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相关试卷

1、项目学习

项目背景：涑水河，黄河中游支流，流域位于山西省南部的运城市境内，发源于绛县中条山区陈村峪，向西南流经闻喜县、夏县、运城市盐湖区、临猗县、永济市，于永济市韩阳镇长旺村汇入黄河．综合实践小组的同学围绕“距离的测量与计算”开展项目学习活动，形成了如下活动报告．

项目主题	距离的测量与计算
驱动问题	如何测量到河对岸信号塔的距离
活动内容	利用三角形的有关知识进行测量与计算
活动过程	方案说明	小华站在涑水河边的点 $A$ 处，在涑水河的对面（小华的正北方向）的点 $B$ 处有一信号塔，他想知道信号塔离他有多远，于是他向正西方向走了30米到达一棵树点 $C$ 处，接着再向前走了30米到达点 $D$ 处，然后他左转 $90^{\circ}$ 向南直行．当小华看到信号塔、树与自己现处的位置 $E$ 在同一条直线上时，他共走了140米．求小华在点 $A$ 处时，他与信号塔的距离．
	数据	$A C = 30$ 米， $C D = 30$ 米， $A D + D E = 140$ 米， $∠ A D E = 90^{\circ}$ ．

请根据以上数据信息，计算小华在点 $A$ 处时，他与信号塔的距离．

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2、如图，这是某校园小公园中的腾飞雕塑的平面示意图．已知雕塑的右边边线 $A B$ 和底座 $C D$ 都与地面 $M N$ 垂直，同时， $A E$ 与 $D E$ 的夹角 $∠ A E D = 75 °$ ， $D E$ 与底座 $C D$ 的夹角 $∠ C D E = 125 °$ ，求 $∠ B A E$ 的度数．

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3、如图，在网格中，直线 $l$ 与网格线重合，点 $A$ ， $C$ ， $A^{'}$ ， $B^{'}$ 均在网格点上．

(1)、若 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 和 $△ A B C$ 关于直线 $l$ 对称，请在图上把 $△ A B C$ 和 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 补充完整；

(2)、若 $∠ A = 48 °$ ， $∠ A^{'} B^{'} C^{'} = 78 °$ ，求 $∠ A^{'} C^{'} B^{'}$ 的度数；

(3)、在以直线 $l$ 为 $y$ 轴的平面直角坐标系中，若点 $A$ 的坐标为 $(a, b)$ ，则点 $A^{'}$ 的坐标为________．

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4、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，过点 $B$ 作 $B D ⊥ A C$ 于点 $D$ ．

(1)、用尺规作图作出 $A B$ 的垂线 $C P$ ，交 $A B$ 于点 $E$ ，交 $B D$ 于点 $O$ ；

(2)、求证： $B E = C D$ ．

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5、在学习了三角形的内角和与外角和后，老师给大家布置了一道题目：如图，在

△ A B C

中．

∠ A B C = 80 °

，

∠ A C B = 50 °

，

B P

平分

∠ A B C

，

C P

平分

∠ A C B

，求

∠ B P C

的度数．下面是小华的解答过程．

解： $∵$ ① （已知），

$∴ ∠ P B C = \frac{1}{2} ∠ A B C = \frac{1}{2} \times 80 ° = 40 °$ ．

同理，可得 $∠ P C B =$ ② ．

在 $△ B P C$ 中，三角形三个内角和等于 $180 °$ ，

$∴$ ③ $= 180 °$ ，

$∴ ∠ B P C = 180 ° -$ ④ $=$ ⑤ ．

请将小华的解答过程中的空白处填上恰当的内容．

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6、如图， $△ A C B$ 和 $△ D C E$ 均为等腰直角三角形， $∠ A C B = ∠ D C E = 90 °$ ，点 $A$ ， $D$ ， $E$ 在同一条直线上， $C M$ 为边 $D E$ 上的高，连接 $B E$ ．若 $C M = 4$ ， $B E = 6$ ，则 $A E$ 的长是．

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7、如图，在物理实验课上，小华所在小组用两块平面镜 $L_{1}$ 和 $L_{2}$ 进行成像研究．两块镜子互相平行放置，小球放在两镜之间，其球心为点 $A$ ，点 $A$ 在平面镜 $L_{1}$ 中的像为 $A^{'}$ ，在平面镜 $L_{2}$ 中的像为 $A^{″}$ ．已知点 $A$ 到 $L_{1}$ 的距离为 $20 cm$ ，到 $L_{2}$ 的距离为 $40 cm$ ，则 $A^{'} A^{″} =$ $cm$ ．

