相关试卷

1、如果关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程 $x^{2} + x = 0$ 的两个根是 $x_{1} = 0$ ， $x_{2} = - 1$ ，则方程 $x^{2} + x = 0$ 是“邻根方程”．

(1)、通过计算，判断方程 $x^{2} + 3 x + 2 = 0$ 是否为“邻根方程”．

(2)、已知关于 $x$ 的方程 $x^{2} - (m + 2) x + 2 m = 0$ 是“邻根方程”，求 $m$ 的值．

(3)、若关于 $x$ 的方程 $a x^{2} + b x + 2 = 0 (a > 0)$ 是“邻根方程”，令 $t = 12 a - b^{2}$ ，试求 $t$ 的最大值．

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2、在物理中，沿着一条直线且速度均匀地增大或减小的运动，叫作匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，例如，在一个时间段内，初速度为10米/秒，末速度为30米/秒，则这个时间段的平均速度为 $\bar{v} = \frac{10 + 30}{2} = 20$ （米/秒）．运动路程等于时间与平均速度的乘积（即 $s = \bar{v} t$ ）．若一个小球以10米/秒的初速度沿平滑的直线向前滚动，并且均匀减速，5秒后小球停止运动．

(1)、小球的滚动速度平均每秒减少________米，从开始到滚动了 $t$ 秒后小球的速度为________米/秒．

(2)、小球从开始到滚动21米用了多少秒？

(3)、小球在最后一秒滚动了多少米？

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3、如图，在 $▱ A B C D$ 中， $A E ⊥ B C$ 于点 $E$ ， $A F ⊥ C D$ 于点 $F$ ， $A E = 4$ ， $A F = 6$ ．若 $F$ 刚好是 $C D$ 的中点，则 $A D =$ ．

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4、如图1是一张等腰直角三角形纸片， $A C = B C = 12 \sqrt{3} cm$ ，现要求按照图2的方法裁剪几条宽度都为 $3 \sqrt{3} cm$ 的长方形纸条，用这些纸条为一幅正方形美术作品 $E F G H$ 镶边（如图3，纸条不重叠），正方形美术作品的面积为（）

A、 $\frac{27}{8} {cm}^{2}$ B、 $\frac{27}{4} {cm}^{2}$ C、 $\frac{27}{2} {cm}^{2}$ D、 $27 {cm}^{2}$

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5、如图，在 $▱ A B C D$ 中，连接 $B D$ ，过点 $A$ 作 $A E ⊥ B D$ ，垂足为 $E$ ．若 $B A = B D$ ， $∠ C = 75 °$ ，则 $∠ B A E$ 的度数为（）

A、 $75 °$ B、 $65 °$ C、 $60 °$ D、 $40 °$

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6、某地区2023年使用 $AI$ 工具的人数约为236万人，2025年达到270万人，若2023年至2025年间，每年的增长率都为 $x$ ，则下面所列方程正确的是（）

A、 $236 {(1 + x)}^{2} = 270$ B、 $270 {(1 + x)}^{2} = 236$ C、 $236 {(1 - x)}^{2} = 270$ D、 $270 {(1 - x)}^{2} = 236$

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7、数据0， $- 1$ ， 6，1， $x$ 的众数为 $- 1$ ，则这组数据的中位数是（）

A、6 B、 $- 1$ C、0 D、1

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8、若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + 2 x + m - 1 = 0$ 有一个根为1，则 $m$ 的值为（）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、1 D、2

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9、探究角度与线段比例之间的关系
如图1，在△ABC中， AB=AC=1，点D在BC边上，且CD=2BD，连接AD并延长至点E，使得AE=AB，作CF∥AE交BE延长线于点F，连接AF交BC于点 G．记cos∠ABC=x， $\frac{D G}{C G} = y ．$

(1)、【图形认识】求证： CF=3DE．

(2)、【引元关联】设DE=t，求y关于t的函数表达式．

(3)、【特例计算】如图2，当AF⊥BC时，分别求出y和x的值．

(4)、【规律研究】已知0<x<1，求y的取值范围．

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10、已知抛物线 $y = x^{2} - a x + 3$ (a为常数)经过点A (1， 0)．

