相关试卷

1、问题提出
已知实数x，y满足 ${\begin{cases} 3 x - y = 5 ① \\ 2 x + 3 y = 7 ② \end{cases}$ ，求7x+5y的值.
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x，y的值再代入求值，可得到答案.此常规思路运算量比较大，其实仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，可求得该整式的值，如由①+②×2可得7x+5y=19.这种解题思想就是通常所说的“整体思想”.
利用上面的知识解答下面问题：

(1)、已知方程组 ${\begin{cases} 3 x + 2 y = 5 \\ x + y = 3 \end{cases}$ ，则2x+y的值为 .

(2)、问题探究
请说明在关于x，y的方程组 ${\begin{matrix} 2 x - 2 y = 4 a - 1 \\ x + 2 y = 2 - a \end{matrix}$ 中，无论a取何值，x+y的值始终不变.

(3)、问题解决
甲、乙、丙三种商品，如果购买甲1件、乙2件、丙2件共需135元，购买甲3件、乙1件、丙1件共需105元，那么购买甲、乙、丙三种商品各2件共需多少元？

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2、在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E.

(1)、当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：△ADC≌△CEB；

(2)、当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，AD=5，BE=2，求线段DE的长.

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3、如图，在△ABC和△DCB中，∠A=∠D=90°，AC=BD，AC与BD相交于点O.
求证：

(1)、△ABC≌△DCB；

(2)、∠OBA=∠OCD.

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4、如图，已知AB=DE，BE=CF，∠B=∠DEF，则AC∥DF，请说明理由.
解：∵BE=CF ，
∴BE+CE= ，
∴=EF，
在△ABC和△DEF中，
${\begin{cases} A B = D E (已知) \\ ∠ B = ∠ D E F (已知) \\ () (已证) \end{cases}$ ，
∴△≌△ ，
∴∠ACB=∠F ，
∴AC∥DF.

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5、图1是一幅“青朱出入图”，运用“割补术”，通过三个正方形之间的面积转化证明勾股定理（a²+b²=c²）.如图2，小明连结HK，GK，HG后发现HD=HG.

⑴ $\frac{D C}{C E}$ = ；
⑵当四边形DHKG的面积为22时，正方形DHIE的面积为 .

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6、若等腰三角形的一个外角是40°，则该等腰三角形的顶角是度．

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7、把命题“对顶角相等”改写成“如果••••••，那么••••••”的形式为： .

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8、科学种植促丰收，我国谷物总产量稳居世界首位，14亿多人的粮食安全得到有效保障.某水稻种植基地首次引入袁隆平团队带来的植株高、穗长粒多的巨型稻，选择两块面积相同的试验田，分别种植巨型稻和普通水稻，结果巨型稻收获16.8吨，普通水稻收获13.2吨，巨型稻比普通水稻每公顷多收3吨.问这次种植试验，巨型稻和普通水稻的产量分别是每公顷多少吨？设试验田中巨型稻每公顷产量为x吨，则下列方程正确的是（　　）

A、 $\frac{16.8}{x + 3} = \frac{13.2}{x}$ B、 $\frac{16.8}{x} = \frac{13.2}{x + 3}$ C、 $\frac{16.8}{x - 3} = \frac{13.2}{x}$ D、 $\frac{16.8}{x} = \frac{13.2}{x - 3}$

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9、已知a，b是常数，若化简（-2x+a）（x²+bx-3）的结果中不含x的二次项，则-12a+24b-3的值为（　　）

A、-3 B、2 C、3 D、4

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10、下列式子由左边到右边的变形中，是因式分解的是（　　）

A、（2x+y）（2x-y）=4x²-y² B、a²-6ab+b²=a（a-6b）+b² C、4a²-16=4（a+2）（a-2） D、 $5 x - 1 = x (5 - \frac{1}{x})$

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11、RTX6000是面向专业工作站的旗舰GPU，专为AI训练、大模型推理、生成式内容创作而打造，其芯片面积为0.000608m² ，将数0.000608用科学记数法表示为（　　）

A、6.08×10^-3 B、6.08×10^-4 C、6.08×10^-5 D、0.608×10^-3

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12、问题：点P的坐标为 $(a + 1, - a + 2)$ （a为实数），当a变化时，点P的横纵坐标均会变化，点P的位置也随之改变．那么点P的位置有何变化规律呢？
【方法探究】（1）小明同学看到这个问题后，想到可否先取一些特殊值，看看能不能发现什么规律？请你帮忙将表格补充完整，并在图1坐标系中描出点 $P_{4}$ ， $P_{5}$ ．
猜想：通过列表和描点，你认为点P的位置有何变化规律？
【问题解决】（2）小明同学认为通过观察，实验，归纳得到的结论不一定正确，还需要证明．要解决上面的问题，以下是他的简单思路；要想看出P点运动的规律，设点P的坐标为 $(x, y)$ ，令 $x = a + 1$ ， $y = - a + 2$ ，消掉字母a，就可以找出y与x的关系式．请你按照小明的思路，证明（1）中你的猜想．
【拓展应用】（3）如图2，A点坐标为 $(3 - m, - m - 2)$ ， B点与A点关于x轴对称．C，D为x轴，y轴正半轴上一点， $O C = O D = 2$ ，求 $△ B D C$ 周长的最小值，及此时B点的坐标．
a
$- 2$
$- 1$
0
1
2
P点坐标
$P_{1} (- 1, 4)$
$P_{2} (0, 3)$
$P_{3} (1, 2)$
$P_{4} (2,_)$
$P_{5} (3,_)$

