相关试卷

1、为推动高新技术产业发展，市政府对某科技企业连续两年给予专项研发补贴．该企业2023年的研发产值为150万元，2025年的研发产值达到216万元．若该企业这两年研发产值的年平均增长率相同，则此年平均增长率为．

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2、在某市中小学科技创新大赛中，共有200支参赛队伍参与“智能机器人避障”项目角逐．组委会随机抽取了40支队伍进行赛前模拟测试，发现其中有12支队伍能成功完成所有避障任务．据此估计全市200支参赛队伍中，能成功完成所有避障任务的队伍有支．

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3、如图，在菱形 $A B C D$ 中，连接 $A C$ ， $B D$ 交于点 $O$ ．分别以点 $A$ ， $D$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} A D$ 的长为半径画弧，两弧交于点 $P, Q$ ，连接 $P Q$ 交 $A D$ 于点 $E$ ，连接 $O E$ ．若 $O E$ 的长为5，则菱形 $A B C D$ 的周长为．

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4、如图，在矩形 $A B C D$ 中，连接对角线 $A C$ ，过点 $B$ 作 $B E ⊥ A C$ 于点 $E$ ．若 $B E = 3, C E = 3 A E$ ，则 $C D$ 的长为（）

A、2 B、 $2 \sqrt{3}$ C、4 D、 $4 \sqrt{3}$

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5、一个密码锁的密码由六个数字组成，每个数字都是 $0 ~ 9$ 这十个数字中的一个，只有当六个数字与所设定的密码相同时，才能将锁打开．粗心的小明忘了最后的两个数字，那么他一次就能打开该锁的概率是（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{1}{10}$ C、 $\frac{1}{20}$ D、 $\frac{1}{100}$

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6、如图， $△ A B C$ 与 $△ D E F$ 位似，点 $O$ 是它们的位似中心，若 $A D = 3 A O$ ， $△ D E F$ 的面积为 $8$ ，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、 $4$ B、 $\frac{8}{3}$ C、 $2$ D、 $\frac{8}{9}$

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7、下列各选项中，任意两个图形一定相似的是（）

A、直角三角形 B、平行四边形 C、正方形 D、菱形

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8、如图，在正方形 $A B C D$ 中，连接 $A C$ ， $B D$ ， $B E$ 平分 $∠ D B C$ 交 $A C$ 于点 $E$ ，则 $∠ A E B$ 的度数为（）

A、 $22.5 °$ B、 $45 °$ C、 $60 °$ D、 $67.5 °$

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9、如图是一片枫叶，将其叶尖到叶柄末端看成线段 $A B$ ，叶柄与叶片的连接处看成点 $C$ ，则 $\frac{A C}{A B} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ ．其中蕴含的数学原理是（）

A、黄金分割 B、勾股定理 C、图形的全等 D、轴对称

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10、综合与探究
问题情境：
如图，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ A B C + ∠ A D C = 180 °$ ， $A D = C D$ ， $D E$ 平分 $∠ A D C$ 交 $B C$ 于点 $E$ ，连接 $B D$ ，将线段 $D B$ 绕点 $D$ 逆时针旋转到 $D F$ ，使 $∠ B D F = ∠ A D C$ ，连接 $C F$ ．
问题初探：
（1）如图1，当 $∠ A B C = ∠ A D C = 90 °$ 时，线段 $A B$ 和线段 $C F$ 的数量关系为，位置关系为．
深入探究：
（2）对问题（1）进一步研究之后发现，线段 $B E, C E$ 与线段 $C F$ 之间存在特定的数量关系．请你写出这种关系，并予以证明．
解决问题：
（3）如图2，连接 $A E$ ，当 $A D ∥ B C$ ， $A B = A E = D E = 4$ 时，请直接写出四边形 $A B C D$ 的面积．

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11、综合与实践
问题情境：
蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，上面覆上一层或多层保温塑料膜，就形成了一个温室空间，大棚的设计要保证安全、通风且利于采光．
数学建模：
如图是一种使用钢结构作为骨架的蔬菜大棚，其横截面示意图如图1，是由抛物线 $A E B$ 和立柱 $A D, B C$ 构成．经测量，大棚的最高点 $E$ 到地面的距离为 $5 m$ ，大棚宽度 $D C$ 为 $12 m$ ，立柱 $A D = B C = 2 m$ ，以 $D C$ 所在直线为 $x$ 轴，过点 $E$ 且垂直于 $D C$ 的直线为 $y$ 轴，建立平面直角坐标系．
问题解决：

(1)、求该蔬菜大棚横截面所在抛物线对应的函数解析式．

(2)、如图2，从安全角度考虑，需安装“支撑架”对大棚进行加固，“支撑架”由三根支架构成，其中 $P M$ ， $Q N$ 垂直于地面， $P Q$ 平行于地面，且点 $P$ ， $Q$ 均在抛物线上．经考察，当“支撑架”与地面构成正方形时，承受能力最强，此时为最安全的状态．请通过计算说明最安全时，这样的一组“支撑架”的总长度是多少．

