相关试卷

1、定义：如果两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们称这两个方程为“好友方程”，如果关于x的一元二次方程x²﹣2x＝0与x²+3x+m﹣1＝0为“友好方程”，求m的值．

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2、如图，四边形 $A B C D$ 中，连接 $A C$ ， $B D$ ， $△ A B C$ 是等边三角形， $∠ A D C = 30 °$ ，并且 $A D = 4.5$ ， $B D = 7.5$ ，则 $C D$ 的长为．

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3、如图，四边形 $A B C D$ 是正方形， $E$ 、 $F$ 分别是 $A B$ 、 $B C$ 边上的点，且 $∠ E D F = \frac{1}{2} ∠ A D C$ ， $A E = 0.6$ ， $C F = 0.8$ ，则 $E F$ 的长度是．

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4、已知二次函数y＝ax²＋bx＋c的x，y的部分对应值如下表：
x
－1
0
1
2
3
y
5
1
－1
－1
1
则该二次函数图象的对称轴为直线．

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5、已知 $n$ 是一元二次方程 $x^{2} + 4 x = 10$ 的一个根，则 $2 n^{2} + 8 n =$ ．

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6、若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + 3 x + c - \sqrt{5} = 0$ 的常数项为零，则 $c =$ ．

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7、优选法是一种具有广泛应用价值的数学方法，我国为普及优选法作出重要贡献的著名数学家是（）

A、华罗庚 B、陈景润 C、吴文俊 D、苏步青

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8、解一元二次方程的数学核心方法是（）

A、消元 B、降次 C、归纳法 D、换元法

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9、如图是一个正五角星，将这个正五角星绕着它的中心旋转与自身重合，至少应旋转（）

A、 $36 °$ B、 $45 °$ C、 $72 °$ D、 $90 °$

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10、若一元二次方程 $a x^{2} - 10 x + 1 = 0$ 有两个相等的实数根，则 $a$ 的值（）

A、大于25 B、等于25 C、小于25 D、不小于25

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11、下列方程中属于一元二次方程的是（）

A、 $8 (x - 4) = 15$ B、 $\frac{2}{x - 3} = 1$ C、 $x^{2} - 9 = 0$ D、 $2 x + 4 y = 10$

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12、综合与探究
问题情境：如图1，数轴上一动点 $A$ 向左移动2个单位长度到达点 $B$ ，再向右移动5个单位长度到达点 $C$ ，若点 $A$ 表示的数为 $a$ ，点 $C$ 表示的数为1．
问题解决：
（1）求代数式 $2 {(2 a - 1)}^{2} - 5 {(2 a - 1)}^{2} + 4 {(2 a - 1)}^{2}$ 的值．
（2）已知多项式 $(m x^{2} + 3 a x^{2} + 3 x) + (- \frac{a}{2} - x + 3 m x^{2}) + a x$ 的值与 $x^{2}$ 的取值无关，求 $4 m^{2} - 6 m + 2$ 的值．
拓展延伸：
（3）在（2）的条件下，如图2，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为 $\frac{1}{2}$ 的长方形，接着把一个面积为 $\frac{1}{2}$ 的长方形等分成两个面积为 $\frac{1}{4}$ 的正方形，再把一个面积为 $\frac{1}{4}$ 的正方形等分成两个面积为 $\frac{1}{8}$ 的长方形， $\dots \dots$ ，依次进行下去，试利用图形揭示的规律求代数式 $(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32}) (2 m + a) + (\frac{1}{64} + \frac{1}{128} + \frac{1}{256}) (- a - 1)$ 的值．

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13、综合与实践
问题情境：我们把四个或四个以上多边形（三角形、四边形、五边形．．．）围成的立体图形称为多面体，所有的棱柱都是多面体，一个多面体有几个面就说这个多面体是几面体，长方体和正方体都是六面体．把一个多面体的面数记作 $F$ ，顶点数记作 $V$ ，棱数记作 $E$ ．
下表是一些多面体的面数、棱数和顶点数：
多面体
面数 $F$
5
6
7
8
顶点数 $V$
6
8
b
12
棱数 $E$
9
a
15
18
初步探究：（1）填空： $a =$ _____， $b =$ _____．
（2）根据表中的数据，我们发现多面体的棱数 $E$ 、面数 $F$ 与顶点数 $V$ 之间存在一定的关系，这个关系是 $E =$ _____．（用含 $F$ ， $V$ 的代数式表示）
深入探究：（3）若一个多面体的面数比顶点数小8，且有30条棱，求这个多面体的面数．

