相关试卷

1、中国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛.问大小器各容几何.”意思是：有大小两种容器，已知5个大容器和1个小容器的总容量为3斛(斛是过去的一种量器)，1个大容器和5个小容器的总容量为2斛.大小容器的容量分别是多少斛?设1个大容器的容量为x斛，1个小容器的容量为y斛，则可列方程组为( )

A、 ${\begin{array}{l} 5 x + y = 3 \\ x + 5 y = 2 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} 5 x - y = 3 \\ x + 5 y = 2 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} 5 x + y = 3 \\ x - 5 y = 2 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} 5 x - y = 3 \\ x - 5 y = 2 \end{array}$

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2、如图，将三角形纸片ABC按下面四种方式折叠，则AD是△ABC的高的是( ).

A、 B、 C、 D、

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3、下列运算正确的是 ( )

A、 $m^{3} - m^{2} = m$ B、 ${(m^{2})}^{3} = m^{6}$ C、 $m^{9} \div m^{3} = m^{3}$ D、2m·3m=6m

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4、2026重庆马拉松于今年1月 18 日举行，赛事总规模为25000人.数据25000用科学记数法表示为( )

A、 $25 \times 1 0^{3}$ B、 $2.5 \times 10$ C、 $0.25 \times 1 0^{5}$ D、 $2.5 \times 1 0^{5}$

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5、如图1，若顺次连接四边形 $A B C D$ 各边中点所得四边形 $E F G H$ 是菱形，则称原四边形 $A B C D$ 为“中母菱形”．定义：若四边形的对角线相等，那么这个四边形是中母菱形．

(1)、请写一个你学过的特殊四边形中是中母菱形的图形的名称．

(2)、如图2有等边三角形 $A B C$ 中， $D 、 E$ 分别是 $A B 、 A C$ 的中点，连接 $D E$ ，猜想图中哪个四边形是中母菱形，并加以证明．

(3)、如图3，在等边三角形 $A B C$ 中，若 $D 、 E$ 不是 $A B 、 A C$ 的中点，且 $B D = A E$ ，探究满足上述条件的图形中是否存在中母菱形，并证明你的结论．

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6、【问题背景】如果一个正方形里面嵌套了一个正八边形，且正八边形至少有四个顶点分别在正方形的四条边上，那么我们称这个正八边形内嵌于这个正方形．在一次数学活动课上，老师给出正方形

A B C D

（如图1），让同学们分组讨论用尺规作内嵌于正方形的正八边形．

【问题解决】甲、乙两个小组给出了各自的尺规作图方案：

甲组方案

乙组方案

①确定正方形 $A B C D$ 的中心 $O$ ；

②分别以点 $A ， B ， C ， D$ 为圆心， $A O$ 的长为半径画弧，与各边相交于点 $E ， H ， G ， J ， I ， L ， K ， F$ ；

