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相关试卷

1、把命题“等边三角形三个内角都相等”写成“如果…，那么…”的形式：．

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2、如图，在 $△ A B C$ 中，分别以 $A B$ ， $A C$ 所在的直线为对称轴作 $△ A B C$ 的对称图形 $△ A B D$ 和 $△ A C E$ ，线段 $B D$ 与 $C E$ 相交于点 $O$ ，连接 $B E$ ， $E D$ ， $D C$ ， $O A$ ．若 $∠ B A C = 150 °$ ，则 $∠ B O E$ 的度数为（）

A、 $45 °$ B、 $60 °$ C、 $75 °$ D、 $90 °$

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3、如图， $△ A O B$ 和 $△ A^{'} O B$ 关于 $x$ 轴对称．若 $△ A O B$ 内点 $P$ 的坐标是 $(2, 1)$ ，则点 $P$ 在 $△ A^{'} O B$ 中的对应点 $Q$ 的坐标是（）

A、 $(2, 1)$ B、 $(- 2, 1)$ C、 $(- 2, - 1)$ D、 $(2, - 1)$

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4、化学兴趣小组的同学们在准备制取氧气的实验，老师布置了“了解实验装置”的任务，小华他们小组的任务是测量锥形瓶的底面的内径．小华的测量方案如下：如图，用螺丝钉将小棒 $A D$ ， $B C$ 的中点 $O$ 固定，测得 $C$ ， $D$ 之间的距离，该距离就是内径 $A B$ 的长，则 $△ A O B ≌ △ D O C$ 的判定依据是（）

A、 $SSS$ B、 $SAS$ C、 $ASA$ D、 $AAS$

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5、如图，这两个三角形全等，则 $∠ E$ 的度数为（）

A、 $80 °$ B、 $70 °$ C、 $65 °$ D、 $50 °$

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6、如图， $∠ A C D$ 是 $△ A B C$ 的一个外角，若 $∠ A = 50 °$ ， $∠ A C D = 130 °$ ，则 $∠ B$ 的度数为（）

A、 $80 °$ B、 $50 °$ C、 $70 °$ D、 $40 °$

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7、下列是山西平遥古城中窗格的图案，其中是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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8、综合与探究
问题情境：
在 $Rt △ A B C$ 和 $Rt △ D E F$ 中， $∠ B A C = ∠ E D F = 90 °$ ， $A C = 6$ ， $A B = 8$ ，点D在 $B C$ 边上， $A D$ 为 $B C$ 边上的高．将 $△ D E F$ 绕点D旋转， $D E$ 边与 $A C$ 边交于点G， $D F$ 边与 $A B$ 边交于点H．
猜想证明：
（1）如图1，当 $D E ⊥ A C$ 时，试判断四边形 $D G A H$ 的形状，并说明理由．
深入探究：
（2）如图2，在 $△ D E F$ 绕点D旋转的过程中，线段 $A H$ 与 $C G$ 的比值是否发生变化？如果发生变化，请说明理由；如果没有发生变化，请求出它们的比值．
（3）设 $C G = 3 x$ ，在 $△ D E F$ 旋转的过程中，请直接写出四边形 $D G A H$ 的面积．（用含x的代数式表示）

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9、综合与实践
问题情境：
如图，为保障生物安全和保证饲料品质，某养殖户计划在“L”形墙处建一个有正方形饲养区 $B D E F$ 和矩形配料区 $F E H G$ 的养殖基地 $(D E > E H)$ ．
建造方案：
粗线 $A - B - C$ 表示“L”形墙，已知 $A B = 2 m$ ， $B C = 30 m$ ．现计划用 $118m$ 的钢架栅栏（细线表示，且其粗细忽略不计）围成有饲养区和配料区的养殖基地，并在 $A F$ ， $F G$ 段各开一个宽为 $2m$ 的门，为了充分利用墙体，点D必须在线段 $B C$ 上．
问题解决：

(1)、若围成的矩形养殖基地 $B D H G$ 的面积为 ${925m}^{2}$ ，求 $B D$ 的长．

(2)、围成的矩形配料区 $F E H G$ 的面积能否达到 ${468m}^{2}$ ？若能，请求出 $G H$ 的长；若不能，请说明理由．

(3)、当矩形的宽与长的比值为 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ 时，该矩形为黄金矩形．若该矩形养殖基地 $B D H G$ 是黄金矩形，请直接写出 $G H$ 的长．

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10、阅读与思考

下面是小颖同学日记的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务．

2025年10月17日晴

今天在课堂上，老师提出一个问题：已知线段 $A B$ ，作线段 $A B$ 的三等分点．

下面是我的两种作图思路（作图痕迹省略）及证明过程：

思路一：①如图1，作射线 $A E$ ；②在射线 $A E$ 上依次截取 $A C_{1} = C_{1} C_{2} = C_{2} C_{3}$ ；③连结 $B C_{3}$ ；④过点 $C_{1}$ 作 $C_{1} C ∥ B C_{3}$ 交 $A B$ 于点C，过点 $C_{2}$ 作 $C_{2} D ∥ B C_{3}$ 交 $A B$ 于点D，则点C，D即为线段 $A B$ 的三等分点．

证明：根据作图，得 $C C_{1} ∥ D C_{2} ∥ B C_{3}$ ， $A C_{1} = C_{1} C_{2} = C_{2} C_{3}$ ．

$∴ \frac{A C_{1}}{C_{1} C_{2}} = \frac{A C}{C D} = 1$ ， $\frac{C_{1} C_{2}}{C_{2} C_{3}} = \frac{C D}{B D} = 1$ ．（依据）