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14、阅读与思考

下面是小宣同学的数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务．

差倒数

【概念理解】已知有理数 $a$ ，且 $a \neq 1$ ，我们把 $\frac{1}{1 - a}$ 称为 $a$ 的差倒数．因为分数的分母不能为0，所以1没有差倒数．例如10的差倒数为 $\frac{1}{1 - 10} = - \frac{1}{9}$ ， $\frac{1}{10}$ 的差倒数为 $\frac{1}{1 - \frac{1}{10}} = \frac{10}{9}$ ，等等．

【问题解决】问题1：已知5的差倒数为 $x$ ， $\frac{5}{9}$ 的差倒数为 $y$ ，则 $x + y =$ ______．

问题2：已知 $a_{1} = - \frac{1}{3}$ ， $a_{2}$ 是 $a_{1}$ 的差倒数， $a_{3}$ 是 $a_{2}$ 的差倒数， $a_{4}$ 是 $a_{3}$ 的差倒数……依此类推，求 $a_{2026}$ 的差倒数．

解：根据差倒数的定义，因为 $a_{1} = - \frac{1}{3}$ ，所以 $a_{2} = \frac{1}{1 - a_{1}} = \frac{1}{1 - (- \frac{1}{3})} = \frac{3}{4}$ ，

$a_{3} = \frac{1}{1 - a_{2}} = \frac{1}{1 - \frac{3}{4}} = 4$ ， $a_{4} = \frac{1}{1 - a_{3}} = \frac{1}{1 - 4} = - \frac{1}{3} \dots \dots$

任务：

(1)、材料中问题1的“_____”处应填写_____．

(2)、补全材料中问题2解答过程的剩余部分．

(3)、现有若干个数，第1个数记为

a_{1}

，第2个数记为

a_{2}

，第3个数记为

a_{3}

，第4个数记为

a_{4}, \dots \dots

，第100个数记为

a_{100}

，若

a_{1} = - \frac{1}{2}

，接下来的都是它前面那个数的差倒数，直接写出

a_{1} \cdot a_{2} \cdot a_{3} \cdot a_{4} \cdot \dots \cdot a_{100}

的值．

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15、如图，用若干个完全相同的小立方块搭一个几何体．请在如图所示的网格中画出从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图．

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16、计算：

(1)、 $\frac{7}{4} + \frac{9}{7} + \frac{1}{4} - \frac{2}{7}$ ．

(2)、 $- 5 + (- 6) - (- 10) - |- 3|$ ．

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17、已知 $a$ 为多项式 $3 x^{2} - 2 x y - 5 y^{2} + 2$ 的各项系数之和， $b = ({2.5}^{2} - {1.5}^{2}) \times 2.5 - 11$ ，则代数式 $3 (a^{2} - a b + 2 b^{2}) - 2 (a^{2} - \frac{3}{2} a b + 2 b^{2})$ 的值为．

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18、三个互不相等的有理数，既可表示为1， $a + b$ ， $a$ 的形式，又可表示为0， $\frac{b}{a}$ ， $b$ 的形式，则 $a^{2026} + b^{2025} =$ ．

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19、已知某三角形的周长为 $5 a + 5$ ，其中两边长的和为 $4 a + 4$ ，则该三角形第三边的长为（用含 $a$ 的代数式表示）．

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20、如图，这是一组有规律的图案，它们是由边长相同的灰白两种颜色的小正方形组成的．按照这样的规律，第675个图案中灰色小正方形有（）

A、2024个 B、2025个 C、2026个 D、2027个

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x	－1	0	1	2	3
y	5	1	－1	－1	1

多面体
面数 $F$	5	6	7	8
顶点数 $V$	6	8	b	12
棱数 $E$	9	a	15	18