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1、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，若点E是 $B C$ 边上任意一点，将 $△ A E C$ 绕点A逆时针旋转得到 $△ A D B$ ，点E的对应点为点D，连接 $D E$ ，

(1)、求证： $∠ A B C = ∠ A B D$ ；

(2)、若 $B D ∥ A C$ ，求 $∠ A E D$ 的度数．

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2、解方程：

(1)、 $x^{2} - 6 x + 1 = 0$ (配方法)；

(2)、 $x^{2} + 3 x - 5 = 0$ (公式法)

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3、如图1，在 $△ A B C$ 中，E为 $A C$ 边上一点， $E D ⊥ A B$ 交 $A B$ 于D，延长 $D E ， B C$ 相交于点F， $A D \cdot B D = D E \cdot D F$ ．

(1)、求证： $A C ⊥ B F$ ；

(2)、连接 $C D$ ，若 $△ C D B$ 是以 $C D$ 为腰的等腰三角形， $\frac{E D}{A D} = \frac{3}{4}$ ，求 $\frac{C D}{A C}$ 的值；

(3)、如图2，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 ° ， A C = 12 ， B C = 4$ ， D为直线 $A C$ 下方一点，点D关于直线 $A B$ 的对称点E恰好在 $C B$ 的延长线上，连接 $C D ， A D$ ，若 $C D = \sqrt{145}$ ，求 $A D$ 的长．

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4、如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 图象上有A，B两点，其中点B在点A右侧，连接 $O A, O B, A B$ ．

(1)、如图1，设A点坐标为 $(m, n)$ ，若 $m + n = 5$ ， $m^{2} + n^{2} = 17$ ，且 $m < n$ ．
①求k的值；
②若 $△ O A B$ 的面积为 $\frac{35}{3}$ ，求点B的坐标；

(2)、如图2，延长 $B O$ 交反比例函数的图象于点C，连接 $A C$ ，点 $D (1, 2)$ 为 $O A$ 上一点，连接 $B D$ 并延长交 $A C$ 于点E．若 $△ A O C$ 的面积与 $△ B E C$ 的面积相等，是否存在直线 $y = a$ ，使得点E始终在该直线下方，若存在，请求出a的最小值；若不存在，请说明理由．

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5、“骑行安全最重要，安全头盔要戴好．”2024年6月1日起，新修订的《成都市非机动车管理条例》正式实施，对驾驶非机动车闯红灯、不戴头盔、逆行等违法行为做出了规范．据了解，某经销商以25元/个的价格购入一批头盔，按50元/个的价格销售一段时间后，连续两次对该头盔进行降价，两次降价后，该头盔的售价为32元/个．

(1)、若该经销商两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率；

(2)、市场调研表明：当头盔售价为50元/个时，每月能够售出200个，当售价每降1元时，则月销量能增加20个．若要使月销售利润为5720元，则头盔的售价应为多少元？

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6、如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C ， A B ⊥ B C$ ，对角线 $D B$ 平分 $∠ A D C$ ．过点D作 $D E ⊥ B C$ 于点E，BF平分 $∠ D B C$ 交 $D C$ 于点F，交 $D E$ 于点G．若 $B G = G F ， B E = 1$ ，则 $C D$ 的长为．

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7、如图所示两个矩形 $A$ 和 $B$ ，若矩形 $B$ 的周长是矩形 $A$ 的周长的 $k$ 倍，矩形 $B$ 的面积也是矩形 $A$ 的面积的 $k$ 倍，则称 $k$ 为矩形 $B$ 相对于矩形 $A$ 的“共比系数”．若 $n = 2$ 时，矩形 $B$ 相对于矩形 $A$ 的“共比系数”为 $\frac{9}{7}$ ，则 $a =$ ；若 $1 \leq m \leq 5 ， 8 \leq n \leq 10$ （ $m, n$ 均为正整数），则矩形 $B$ 相对于矩形 $A$ 的“共比系数”为 $\frac{1}{m}$ 的概率为．

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8、如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $y = x$ 与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0)$ 的图象交于点A，点B在x轴的负半轴上，连接 $A B$ ．若 $O A = O B$ ， $△ A B O$ 的面积为6，则k的值为．

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9、如图，在菱形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = 60 °$ ，连接 $B D$ ，点 $P$ 是线段 $B D$ 上一点，过点 $P$ 作 $P E ⊥ A B, P F ⊥ A D$ ，垂足分别为点 $E, F$ ．若 $A B = 4$ ，则 $P E + P F$ 的值为．

