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1、计算：

(1)、 $\tan^{2} 60 ° - 2 \sin 30 ° - \sqrt{2} \cos 45 °$ ．

(2)、 $2 \sin 30 ° + 4 \cos 30 ° \cdot \tan 60 ° - \cos^{2} 45 °$ ．

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2、如图，轮船在A处观测灯塔C位于北偏西 $70 °$ 方向上，轮船从A处以每小时20海里的速度沿南偏西 $50 °$ 方向匀速航行，1小时后到达码头B处，此时，观测灯塔C位于北偏西 $25 °$ 方向上，则灯塔C与码头B的距离是海里．

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3、如图，点 $P$ 是 $△ A B C$ 内一点，过点 $P$ 分别作直线平行于 $△ A B C$ 的各边，所形成的三个小三角形（图中阴影部分）的面积分别是 $1$ ， $9$ 和 $49$ ，则 $△ A B C$ 的面积是．

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4、如图所示，把 $△ D E F$ 沿 $D E$ 平移到 $△ A B C$ 的位置，它们重合部分的面积是 $△ D E F$ 面积的 $\frac{2}{3}$ ，若 $A B = \sqrt{6}$ ，则此三角形移动的距离 $A D$ 是．

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5、半径为 $2 cm$ 的 $⊙ O$ 中有长为 $2 \sqrt{3} cm$ 的弦 $A B$ ，则弦 $A B$ 所对的圆周角度数为

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6、如图，已知 $E (- 4, 2)$ ， $F (- 2, - 2)$ ，以O为位似中心，把 $△ E F O$ 缩小到原来的 $\frac{1}{2}$ ，则点E的对应点的坐标为是（）

A、 $(2, - 1)$ B、 $(8, - 4)$ 或 $(- 8, 4)$ C、 $E (2, - 1)$ 或 $E (- 2, 1)$ D、 $(8, - 4)$

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7、如图所示，网格中的每个小正方形的边长都是1， $△ A B C$ 的顶点都在网格的交点处，则 $∠ A B C$ 的正弦值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{6 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{3 \sqrt{10}}{10}$

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8、如图， $⊙ O$ 的直径 $A B$ 与弦 $C D$ 交于点 $E$ ，若 $B$ 为 $\overset{⌢}{C D}$ 的中点，则下列说法错误的是（）

A、 $\overset{⌢}{A C} = \overset{⌢}{A D}$ B、 $O E = B E$ C、 $C E = D E$ D、 $A B ⊥ C D$

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9、如图， $A D ∥ B E ∥ C F$ ，若 $A B = 4$ ， $B C = 8$ ， $D E = 3$ ，则 $E F$ 的长是（）

A、1.5 B、6 C、9 D、12

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10、如图1，点 $D$ 、 $E$ 分别是边长为 $3cm$ 的等边 $△ A B C$ 边 $A B$ 、 $B C$ 上的动点，点 $D$ 从顶点 $A$ 沿 $A B$ 方向运动，点 $E$ 从顶点 $B$ 沿 $B C$ 方向同时出发，且它们的速度都为 $2cm/s$ ．

(1)、如图1，连接 $A E$ 、 $C D$ 交于点 $O$ ，则在 $D$ 、 $E$ 运动的过程中， $∠ C O E$ 的大小是否发生变化；若变化，说明理由，若不变，求出 $∠ C O E$ 的度数；

(2)、如图1，当运动时间 $t$ 为多少时 $△ B D E$ 是直角三角形？

(3)、如图2，若点 $D$ 、 $E$ 在运动到终点后继续在射线 $A B$ 、 $B C$ 上运动，直线 $A E$ 、 $C D$ 交点为 $O$ ，则 $∠ C O E$ 的大小变化吗？若变化，请说明理由；若不变，写出它的度数．

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11、已知： $∠ B A C = 120 °$ ， $A D$ 为 $∠ B A C$ 的平分线， $E 、 F$ 分别是边 $A B$ 、 $A C$ 上一点，且 $∠ E D F = 60 °$ ，求证： $D E = D F$ ．
方法1：（ $1$ ）已知 $∠ B A C = 120 °$ ， $∠ E D F = 60 °$ ，那么 $∠ B A C + ∠ E D F =$ ________．
（ $2$ ）要证 $D E = D F$ ，是否需要证明它们所在的三角形全等，又知道 $A D$ 为 $∠ B A C$ 的平分线，可过 $D$ 做辅助线，过 $D$ 作 $D M ⊥ A B$ ， $D N ⊥ A C$ ，垂足分别为 $M$ ， $N$ ．
（ $3$ ）补全图形，并尝试写出证明过程．
方法2：除了方法 $1$ 外，还可以在角平分线 $A D$ 两侧构造全等三角形，在射线 $A C$ 上取 $A E^{'} = A E$ ，连接 $D E^{'}$ ，并思考 $△ D F E^{'}$ 是否为等腰三角形，补齐图形并尝试写出证明过程．