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13、（1）如图1，四边形 $A B C D$ 中， $A B = A D$ ， $∠ B + ∠ A D C = 180 °$ ，若连接 $C A$ ，则 $C A$ 平分 $∠ B C D$ ．某数学小组成员通过观察、实验，提出以下想法：延长 $C D$ 到点 $E$ ，使得 $D E = B C$ ，连接 $A E$ ，利用三角形全等的判定和等腰三角形的性质可以证明．请你参考他们的想法，写出完整的证明过程．
（2）借助上一问的尝试，继续探究：如图2所示，在五边形 $A B C D E$ 中， $A B = A E$ ， $B C + D E = C D$ ， $∠ B + ∠ A E D = 180 °$ ，连接 $C A$ ， $C A$ 平分 $∠ B C D$ 吗？请说明理由．

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14、周末小明和小亮在人民广场放风筝．如图，小明站在C处，同时小亮在斜坡的D处， $D G ⊥ G B$ 且 $D G = 10$ 米， $C G = 24$ 米， $C E ⊥ G B$ ．（不考虑两人身高，点G，C，B在同一水平线上）

(1)、求小明与小亮之间的距离 $C D$ ．

(2)、若风筝A在小明的北偏东45度方向上，且高度 $A B$ 为36米， $A B ⊥ G B$ ，求此时风筝A到小亮的距离 $A D$ ．（保留整数）

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15、学校开展校本知识竞赛活动，现从八年级和九年级参与竞赛的学生中各随机选出20名同学的成绩进行分析（单位：分，满分100分），将学生竞赛成绩分为A，B，C，D四个等级，分别是：A： $x < 70$ ， B： $70 \leq x < 80$ ， C： $80 \leq x < 90$ ， D： $90 \leq x \leq 100$ ．
下面给出了部分信息：
其中，八年级学生的竞赛成绩为：66，75，76，78，79，81，82，83，84，86，86，88，88，88，91，92，94，95，96，96；
九年级等级C的学生成绩为：81，82，83，86，87，88，89．
两组数据的平均数、中位数、众数如表所示：
学生
八年级
九年级
平均数
$85.2$
$85.2$
中位数
86
a
众数
b
91
根据以上信息，解答下列问题：

(1)、填空： $a =$ _______ ， $b =$ ______， $m =$ ______；

(2)、根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条理由即可）；

(3)、若八年级有600名学生参赛，九年级有800名学生参赛，请估计两个年级参赛学生中成绩优秀（大于或等于90分）的学生共有多少人？

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16、下列四组数是勾股数的一组是（）

A、1，2，3 B、0.3，0.4，0.5 C、5，12，13 D、1， $\sqrt{2}$ ， 3

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17、主题式学习：某校九年级学习小组围绕“坐标系中的图形旋转问题”进行研究.
数学情境
在平面直角坐标系xOy 中，将点 M（m，1)（m≥3)绕点O逆时针旋转得到点A.旋转角为 $α (3 0^{\circ} \leq α \leq 6 0^{\circ}),$ ，点 A 关于直线 OM 的对称点为 B.分别过点 A，B 作. $A C ⟂ x$ 轴， $B D ⟂ x$ 轴，垂足分别为C，D.设线段AB 与OM 交于点E，连接CE，DE.

(1)、特例感知
如图1，当 $m = 3, α = 4 5^{\circ}$ 时，求线段 AB 的长.

(2)、猜想证明
在图2中根据“数学情境”作出图形，判断线段CE，DE 的大小关系，并说明理由.拓广探索

(3)、若ω·cosα=OC+OD，求实数ω的取值范围.

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18、综合与探究：
如图1，在▱ABCD 中，∠BAC=60°，AB=8，AC=6，点 E，F 分别在边AB，CD上，且BE=DF.连接EF，交AC 于点O.

(1)、求线段 OF 的最小值.

(2)、如图2， $\frac{A O}{C F} = \frac{3}{5} .$ 分别作线段OE，BC 的垂直平分线，两直线交于点 P ，连接 PB，PC.
①求证：∠PBA=∠PCA；
②分别记△PB□ABCD 的面积为S₁ ， S₂ ，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的值.

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19、综合与实践：
生活情境
某景区计划建设如图1所示的三孔桥，其横截面中三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同，正常水位时，大孔水面宽度为20m，顶点距水面8m，小孔顶点距水面5m.

(1)、建立模型
如图2，以大孔抛物线的顶点为原点，对称轴为y 轴，建立平面直角坐标系，求大孔抛物线所对应的函数表达式.

(2)、解决问题
当水位上涨到距小孔顶点1m 时，达到警戒水位，求此时大孔的水面宽度.（结果保留根号)

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20、如图，AB 是⊙O 的直径，C 为⊙O上一点，过点C 作⊙O 的切线，交 BA 的延长线于点 D，CE⊥AB，垂足为 E.

(1)、求证：CA 平分∠DCE.

(2)、若∠DCA=25°，AB=6，求 $\overset{⌢}{A C}$ 的长.

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a	$- 2$	$- 1$	0	1	2
P点坐标	$P_{1} (- 1, 4)$	$P_{2} (0, 3)$	$P_{3} (1, 2)$	$P_{4} (2,_)$	$P_{5} (3,_)$

学生	八年级	九年级
平均数	$85.2$	$85.2$
中位数	86	a
众数	b	91