的数学知识，发明了一个三等分角器．
三等分角器的制作方法：
1．准备好薄铁片；
2．按图1所示制作：三等分角器分别由两条矩形铁片和一个半圆铁片构成．其中满足：点A，B，O，C在同一条直线上， $B C$ 为半圆的直径，点O为半圆的圆心， $A B$ 与半圆的半径相等， $B D$ 与半圆相切于点B．
三等分角器的使用方法：如图2，要将 $∠ E F G$ 三等分．首先将 $∠ E F G$ 的顶点F放在三等分角器的BD上，然后调整点F的位置使角的一边 $F E$ 经过点A，另一边 $F G$ 与半圆相切，最后连接 $F O$ ，则 $F B$ ， $F O$ 即完成了 $∠ E F G$ 的三等分．
请完成以下三等分角器的原理的证明．
已知：如图2，点A，B，O，C在同一条直线上， $B C$ 为半圆的直径，点O为半圆的圆心， $A B = O B = O C$ ， $B D$ 与半圆相切于点B， $F G$ 与半圆相切，连接 $F O$ ．
求证： $∠ E F B = ∠ O F B = ∠ O F G$ ．
证明：
$∵ B C$ 为半圆的直径，点 $O$ 为半圆的圆心， $B D$ 与半圆相切于点 $B$ ，
$∴ B D ⊥ B O$ （__________）．（填推理依据）
又 $∵ A B = O B$ ，
$∴ F B$ 垂直平分 $A O$ ．
$∴ F A =$ __________．
又 $∵ F B ⊥ A O$ ，
$∴$ __________ $= ∠ O F B$ ．
$∵ F B$ ， $F G$ 与半圆 $O$ 相切，
$∴$ __________ $= ∠ O F G$ （__________）．（填推理依据）
$∴ ∠ E F B = ∠ O F B = ∠ O F G$ ．

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4、2025年9月3日，我们迎来了纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年的重要时刻．这次阅兵，由徒步方队、装备方队和空中梯队组成．空中护旗梯队由多型直升机组成，他们以“最高标准、最好状态、最佳效果”飞过天安门上空，接受祖国和人民的检阅．如图1，26架直升机汇成巨大的“”字样，其中“”由14架飞机组成，“”由12架飞机组成．如图2，将每一架飞机当作一个点，连接形成由两个正八边形组成的图案“”如果将B，C两点隐去，连接AE，DF，则得到图3中的图案“”．发现“”的面积比“”的面积大 $400 m^{2}$ ，求组成正八边形“”的相邻两架飞机的距离是多少米？

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5、已知二次函数 $y = (x + 3) (x + 1)$ ．

(1)、求此函数图象的对称轴和顶点坐标；

(2)、填表，并画出此函数的图象；
x
…

…
y
…

…

(3)、若点 $A (0, y_{1})$ 和 $B (n, y_{2})$ 都在此函数的图象上，且 $y_{1} < y_{2}$ ，结合函数图象，直接写出 $n$ 的取值范围．

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6、已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 2 x + m - 1 = 0$ 有两个实数根．

(1)、求 $m$ 的取值范围；

(2)、若 $m$ 为正整数，方程的根都为正整数，求此时方程的根．

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7、如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点P在第一象限， $⊙ P$ 与 $x$ 轴相切于点 $Q$ ，与 $y$ 轴交于 $M (0, 4)$ ， $N (0, 16)$ 两点，则点 $P$ 的坐标是．

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8、如图，OA是 $⊙ O$ 的半径，弦 $B C ⊥ O A$ ， D是 $⊙ O$ 上一点，且点 $D$ 在优弧BC上．若 $∠ A D B = 26 °$ ，则 $∠ A O C$ 的度数为 $°$ ．

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9、如图， $P A$ ， $P B$ 分别与 $⊙ O$ 相切于点 $A$ ， $B$ ，点 $C$ 为 $\overset{⌢}{A B}$ 上的点，过点 $C$ 的切线分别交 $P A$ ， $P B$ 于点 $M$ ， $N$ ．若 $△ P M N$ 的周长为 $32$ ，则 $P A$ 的长为（）

A、 $16$ B、 $15$ C、 $30$ D、 $26$

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10、如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 经过点 $(3, 0)$ ，对称轴是直线 $x = 1$ ，下面结论中正确的是（）

