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1、数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题的目的．

(1)、【经历体验】已知m，n均为正实数、且 $m + n = 4$ ，求 $\sqrt{m^{2} + 1} + \sqrt{n^{2} + 4}$ 的最小值．
通过分析，小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图， $A B = 4$ ， $A C = 1$ ， $B D = 2$ ， $A C ⊥ A B$ ， $B D ⊥ A B$ ，点E是线段 $A B$ 上的动点，且不与端点重合，连接 $C E$ ， $D E$ ，设 $A E = m$ ， $B E = n$ ．
①用含m的代数式表示 $C E =$ ______，用含n的代数式表示 $D E =$ ______；
②据此写出 $\sqrt{m^{2} + 1} + \sqrt{n^{2} + 4}$ 的最小值是______；

(2)、【类比应用】根据上述的方法，代数式 $\sqrt{x^{2} + 25} + \sqrt{{(16 - x)}^{2} + 49}$ 的最小值是______；

(3)、【感悟探索】
①若a，b为正数，写出以 $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ ， $\sqrt{4 a^{2} + 4 b^{2}}$ ， $\sqrt{9 a^{2} + b^{2}}$ 为边的三角形的面积是______．（用含a，b的式子表示）
②已知a，b，c为正数，且 $a + b + c = 1$ ，试运用构图法，画出图形，并求出 $\sqrt{a^{2} + b^{2}} + \sqrt{b^{2} + c^{2}} + \sqrt{a^{2} + c^{2}}$ 的最小值．

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2、在平面直角坐标系中，已知矩形 $A O B C$ ，其中 $A (0, 6), B (10, 0)$ ．

(1)、如图1， $E$ 在 $B C$ 边上将 $△ A C E$ 沿 $A E$ 翻折，点 $C$ 恰好落在 $O B$ 边上的点 $F$ 处．则点 $F$ 的坐标为_______， $E F =$ _______；

(2)、如图2，将（1）中的 $△ A O F$ 沿 $y$ 轴向上平移得到 $△ A^{'} O^{'} F^{'}$ ，点 $G$ 在第二或第四象限，以 $A^{'}$ ， O， $F^{'}$ ， $G$ 为顶点的四边形是菱形，求点 $G$ 的坐标．

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3、图1为5个边长为1的小正方形组成的图形，图2所示的网格中，每个小正方形的边长均为1个单位，点 $A (0, 1), B (1, 3), C (4, 3)$ 都落在网格的格点上．

(1)、线段 $A C =$ __________；线段 $A B =$ __________；

(2)、以 $△ A B C$ 某边为边长，在图2中画出一个大正方形，使其与图1中5个小正方形组成的图形面积相等（顶点落在格点上）．

(3)、点 $M$ 为 $x$ 轴上的动点，则 $A M + C M$ 的最小值为_______．

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4、如图，在矩形 $A B C D$ 中， $B E ⊥ A C$ ； $D F ⊥ A C$ ，垂足分别为 $E$ 、 $F$ ．连接 $D E$ 、 $B F$ ．

(1)、求证： $B E = D F$ ．

(2)、判断四边形 $B E D F$ 的形状，并说明理由．

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5、如图，在 $▱ A B C D$ 中，已知 $A D = 15 cm$ ，点P在 $A D$ 上以 $1 cm / s$ 的速度从点A出发向点D运动，点Q在 $B C$ 上以 $4 cm / s$ 的速度从点C出发向点B运动，两点同时出发，当点Q到达点B时停止运动（同时点P也停止），设运动时间为t秒（ $t > 0$ ）．

(1)、当点P，Q运动t秒时，线段 $A P$ 的长度为_________ $cm$ ；线段 $B Q$ 的长度为_________ $cm$ ；

(2)、若经过t秒，四边形 $A P Q B$ 是平行四边形，请求出t的值．

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6、已知实数a，b的对应点在数轴上的位置如图

(1)、判断正负，用“ $>$ ”“ $<$ ”填空： $a + 1$ ________0， $b - 1$ ________0， $a - b$ ________0．