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8、如图， $△ A B C ≌ △ E D F$ ，若 $A E = 10$ ， $F C = 6$ ，则 $A F$ 的长为．

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9、如图，这是山西省阳曲县首邑大桥，该桥为山西最大吨位、最大跨度斜拉转体桥，刷新省内同类型桥梁纪录，也是阳曲县首座斜拉转体桥．其三角形结构蕴含的数学道理是．

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10、把命题“等边三角形三个内角都相等”写成“如果…，那么…”的形式：．

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11、如图，在 $△ A B C$ 中，分别以 $A B$ ， $A C$ 所在的直线为对称轴作 $△ A B C$ 的对称图形 $△ A B D$ 和 $△ A C E$ ，线段 $B D$ 与 $C E$ 相交于点 $O$ ，连接 $B E$ ， $E D$ ， $D C$ ， $O A$ ．若 $∠ B A C = 150 °$ ，则 $∠ B O E$ 的度数为（）

A、 $45 °$ B、 $60 °$ C、 $75 °$ D、 $90 °$

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12、如图， $△ A O B$ 和 $△ A^{'} O B$ 关于 $x$ 轴对称．若 $△ A O B$ 内点 $P$ 的坐标是 $(2, 1)$ ，则点 $P$ 在 $△ A^{'} O B$ 中的对应点 $Q$ 的坐标是（）

A、 $(2, 1)$ B、 $(- 2, 1)$ C、 $(- 2, - 1)$ D、 $(2, - 1)$

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13、化学兴趣小组的同学们在准备制取氧气的实验，老师布置了“了解实验装置”的任务，小华他们小组的任务是测量锥形瓶的底面的内径．小华的测量方案如下：如图，用螺丝钉将小棒 $A D$ ， $B C$ 的中点 $O$ 固定，测得 $C$ ， $D$ 之间的距离，该距离就是内径 $A B$ 的长，则 $△ A O B ≌ △ D O C$ 的判定依据是（）

A、 $SSS$ B、 $SAS$ C、 $ASA$ D、 $AAS$

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14、如图，这两个三角形全等，则 $∠ E$ 的度数为（）

A、 $80 °$ B、 $70 °$ C、 $65 °$ D、 $50 °$

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15、如图， $∠ A C D$ 是 $△ A B C$ 的一个外角，若 $∠ A = 50 °$ ， $∠ A C D = 130 °$ ，则 $∠ B$ 的度数为（）

A、 $80 °$ B、 $50 °$ C、 $70 °$ D、 $40 °$

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16、下列是山西平遥古城中窗格的图案，其中是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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17、综合与探究
问题情境：
在 $Rt △ A B C$ 和 $Rt △ D E F$ 中， $∠ B A C = ∠ E D F = 90 °$ ， $A C = 6$ ， $A B = 8$ ，点D在 $B C$ 边上， $A D$ 为 $B C$ 边上的高．将 $△ D E F$ 绕点D旋转， $D E$ 边与 $A C$ 边交于点G， $D F$ 边与 $A B$ 边交于点H．
猜想证明：
（1）如图1，当 $D E ⊥ A C$ 时，试判断四边形 $D G A H$ 的形状，并说明理由．
深入探究：
（2）如图2，在 $△ D E F$ 绕点D旋转的过程中，线段 $A H$ 与 $C G$ 的比值是否发生变化？如果发生变化，请说明理由；如果没有发生变化，请求出它们的比值．
（3）设 $C G = 3 x$ ，在 $△ D E F$ 旋转的过程中，请直接写出四边形 $D G A H$ 的面积．（用含x的代数式表示）

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18、综合与实践
问题情境：
如图，为保障生物安全和保证饲料品质，某养殖户计划在“L”形墙处建一个有正方形饲养区 $B D E F$ 和矩形配料区 $F E H G$ 的养殖基地 $(D E > E H)$ ．
建造方案：
粗线 $A - B - C$ 表示“L”形墙，已知 $A B = 2 m$ ， $B C = 30 m$ ．现计划用 $118m$ 的钢架栅栏（细线表示，且其粗细忽略不计）围成有饲养区和配料区的养殖基地，并在 $A F$ ， $F G$ 段各开一个宽为 $2m$ 的门，为了充分利用墙体，点D必须在线段 $B C$ 上．
问题解决：