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12、研究三角形的角平分线：

(1)、尺规作图：如图1，作 $∠ B$ 的平分线，不写作法，只保留作图痕迹；

(2)、如图2， $∠ A B C$ 与 $∠ A C B$ 的平分线相交于点 $P$ ，若 $∠ A = 60 °$ ，则 $∠ B P C$ 的度数是________；

(3)、如图3，作 $△ A B C$ 外角 $∠ M B C$ ， $∠ N C B$ 的角平分线交于点 $Q$ ，试探索 $∠ Q$ ， $∠ A$ 之间的数量关系．

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13、如图1， $Rt △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $∠ B = 30 °$ ， $A D ⊥ B C$ 于D， $C F$ 平分 $∠ A C B$ ，交 $A D$ 于E，交 $A B$ 于F．

(1)、如图1，求证： $△ A E F$ 是等边三角形；

(2)、如图1，若 $B C = 8$ ，则 $C D$ 的长为________．

(3)、取 $A E$ 的中点为G，连接 $F G$ ，如图2，求证： $△ E F G ≌ △ E C D$ ．

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14、如图，A，F，E，C四点在同一条直线上， $A D ∥ B C$ ， $F D ∥ B E$ ， $A C$ 交 $B D$ 于点O，且 $O B = O D$ ．求证： $△ A D F ≌ △ C B E$ ．

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15、在数学实验课上，老师让同学们以“三角形纸片的折叠为主题”开展数学活动操作发现：对折 $△ A B C (A B > A C)$ ，使点C落在边 $A B$ 上的点E处，得到折痕 $A D$ ，把纸片展平，如图1，发现四边形 $A E D C$ 满足： $A E = A C$ ， $D E = D C$ ，查阅资料得知，像这样的有两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．
初步应用：（1）如图1，在 $△ A B C$ 中，若 $∠ B A C = 84 °$ ， $∠ B = 30 °$ ，那么 $∠ E D B =$ ________ $°$
性质探究：借助学习几何图形的经验，通过观察、实验、猜测、证明等方法，同学们对筝形 $A E D C$ 的性质进行了研究，如图2，求证：
（2） $△ A E D ≌ △ A C D$ ；
（3） $A D ⊥ E C$ ， $O E = O C$ ．

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16、如图，在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 的三个顶点分别为 $A (- 2, 4)$ ， $B (- 4, 1)$ ， $C (- 1, 2)$ ．

(1)、请在图中作出 $△ A B C$ 关于 $y$ 轴对称的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、求 $△ A B C$ 的面积．

(3)、请在x轴上找一点P，使得 $P B + P C$ 最小，写出点P的坐标________．

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17、如图，在 $△ A B C$ 中， $B E$ 是 $A C$ 边上的高， $∠ A B C = 50 °$ ， $∠ C = 78 °$ ．

(1)、求 $∠ A B E$ 的度数；

(2)、若 $A D$ 是 $△ A B C$ 的角平分线， $A D$ 交 $B E$ 于点 $F$ ，求 $∠ E F D$ 的度数．

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18、如图，在 $△ A B C$ 中 $∠ A = 85 °$ ， $∠ C = 30 °$ ，现把 $△ C D E$ 沿 $D E$ 斜向上折叠得 $△ C^{'} D E$ ，折叠后产生的夹角 $∠ 1$ 、 $∠ 2$ ．则 $∠ 2 - ∠ 1 =$ ．

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19、如图，四边形 $A B C D$ 沿直线l对折后重合，如果 $A D ∥ B C$ ，则下列结论：① $A B ∥ C D$ ；② $A B = C D$ ；③ $A B ⊥ B C$ ；④ $A O = O C$ ．其中正确的是．（只填序号）

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20、在平面直角坐标系中，点 $(2, 3)$ 关于y轴对称的点的坐标为．

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