(2)、化简： $\sqrt{{(a + 1)}^{2}} + 2 \sqrt{{(b - 1)}^{2}} + |a - b|$ ．

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7、计算： $\sqrt{24} - \sqrt{8} \div \sqrt{\frac{2}{3}} + (\sqrt{3} + \sqrt{2}) (\sqrt{3} - \sqrt{2})$ ．

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8、如图，正方形 $A B C D$ 的边长为1， $G$ 是对角线 $B D$ 上一动点， $G E ⊥ C D$ 于点 $E$ ， $G F ⊥ B C$ 于点 $F$ ，连接 $E F$ ，给出四种情况：①若 $G$ 为 $B D$ 的中点，则四边形 $C E G F$ 是正方形；②点 $G$ 在运动过程中，始终满足 $∠ G A D = ∠ G F E$ ；③点 $G$ 在运动过程中， $G E + G F$ 的值为定值1；④点 $G$ 在运动过程中，线段 $E F$ 的最小值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ．其中正确的有．

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9、如图，学校要在一片空地上搭建一个三角形形状的绿植装饰架 $A B C$ ，为了提前制作支撑框架，工作人员取 $A B$ ， $A C$ 边的中点M，N进行测量，经测量 $M N$ 的长度为 $80cm$ ，那么装饰架底边 $B C$ 的长度为 $cm$ ．

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10、一个多边形的外角和与所有的内角相加是 $1080 °$ ，则这个多边形的边数为．

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11、如图，在菱形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 与 $B D$ 相交于点 $O$ ，且 $A D = 5 ， B D = 6$ ，则菱形 $A B C D$ 的高 $D H$ 为（　　）

A、3 B、4 C、 $\frac{24}{5}$ D、 $\frac{48}{5}$

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12、用若干个全等的正五边形按下图方式拼接，使相邻的两个正五边形只有1个公共顶点，且两边所夹的锐角均为 $24 °$ ，按此方式拼接一圈后，中间形成的多边形是（）

A、正五边形 B、正六边形 C、正八边形 D、正十边形

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13、如图，在 $▱ A B C D$ 中，点 $E$ 、 $F$ 在对角线 $B D$ 上，且 $B F = D E$ ，连接 $A E$ 、 $C F$ ，则图中的全等三角形共有（）

A、1对 B、2对 C、3对 D、4对

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14、如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成．长方形的长为 $16 m$ ，宽为 $6 m$ ，抛物线的最高点 $E$ 离路面 $A B$ 的距离为 $8 m$ ．

(1)、按如图所示的直角坐标系，求表示该抛物线的函数表达式；

(2)、一大型货运汽车装载某大型设备后高为 $7 m$ ，宽为 $4 m$ ．若该隧道内设单向两车行车道，那么这辆货车能否安全通过？请说明理由．

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15、若二次函数 $y = x^{2} - 3 x + 2$ 的图象关于 $x$ 轴对称的图象的解析式为．

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16、因式分解： $2 a (x - y) + 4 b (y - x) =$ ．

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17、甲、乙两人在笔直的公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离 $y$ （米）与甲出发的时间 $t$ （分）之间的函数关系如图所示，下列说法中错误的是（）

A、甲步行的速度为60米/分 B、乙走完全程用了30分钟 C、乙用16分钟追上甲 D、乙到达终点时，甲离终点还有360米

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18、某厂1月份生产口罩60万箱，第一季度生产口罩共200万箱，一位同学根据题意列出了方程 $60 + 60 (1 + x) + 60 {(1 + x)}^{2} = 200$ ，则x表示的意义是（　　）

A、该厂二月份的增长率 B、该厂三月份的增长率 C、该厂一、二月份平均每月的增长率 D、该厂二、三月份平均每月的增长率

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19、下列运算正确的是（）

A、 $\sqrt{2} \times \sqrt{3} = \sqrt{5}$ B、 $9 \sqrt{3} \times \sqrt{\frac{1}{27}} = \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{6} + \sqrt{2} = 2 \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{24} \times \sqrt{\frac{3}{2}} = 6$

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20、水由水分子组成， $1 g$ 水中约有 $3.34 \times 10^{22}$ 个水分子，则 $2 kg$ 水中有（）个水分子．

A、 $0.668 \times 10^{26}$ B、 $6.68 \times 10^{25}$ C、 $66.8 \times 10^{24}$ D、 $668 \times 10^{23}$

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