(1)、若围成的矩形养殖基地 $B D H G$ 的面积为 ${925m}^{2}$ ，求 $B D$ 的长．

(2)、围成的矩形配料区 $F E H G$ 的面积能否达到 ${468m}^{2}$ ？若能，请求出 $G H$ 的长；若不能，请说明理由．

(3)、当矩形的宽与长的比值为 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ 时，该矩形为黄金矩形．若该矩形养殖基地 $B D H G$ 是黄金矩形，请直接写出 $G H$ 的长．

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19、阅读与思考

下面是小颖同学日记的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务．

2025年10月17日晴

今天在课堂上，老师提出一个问题：已知线段 $A B$ ，作线段 $A B$ 的三等分点．

下面是我的两种作图思路（作图痕迹省略）及证明过程：

思路一：①如图1，作射线 $A E$ ；②在射线 $A E$ 上依次截取 $A C_{1} = C_{1} C_{2} = C_{2} C_{3}$ ；③连结 $B C_{3}$ ；④过点 $C_{1}$ 作 $C_{1} C ∥ B C_{3}$ 交 $A B$ 于点C，过点 $C_{2}$ 作 $C_{2} D ∥ B C_{3}$ 交 $A B$ 于点D，则点C，D即为线段 $A B$ 的三等分点．

证明：根据作图，得 $C C_{1} ∥ D C_{2} ∥ B C_{3}$ ， $A C_{1} = C_{1} C_{2} = C_{2} C_{3}$ ．

$∴ \frac{A C_{1}}{C_{1} C_{2}} = \frac{A C}{C D} = 1$ ， $\frac{C_{1} C_{2}}{C_{2} C_{3}} = \frac{C D}{B D} = 1$ ．（依据）

$∴ A C = C D = B D$ ．

∴点C，D为线段 $A B$ 的三等分点．

思路二：①如图2，以 $A B$ 为对角线作 $▱ A C B D$ ；②分别取 $A D$ ， $B D$ 边的中点E，F；③连结 $C E$ ， $C F$ 分别交 $A B$ 于点G，H，则点G，H为线段 $A B$ 的三等分点．

证明：∵四边形 $A C B D$ 是平行四边形，

$∴ A D = B C$ ， $A C = B D$ ， $A D ∥ B C$ ， $A C ∥ B D$ ．

$∵ A D$ ， $B D$ 的中点分别为E，F，

$∴ \frac{A E}{A D} = \frac{B F}{B D} = \frac{1}{2}$ ．

$∴ \frac{A E}{B C} = \frac{B F}{A C} = \frac{1}{2}$ ．

……

任务：

(1)、在思路一的证明过程中，“依据”的基本事实是___________．

(2)、请将思路二中的证明过程补充完整．

(3)、如图3，已知线段

M N

，在线段

M N

上求作一点O，使

\frac{M O}{O N} = \frac{2}{5}

．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）

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20、郭峪古城位于晋城市阳城县东北，建于明崇祯八年，是一座避难自保的防御性城堡，被称为“蜂窝城”，城堡内的一座“豫楼”，被称为“蜂窝柄”．某综合实践小组的同学围绕“景物高度的测量与计算”开展项目学习活动，形成了如下活动报告．

项目主题	景物高度的测量与计算
驱动问题	如何测量“豫楼”的高度
活动过程	方案说明	如图，某一时刻“豫楼” $A B$ 的影长为 $B E$ ，小玲站在点D处，她影子的顶端也恰好落在点E处．小玲沿射线 $B E$ 行走到点F处，放置一面平面镜（大小忽略不计）后，继续行走到点H处，此时恰好能从平面镜内看到“豫楼”的顶端A
	数据测量	$C D = G H = 1.5 m$ ， $D E = 2 m$ ， $D F = 12 m$ ， $F H = 2.5 m$ ， A，B，C，D，E，F，G，H均在同一竖直平面内，且 $A B ⊥ B H$ ， $C D ⊥ B H$ ， $G H ⊥ B H$ ， $∠ A F B = ∠ G F H$
	计算	…
交流展示	…

请根据以上数据，计算“豫楼” $A B$ 的高度．

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