$∴ A C = C D = B D$ ．

∴点C，D为线段 $A B$ 的三等分点．

思路二：①如图2，以 $A B$ 为对角线作 $▱ A C B D$ ；②分别取 $A D$ ， $B D$ 边的中点E，F；③连结 $C E$ ， $C F$ 分别交 $A B$ 于点G，H，则点G，H为线段 $A B$ 的三等分点．

证明：∵四边形 $A C B D$ 是平行四边形，

$∴ A D = B C$ ， $A C = B D$ ， $A D ∥ B C$ ， $A C ∥ B D$ ．

$∵ A D$ ， $B D$ 的中点分别为E，F，

$∴ \frac{A E}{A D} = \frac{B F}{B D} = \frac{1}{2}$ ．

$∴ \frac{A E}{B C} = \frac{B F}{A C} = \frac{1}{2}$ ．

……

任务：

(1)、在思路一的证明过程中，“依据”的基本事实是___________．

(2)、请将思路二中的证明过程补充完整．

(3)、如图3，已知线段

M N

，在线段

M N

上求作一点O，使

\frac{M O}{O N} = \frac{2}{5}

．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）

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11、郭峪古城位于晋城市阳城县东北，建于明崇祯八年，是一座避难自保的防御性城堡，被称为“蜂窝城”，城堡内的一座“豫楼”，被称为“蜂窝柄”．某综合实践小组的同学围绕“景物高度的测量与计算”开展项目学习活动，形成了如下活动报告．

项目主题	景物高度的测量与计算
驱动问题	如何测量“豫楼”的高度
活动过程	方案说明	如图，某一时刻“豫楼” $A B$ 的影长为 $B E$ ，小玲站在点D处，她影子的顶端也恰好落在点E处．小玲沿射线 $B E$ 行走到点F处，放置一面平面镜（大小忽略不计）后，继续行走到点H处，此时恰好能从平面镜内看到“豫楼”的顶端A
	数据测量	$C D = G H = 1.5 m$ ， $D E = 2 m$ ， $D F = 12 m$ ， $F H = 2.5 m$ ， A，B，C，D，E，F，G，H均在同一竖直平面内，且 $A B ⊥ B H$ ， $C D ⊥ B H$ ， $G H ⊥ B H$ ， $∠ A F B = ∠ G F H$
	计算	…
交流展示	…

请根据以上数据，计算“豫楼” $A B$ 的高度．

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12、某校积极开展劳动教育实践活动，不断加大投入，建设校园农场． $2022$ 年该校园农场所有农作物的产量为 $300kg$ ， $2024$ 年该校园农场所有农作物的产量达到 $363kg$ ．若其年平均增长率保持不变，估计 $2025$ 年该校园农场所有农作物的产量是多少．

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13、如图，在平面直角坐标系中，正方形 $A B C D$ 的顶点均在格点上，其中点A的坐标为 $(0, 1)$ ，点D的坐标为 $(0, 3)$ ，且点B，C均在第一象限内．

(1)、请直接写出点C的坐标．

(2)、在x轴上方画出正方形 $A B C D$ 以点O为位似中心，放大到原来3倍的正方形 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ ，并直接写出正方形 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 的面积．

(3)、若 $E (x, y)$ 是正方形 $A B C D$ 边上一点，经过（2）的变换后，点E的对应点为 $E^{'}$ ，请直接写出点 $E^{'}$ 的坐标．

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14、下面是小敏同学解方程

x^{2} - 9 = 2 (x - 3)

的过程，请认真阅读并完成相应的任务．

解：方程左边因式分解，得 $(x + 3) (x - 3) = 2 (x - 3)$ ．第一步

方程两边都除以 $(x - 3)$ ，得 $x + 3 = 2$ ．第二步

解得 $x = - 1$ ．第三步

任务：

(1)、第一步方程左边因式分解的依据是___________．（用含a，b的式子表示）

(2)、小敏同学的解答过程从第___________步开始出现错误，错误的原因是___________．

(3)、请直接写出该方程正确的解．

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15、计算：

(1)、 $2 \sqrt{\frac{1}{2}} + \sqrt{27} - \sqrt{2}$

(2)、 ${(\sqrt{5} - 1)}^{2} - (\sqrt{3} + \sqrt{2}) (\sqrt{3} - \sqrt{2})$

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16、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 5$ ， $B C = 6$ ，过点A作 $A D ∥ B C$ ，交 $△ A B C$ 的外角 $∠ A C M$ 的平分线于点D，E是 $C D$ 上一点，过点E作 $E G ⊥ C M$ 于点G，延长 $G E$ 交 $A D$ 于点F．若 $C E = 2 D E$ ，则 $B G$ 的长为．

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17、照相机是人们生活中不可或缺的工具，用于记录生活、科学研究等，小明同学想利用某照相机的参数及实地测量测算某不可及景物的高度．如图所示是小明同学绘制的测量示意图，调节照相机的焦距（相机摄像头到成像面的距离） $C E$ 为 $50mm$ ，测得像高（成像面上成像的高度） $M N$ 为 $35mm$ ．若测得物距（景物到相机摄像头的距离） $D E$ 为 $100m$ ，则景物 $A B$ 的高度为m．

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18、若关于x的一元二次方程 $2 x^{2} + 8 x + c = 0$ 有两个相等的实数根，则该方程的根为．

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19、计算： $- \sqrt{6} \times \sqrt{3} =$ ．

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20、如图， $A D$ 是 $△ A B C$ 的中线，G是 $△ A B C$ 的重心，过点G作 $E F ∥ B C$ ，分别交 $A B$ ， $A C$ 边于点E，F，连结 $D E$ ， $D F$ ．若 $△ D E F$ 的面积为6，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、12 B、24 C、26 D、27

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