(3)、为提高水分的利用率，大棚引进智能节水灌溉系统，将灌溉管平行于地面安装于两立柱 $A D$ 与 $B C$ 之间，每组灌溉管上安装若干个洒水器，且这种洒水器喷洒的纵截面呈抛物线形状．如图3，当洒水器 $F$ 距地面高度为 $2 m$ 时（即灌溉管为 $A B$ ），其最大喷洒直径 $G H$ 为 $4 m$ ．为保证蔬菜获得充足的水分，同时考虑喷洒的密集程度，需要将灌溉管上的洒水器悬于距地面 $1.5 m$ 的高度．若使大棚内蔬菜均被完全喷洒到，请直接写出此时一组灌溉管上至少要安装洒水器的个数．（参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.73$ ）

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12、阅读与思考

下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请仔细阅读并完成相应的任务．

探究利用函数图象解一元二次方程

我们知道，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象是一条抛物线，在求抛物线与 $x$ 轴的交点坐标时，令 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ ，得到对应的一元二次方程．

当方程有两个不相等的实数根时，对应的抛物线与 $x$ 轴会有两个交点；当方程有两个相等的实数根时，对应的抛物线与 $x$ 轴只有一个交点；当方程没有实数根时，对应的抛物线与 $x$ 轴没有交点．

综上所述，一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 的根的情况，对应的就是抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 与 $x$ 轴的位置关系．若 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 有实数根，则实数根就是抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 与 $x$ 轴交点的横坐标．

反之，我们可以利用二次函数的图象与 $x$ 轴的交点坐标，求其对应的一元二次方程的根．

我还发现，一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 的根可以看作一条抛物线与一条直线交点的横坐标，如一元二次方程 $x^{2} - 2 x - 3 = 0$ 的根可以看作抛物线 $y = x^{2} - 3$ 与直线 $y = 2 x$ 的交点的横坐标．

理由如下：

如图，画出抛物线 $y = x^{2} - 3$ 与直线 $y = 2 x$ ．

由图象可知，抛物线 $y = x^{2} - 3$ 与直线 $y = 2 x$ 的交点坐标分别为 $(- 1, - 2), (3, 6)$ ．

．．．．．．

任务：

(1)、上面数学笔记的探究过程，主要运用的数学思想是．（从下面选项中选出两个即可）

A．分类讨论思想 B．统计思想 C．数形结合思想 D．转化思想

(2)、请补全小宣的推理过程．

(3)、一元二次方程

2 x^{2} + x = 3

的根可以看作是一条抛物线与一条直线交点的横坐标，这条抛物线对应的函数解析式是，直线对应的函数解析式是．

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13、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = B C$ ，将 $△ A B C$ 绕点 $B$ 顺时针旋转 $60 °$ ，得到 $△ D B E$ ，点 $A$ ， $C$ 旋转后的对应点分别为 $D$ ， $E$ ，连接 $D C$ ，分别交 $A B$ ， $E B$ 于点 $F$ ， $G$ ．若 $B C = 2$ ，求 $C D$ 的长．

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14、毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”，是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树形图形，因形状好似一棵树，故被称为毕达哥拉斯树．如图是数学社团的李想同学利用几何画板绘制的“勾股树”，电脑打印后为长 $20 cm$ ，宽 $16 cm$ 的矩形图片．他要给这个矩形图片装框挂在墙上，边框（粗细忽略不计）与矩形图片之间的距离等宽．若装框后整幅作品的面积为 $480 {cm}^{2}$ ，求装框后整幅作品外框的总长度．

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15、如图，直线 $y = - \frac{1}{2} x + 2$ 分别与 $x$ 轴， $y$ 轴交于点 $B, C$ ，抛物线 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + b x + c$ 经过点 $B$ 和点 $C$ ，且与 $x$ 轴交于点 $A$ ，连接 $A C$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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16、解下列方程：

(1)、 $2 x^{2} - 3 x - 5 = 0$ ；

(2)、 $2 x - 4 = {(x - 2)}^{2}$ ．

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17、如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 5, B C = 3$ ，将矩形 $A B C D$ 绕点 $A$ 逆时针旋转得到矩形 $A E F G$ ，点 $B, C, D$ 旋转后的对应点分别为 $E, F, G$ ．若点 $E$ 落在边 $C D$ 上，延长 $C D$ 交 $F G$ 于点 $H$ ，连接 $A H$ ，则 $A H$ 的长为．

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18、景德桥是一座敞肩式单孔圆弧弓形石拱桥，位于山西省晋城市，始建于1189年，是山西省省级文物保护单位．如图所示是它的示意图，其拱桥可近似地用抛物线的一部分表示．若当水面宽度 $A B$ 为 $20 m$ 时，水面到拱顶的高度 $C O$ 为 $4 m$ ，则当水位在此基础上继续上涨 $1 m$ 时，水面的宽度为 $m$ ．（结果保留根号）

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19、某数学小组同学利用计算机中的画图软件，把图1中的基本图形旋转一定角度若干次后，得到图2的图案，该数学小组同学设定的旋转角为．

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20、若抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 与 $x$ 轴的公共点是 $(- 5, 0), (3, 0)$ ，则这条抛物线的对称轴为．

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