(1)、求a的值．

(2)、若抛物线向左平移n(n>0)个单位后仍经过点A，求n的值．

(3)、过点 P (m， 0)作x轴的垂线，交抛物线 $y = x^{2} - a x + 3$ 于点M，交直线y=kx(k>0)于点N．当1<m<3时，MN的长度随AP的长度增大而增大，求k的取值范围．

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11、如图， $△ A B C$ 内接于⊙O， BC为直径， BD与⊙O相切于点B， BD=AC，作DE∥AB交BC于点E．

(1)、求证： $△ A B C ≅ △ B E D ．$

(2)、作OF⊥AC于点F， OG⊥DE于点 G．若 $s i n D = \frac{2}{3},$ 求 $\frac{O G}{O F}$ 的值．

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12、【动手实践】如图1，小明将一张长为12cm，宽为6cm的矩形纸片裁去图中阴影部分．通过平移，将4块空白部分既不重叠、又不留空隙地拼成一个新图形(含拼接线)．

(1)、【观察发现】如图2，拼成的新图形是图(填“甲”或“乙”)．

(2)、【探索应用】若拼成的新图形是一个中心对称图形且面积为27cm² ，求此时DH的长．

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13、小鹿和小橙进行了为期5天的跳绳集训，教练要根据两人的成绩选择一人评定为“跳绳新星”．小鹿和小橙根据自己5天的跳绳成绩绘制如下折线统计图．

(1)、小橙对比两个统计图后说：“我的成绩上升更显著，进步更明显．”小橙的说法合理吗?(填“合理”或“不合理”)

(2)、根据这5次跳绳成绩，将数据整理如下表：
最高成绩(个)
平均成绩(个)
第5日相对于第1日成绩的增长率
小鹿
161
139.6
40%
小橙
A
138.4
b
②求a和b的值．
③教练按以下方式进行评定：最高成绩高者得1分，平均成绩高者得1分，第5日相对于第1日成绩的增长率高者得2分，最终将得分高者评为“跳绳新星”．请你通过计算，说明谁会获得“跳绳新星”．

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14、如图1是一个底面为直角三角形的直三棱柱包装盒，∠BAC=90°，其表面展开图如图2所示．

(1)、根据表面展开图填写实物尺寸：侧棱BE=cm，底面斜边 BC=cm．

(2)、求直三棱柱的全面积．

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15、解方程组： ${\begin{matrix} x - 2 y = 4, \\ 3 x + 4 y = 7 \end{matrix}$

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16、先化简，再求值： (a+2)(a-2)+a(1-a)，其中 $a = \frac{1}{2} ．$

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17、如图，在▱ABCD中， AB=4， BC=8，点E在边BC上，连接AE，以AE为直角边构造等腰Rt△AEF，斜边AF恰好经过BD中点O，若∠BAF=90°，则OF的长为．

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18、小鹿利用欧几里得的一元二次方程图解法，解方程. $x^{2} + 6 a x = 16 a^{2} (a > 0)$ 的过程如下：将方程配方得 ${(x + 3 a)}^{2} = {(4 a)}^{2} + {(3 a)}^{2},$ 以3a和4a为两直角边作 Rt△ABC(如图)，再在斜边AB 及其延长线上截取BD=BE=BC，发现方程的解 $x_{1} = A D, x_{2} = - A E ．$ 若 $x_{1} = A D = 4,$ 则x₂的值为．

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19、甲有5g，10g砝码各一个，乙有10g，20g砝码各一个，每人从自己的砝码中随机选取一个，分别放置在如图天平两端的托盘上，则天平平衡的概率为．

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20、如图，点A，B是反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 上的两点，过点B作BC⊥x轴于点 C，作 BD⊥y轴于点 D．若点A 的坐标为 $(3 t, - \frac{1}{t}),$ 则矩形ODBC的面积为．

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	最高成绩(个)	平均成绩(个)	第5日相对于第1日成绩的增长率
小鹿	161	139.6	40%
小橙	A	138.4	b