A、 $a c > 0$ B、 $b^{2} < 4 a c$ C、 $4 a + 2 b + c < 0$ D、 $2 a + b = 0$

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11、如图，圆的两条弦 $A B$ ， $C D$ 相交于点E，且 $\overset{⌢}{A D} = \overset{⌢}{C B}$ ， $∠ A = 39 °$ ，则 $∠ C E B$ 的度数为（）

A、 $51 °$ B、 $61 °$ C、 $78 °$ D、 $90 °$

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12、在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $⊙ O$ 的半径为5，则点 $P (3, 4)$ （）

A、在 $⊙ O$ 外 B、在 $⊙ O$ 上 C、在 $⊙ O$ 内 D、不确定

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13、我们定义：如果一个数的平方等于 $- 1$ ，记作 $i^{2} = - 1$ ，那么这个 $i$ 就叫做虚数单位．虚数与我们学过的实数合在一起叫做复数．一个复数可以表示为 $a + b i$ （ $a$ ， $b$ 均为实数）的形式，其中 $a$ 叫做它的实部， $b$ 叫做它的虚部．复数的加、减、乘、除的运算与我们学过的整式加、减、乘、除的运算类似，例如计算： $(5 + i) + (3 - 4 i) = (5 + 3) + (i - 4 i) = 8 - 3 i$ ．根据上述材料，解决下列问题：

(1)、填空： $i^{3} =$ ______， $i^{4} =$ ______；

(2)、计算； ${(2 + i)}^{2}$ ；

(3)、将 $\frac{1 + i}{1 - i}$ 化为 $a + b i$ （a，b均为实数）的形式（即化为分母中不含 $i$ 的形式）．

(4)、已知 $\frac{x - 1}{1 - i} + \frac{2 x}{2 + i} = 5$ ，求复数 $x$ ．

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14、老师所留的作业中有这样一个分式的计算题，甲、乙两位同学完成的过程分别如下：

甲同学：

$\frac{2}{x^{2} - 1} - \frac{1}{x - 1}$

$= \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{1}{x - 1}$ ①

$= \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{1}{(x + 1) (x - 1)}$ ②

$= \frac{2 - 1}{(x + 1) (x - 1)}$ ③

$= \frac{1}{(x + 1) (x - 1)}$ ④

乙同学：

$\frac{2}{x^{2} - 1} - \frac{1}{x - 1}$

$= \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{1}{x - 1}$ ①

$= \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{x + 1}{(x + 1) (x - 1)}$ ②

$= 2 - (x + 1)$ ③

$= 1 - x$ ④

老师发现这两位同学的解答都有错误．

请你从甲、乙两位同学中，选择一位同学的解答过程，帮助他分析错因，并加以改正．

(1)、我选择________同学的解答过程进行分析．（填“甲”或“乙”）

该同学的解答从第_______步开始出现错误，错误的原因是_______；

(2)、请重新写出完成此题的正确解答过程．

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15、解分式方程： $\frac{x}{x + 2} - 1 = \frac{1}{x + 3}$ ．

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16、计算：

(1)、 $\frac{x + 1}{x} - \frac{1}{x}$ ；

(2)、 $\frac{x}{x y + y} \cdot \frac{x^{2} + x}{x^{2} y}$ ；

(3)、 $\frac{x}{x^{2} - 4} \div (1 + \frac{2}{x - 2})$ ；

(4)、 $2 \sqrt{20} \times \frac{1}{4} \sqrt{5} \div 4 \sqrt{5}$ ；

(5)、 $\sqrt{12} + |- \sqrt{3}| - {(- 2012)}^{0} + {(\frac{1}{2})}^{- 1}$ ．

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17、若 $\sqrt{x - 1} - \sqrt{1 - x} = {(x + y)}^{2}$ ，则 $x - y$ 的值为．

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18、在公式 $s = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}$ 中，字母均为正数，用 $s$ ， $v_{0}$ ， $t$ 表示 $a =$ ．

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19、已知关于 $x$ 的方程 $\frac{x + 1}{x - 2} = \frac{2 a - 3}{a + 5}$ 的解为0，则 $a$ 的值为．

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20、小强在做分式运算与解分式方程的题目时经常出现错误，于是他在整理错题时，将这部分内容进行了梳理，如图所示：
请你帮小强在图中的括号里补写出“通分”和“去分母”的依据分别是：和

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x	…						…
y	…						…