③顺次连接点 $E ， F ， G ， H ， I ， J ， K ， L$ ，得八边形 $E F G H I J K L$ （如图2）

①连接 $A C 、 B D$ 交于点 $O$ ；

②作 $∠ A O D$ 的平分线交 $A D$ 于点 $E$ ，延长 $E O 交 B C$ 于点 $I$ ；

③作 $∠ A O B$ 的平分线交 $A B$ 于点 $G$ ，延长 $G O 交 C D$ 于点 $K$ ；

④以点 $O$ 为圆心， $O E$ 的长为半径画弧，分别交 $O A ， O B ， O C ， O D$ 于点 $F ， H ， J ， L$ ；

⑤顺次连接点 $E ， F ， G ， H ， I ， J ， K ， L$ ，得八边形 $E F G H I J K L$

(1)、请根据乙组的方案在图1中按步骤完成尺规作图．

(2)、【课后思考】如果一个菱形的四个顶点分别在一个矩形的四条边上（不与矩形的顶点重合），那么称这个菱形是该矩形的内接菱形．如图3，在矩形

A B C D

中，

E

是边

A B

上的一点．用直尺和圆规作矩形

A B C D

的内接菱形

E F G H

，使点

F ， G ， H

分别在

B C ， C D ， D A

上．（保留作图痕迹，不写画法）

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7、【阅读材料】方程 ${(x^{2} - 1)}^{2} - 5 (x^{2} - 1) + 4 = 0$ 是一个一元四次方程，我们可以把 $x^{2} - 1$ 看成一个整体，设 $x^{2} - 1 = y$ ，则原方程可化为 $y^{2} - 5 y + 4 = 0$ ①．
解方程①可得 $y_{1} = 1 ， y_{2} = 4$ ．
当 $y = 1$ 时， $x^{2} - 1 = 1$ ，即 $x^{2} = 2$ ， ∴ $x = \pm \sqrt{2}$ ；
当 $y = 4$ 时， $x^{2} - 1 = 4$ ，即 $x^{2} = 5$ ， ∴ $x = \pm \sqrt{5}$ ．
∴原方程的解为 $x_{1} = \sqrt{2} ， x_{2} = - \sqrt{2} ， x_{3} = \sqrt{5} ， x_{4} = - \sqrt{5}$ ．
【解决问题】

(1)、方程 $x^{4} - 16 = 0$ 的解为；

(2)、已知 $(x^{2} + y^{2} + 1) (x^{2} + y^{2} + 3) = 8$ ，求 $x^{2} + y^{2}$ 的值；

(3)、请仿照材料中的方法，解方程： ${(x^{2} - 3 x)}^{2} - 6 (x^{2} - 3 x) = 0$ ．

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8、小明研究了网格作图后发现：可以在网格中构造等腰三角形、平行四边形、菱形、矩形、正方形等几何图形，并利用它们的性质，找到所求作点或线的位置．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．

(1)、如图1，点 $M ， N$ 都是格点，请仅用无刻度的直尺作出 $M N$ 的中点 $P$ ，要求：保留作图痕迹，不写作法．

(2)、图2中 $△ A B C$ 的三个顶点都是格点，请仅用无刻度的直尺作出 $△ A B C$ 的角平分线 $A D$ ，要求：保留作图痕迹，不写作法．（要求： $△ A B C$ 的角平分线 $A D$ 用实线表示，其他线用虚线表示．）

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9、如图，在 $▱ A B C D$ 中， $A E ⊥ B C$ 于点 $E$ ，延长 $B C$ 至点 $F$ ，使 $C F = B E$ ，连接 $D F ， A F 与 D E$ 交于点 $O$ ．

(1)、求证：四边形 $A E F D$ 为矩形；

(2)、若 $A E = 2 ， ∠ A O E = 60 °$ ，则 $E F$ 的长为．

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10、解方程：

(1)、 $2 x^{2} - 5 x - 1 = 0$ ；

(2)、 ${(2 x - 3)}^{2} = 2 (3 - 2 x)$ ．

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11、如图，A，B两点被池塘隔开，小吴为了测量A，B两点间的距离，他在 $A B$ 外选一点C，连接 $A C 和 B C$ ，延长 $A C$ 到D，延长 $B C$ 到E， $C E = \frac{1}{2} B C$ ，连接 $D E$ ，使 $D E ∥ A B$ ．若小吴测得 $D E$ 的长为300米，则 $A B =$ 米．

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12、若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - m x + 3 = 0$ 有两个相等的实数根，则实数 $m$ 的值为．

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13、如图，点E在正方形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 上，且 $E C = 2 A E$ ，直角三角形 $F E G$ 的两直角边 $E F ， E G$ 分别交 $B C 、 D C$ 于点M，N．若正方形 $A B C D$ 的边长为a，则重叠部分四边形 $E M C N$ 的面积为（）

A、 $\frac{2}{3} a^{2}$ B、 $\frac{1}{4} a^{2}$ C、 $\frac{5}{9} a^{2}$ D、 $\frac{4}{9} a^{2}$