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10、若 $m$ ， $n$ 是一元二次方程 $x^{2} - 4 x - 3 = 0$ 的两个实数根，则 $m^{2} + m n - 3 m + n$ 的值为．

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11、如图1，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，A点坐标为 $(0, m)$ ， B点坐标为 $(n, 0)$ ，平移线段 $A O$ 得线段 $B E$ ，连接 $O E$ ，反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象经过点E，交直线 $A B$ 于C，D两点．

(1)、若 $m = - 1 ， n = 2$ ，求反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的表达式；

(2)、试探究 $\frac{B C}{O E}$ 的值是否为定值，若是，请求出；若不是，请说明理由；

(3)、如图2，取线段 $C D$ 的中点F，连接 $E F$ ，若 $k = 4 \sqrt{3}, ∠ O E F = 30 °$ ，求 $E F$ 所在直线的表达式．

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12、如图1，在 $▱ A B C D$ 中， $E, F$ 分别为 $D C, A B$ 的中点，连接 $A E, C F$ ，且 $∠ F C B = ∠ F B C$ ．

(1)、求证：四边形 $A F C E$ 是菱形；

(2)、如图2，连接 $B D$ 交 $A E$ 于点 $G$ ，交 $C F$ 于点 $H$ ，且 $C F ⊥ B D$ ，连接 $C G$ ， $C A$ ．
①求证： $∠ C G B = ∠ A C F$ ；
②若 $C G = \sqrt{6}$ ，求 $A B$ 的长．

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13、如图，三根木杆 $A B$ 、 $C D$ 、 $E F$ 竖直立于地平面，点 $B$ 、 $D$ 、 $F$ 在同一条直线上，且每两根木杆之间的距离为6米，即 $B D = D F = 6$ 米，木杆 $A B$ 、 $C D$ 的影子分别为 $B G$ 、 $D H$ ．

(1)、在图1、图2两个示意图中，反映阳光下情形的是图，反映灯光下情形的是图；（填图形序号）

(2)、请在图1中画出表示木杆 $E F$ 的影长的线段；

(3)、已知木杆 $A B$ 长为3.6米，木杆 $C D$ 长为2.25米，木杆 $E F$ 长为1.5米，在图1中测得木杆 $A B$ 、 $C D$ 的影长 $B G = D H = 4$ 米，求木杆 $E F$ 的影长．

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14、已知反比例函数的图象经过A，B两点，若点A的坐标为 $(4, 3)$ ，则点B的坐标可能是（写一个即可）．

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15、已知关于x的一元二次方程 $x^{2} - m x + 9 = 0$ 有两个相等的实数根，则 $m =$ ．

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16、如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $△ A B C$ 的三个顶点A，B，C的坐标分别为 $(1, 1), (2, 3), (4, 2)$ ．以原点O为位似中心，作 $△ A B C$ 的位似图形 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ，且 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 与 $△ A B C$ 的相似比为 $2 : 1$ ，点A，B，C的对应点分别为 $A^{'}, B^{'}, C^{'}$ ，则点 $C^{'}$ 的坐标是（　　）

A、 $(2, 1)$ B、 $(8, 4)$ C、 $(2, 1)$ 或 $(- 2, - 1)$ D、 $(8, 4)$ 或 $(- 8, - 4)$

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17、已知点 $M (m, a)$ ， $N (m + 2, b)$ 在反比例函数 $y = \frac{3}{x}$ 的图象上，则下列说法正确的是（　　）

A、当 $m < - 2$ 时， $b < a < 0$ B、当 $- 2 < m < 0$ 时， $b < a < 0$ C、当 $- 2 < m < 0$ 时， $0 < a < b$ D、当 $m > 0$ 时， $0 < a < b$

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18、一个口袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中．不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有68次摸到红球，请估计这个口袋中红球的数量最有可能是（　　）

A、6 B、7 C、8 D、9

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19、如图，菱形 $A B C D$ 的边长 $A B = 5$ ，对角线 $A C = 6$ ，则菱形 $A B C D$ 的面积为（　　）

A、15 B、24 C、30 D、48

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20、如图，直线 $l_{1} ∥ l_{2} ∥ l_{3}$ ，若 $A B = 2 ， B C = 4 ， D E = 3$ ，则EF的长为（　　）

A、3 B、4 C、5 D、6

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