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14、中国声谷是合肥高新区的国家级人工智能产业基地，是合肥“科创名城”的核心名片．在2025年“中国声谷杯”全国大学生人工智能创新大赛的初赛阶段，参赛的每两个队伍之间都需要进行一场项目路演答辩（单循环赛制），共进行了105场比拼．设共有 $x$ 个队伍参加初赛，则下列方程符合题意的是（）

A、 $x (x + 1) = 105$ B、 $x (x - 1) = 105$ C、 $\frac{1}{2} x (x + 1) = 105$ D、 $\frac{1}{2} x (x - 1) = 105$

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15、用配方法解方程 $x^{2} - 2 x - 5 = 0$ ，将其化为 ${(x + a)}^{2} = b$ 的形式，正确的是（）

A、 ${(x - 1)}^{2} = 6$ B、 ${(x - 1)}^{2} = 4$ C、 ${(x + 1)}^{2} = 6$ D、 ${(x + 1)}^{2} = 4$

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16、观察下面的表格，一元二次方程 $x^{2} - 3 x = 1$ 的一个解 $x$ 的取值范围是（）

$x$

$3.0$

$3.1$

$3.2$

$3.3$

$3.4$

$3.5$

$3.6$

$3.7$

$3.8$

$3.9$

$4.0$

$x^{2} - 3 x$

$0$

$0.31$

$0.64$

$0.99$

$1.36$

$1.75$

$2.16$

$2.59$

$3.04$

$3.51$

$4$

A、 $0.99 < x < 1.36$ B、 $3.2 < x < 3.3$ C、 $3.3 < x < 3.4$ D、 $3 < x < 4$

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17、小英在复习几种特殊平行四边形关系时整理如图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（）

A、（1）处可填 $∠ B = 90 °$ B、（2）处可填 $A B = B C$ C、（3）处可填 $A B = B C$ D、（4）处可填 $∠ A = ∠ C$

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18、如图所示，半径为1个单位长度的圆片上有一点A与数轴上的原点重合.AB是圆片的直径(结果保留π).

(1)、把圆片沿数轴向右滚动1周，点A到达数轴上点C的位置，点C表示的数是.

(2)、把圆片沿数轴滚动2周，点A到达数轴上点D的位置，点D表示的数是.

(3)、圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，依次运动情况记录如下：+2，-1，+3，-4，-3
①第几次滚动后，A点距离原点最近?第几次滚动后，A点距离原点最远?
②当圆片结束运动时，A点运动的路程共有多少?

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19、有理数a和b分别对应数轴上的点A和点B，定义 $M (a, b) = \frac{a + b}{2}$ 为数a、b的中点数，定义D(a，b)=|a-b|为点A、B之间的距离，其中|a-b|表示数a、b的差的绝对值.例如：数-1和3的中点数是 $M (- 1, 3) = \frac{- 1 + 3}{2} = 1,$ 数轴上表示数-1和3的点之间的距离是D(-1，3)=|-1-3|=4.请阅读以上材料，完成下列问题：

(1)、M(2，4)= ， D(2，4)=；

(2)、已知M(-6，x)+D(6，8)=5，求D(x，9)的值；

(3)、当D(-2，7)+D(4，x)=13时，求 $M (\frac{x - 1}{2}, 6)$ 的值.

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20、出租车司机小李某天上午营运时是在东西走向的大街上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天上午所接六位乘客的行车里程(单位：km)如下：-2，+5，-1，+1，-6，-2.

(1)、将最后一位乘客送到目的地时，小李在什么位置?

(2)、若汽车的耗油量为0.2L/km，这天上午小李接送乘客，共耗油多少升?

(3)、若出租车起步价为8元，起步里程为3km(包括3km)，超过部分每千米12元，问小李这天上午共得车费多少元?

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$x$	$3.0$	$3.1$	$3.2$	$3.3$	$3.4$	$3.5$	$3.6$	$3.7$	$3.8$	$3.9$	$4.0$
$x^{2} - 3 x$	$0$	$0.31$	$0.64$	$0.99$	$1.36$	$1.75$	$2.16$	$2.59$	$3.04$	$3.51$	$4$