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1、跳跳杆是一种常见儿童玩具，结构如图甲所示，劲度系数较大的轻弹簧下端固定在支杆上，上端与脚踏相连，脚踏可以沿杆上下移动，儿童玩耍情境如图乙所示．已知自然状态下，弹簧的初始长度为 $56 cm$ ，当儿童刚接触到脚踏将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性形变），得到儿童的下落速度 $v (cm / s)$ 和弹簧被压缩的长度 $l (cm)$ 之间的关系图象如图1所示．

(1)、该儿童下落过程中，速度变化为_____________；

(2)、求出 $v$ 与 $l$ 的函数关系式；

(3)、当儿童的下落停止时，此时的弹簧长度是多少？

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2、已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - (k + 2) x + 2 k - 1 = 0$ ．

(1)、求证：无论 $k$ 为何值时，方程总有两个不相等实数根；

(2)、若方程的两个根为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且满足 $(x_{1} - 1) (x_{2} - 1) = k^{2} - 2$ ，求 $k$ 的值．

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3、如图，在平面直角坐标系中，已知 $△ A B C$ 的三个顶点的坐标分别为 $A (- 5, 1)$ ， $B (- 2, 2)$ ， $C (- 1, 4)$ ，请按下列要求画图：

(1)、请画出 $△ A B C$ 关于原点 $O$ 成中心对称的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、请画出 $△ A B C$ 将绕原点 $O$ 顺时针旋转 $90 °$ 后得到的 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ；

(3)、在（2）的基础上求出点 $B$ 所经路径的长度．

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4、马陵山藏兵洞位于新沂市马陵山镇，此洞冬暖夏凉弯弯曲曲，1967年开始由某部工程兵开凿、历时4年完成，洞有指挥室、机要处、水井等设施，作为军事防空洞．如图，已知主洞是由矩形和弓形组成，宽约4米（即 $A B = 4 m$ ），高约5米，侧墙的垂直高度约4米（即 $A D = 4 m$ ），求弧 $A B$ 所在 $⊙ O$ 的半径长．

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5、解方程：

(1)、 $2 x^{2} - 5 x - 3 = 0$

(2)、 $x (2 x - 1) = 4 x - 2$

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6、如图，在矩形 $A B C D$ 中， $P$ 为矩形内一点，连接 $A P$ ， $B P$ ， $C P$ ， $∠ B P C = 90^{\circ}$ ， $A B = 8$ ， $B C = 12$ ，则 $A P$ 的最小值为．

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7、如图， $△ A B C$ 是 $⊙ O$ 的内接三角形，若 $O A ∥ C B$ ， $∠ A C B = 20^{\circ}$ ，则 $∠ C A B =$ ．

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8、已知三点 $A (- 2, y_{1})$ ， $B (- 1, y_{2})$ ， $(2, y_{3})$ 都在抛物线 $y = {(x - 1)}^{2} + 3$ 的图象上，则 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $y_{3}$ 的大小关系为（用“ $>$ ”连接）．

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9、设方程 $x^{2} - x - 2 = 0$ 的两个根为 $α, β$ ，那么 $α β - α - β$ 的值等于．

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10、如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 与 $x$ 轴交于 $(3, 0)$ ，其对称轴为 $x = 1$ ，结合图象下列结论：① $a b c > 0$ ；② $2 a + b = 0$ ；③ $4 a - 2 b + c > 0$ ；④若点 $(m, y_{1})$ ， $(2 - m, y_{2})$ 均在函数图象上，则 $y_{1} = y_{2}$ ；⑤若 $n$ 为任意实数，则 $a + b \geq n (a n + b)$ ；⑥ $3 a + c < 0$ ．其中正确的有（）个

A、2 B、3 C、4 D、5

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11、在同一平面直角坐标系中，二次函数 $y = a x^{2} + b$ 与一次函数 $y = a x + b$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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12、如图， $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A B = 5$ ， $B C = 4$ ，其内切圆分别于 $A B$ 、 $B C$ 、 $A C$ 相切于点 $D$ 、 $E$ 、 $F$ ，则弦 $E F$ 的长为（）

A、1 B、2 C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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13、平面直角坐标系中，已知点 $P (3, 2)$ ，则点 $P$ 关于原点的对称点的坐标为（）

A、 $(- 3, - 2)$ B、 $(3, - 2)$ C、 $(- 2, - 3)$ D、 $(- 3, 2)$

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14、为了培养学生养成热爱读书的习惯，某学校抽出一部分资金用于购买书籍．已知 $2022$ 年该学校用于购买图书的费用为 $1$ 万元，到 $2024$ 年累计总投入 $3.64$ 万元．设每年用于购买图书资金的平均增长率为 $x$ ，根据题意可列方程（）

A、 $1 + x^{2} = 3.64$ B、 ${(1 + x)}^{2} = 3.64$ C、 $1 + x + {(1 + x)}^{2} = 3.64$ D、 $1 + (1 + x) + {(1 + x)}^{2} = 3.64$

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15、抛物线 $y = - x^{2}$ 先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度所得的抛物线解析式为（）

A、 $y = - {(x + 2)}^{2} + 3$ B、 $y = - {(x - 2)}^{2} + 3$ C、 $y = - {(x + 2)}^{2} - 3$ D、 $y = - {(x - 2)}^{2} - 3$

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16、关于二次函数 $y = - 3 {(x + 1)}^{2} - 2$ ，下列说法不正确的是（）

A、函数图象的开口向下 B、函数图象的顶点坐标是 $(1, - 2)$ C、该函数的最大值是 $- 2$ D、当 $x > 2$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而减小

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17、用配方法解方程 $x^{2} - 2 x - 3 = 0$ ，变形后结果正确的是（）

A、 ${(x - 2)}^{2} = 7$ B、 ${(x - 2)}^{2} = 1$ C、 ${(x - 1)}^{2} = 4$ D、 ${(x + 1)}^{2} = 4$

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18、各学科的图形都蕴含着对称美，下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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19、如图，四边形 $A B C D$ 内接于圆 $O$ ， $A B$ 是直径，点 $C$ 是 $\hat{B D}$ 的中点，延长 $A D$ 交 $B C$ 的延长线于点 $E$ ．

(1)、求证： $C E = C D$ ；

(2)、若 $A B = 3$ ， $B C = \sqrt{3}$ ，求 $A D$ 的长．

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20、在如图的方格纸中， $△ O A B$ 的顶点坐标分别为 $O (0, 0)$ ， $A (- 2, - 1)$ ， $B (- 1, - 3)$ ， $△ O_{1} A_{1} B_{1}$ 与 $△ O A B$ 是关于点P为位似中心的位似图形．

(1)、在图中标出位似中心P的位置并直接写出点P的坐标为________．

(2)、以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出 $△ O A B$ 的一个位似 $△ O A_{2} B_{2}$ ，使它 $△ O A B$ 的相似比为 $2 : 1$ ．

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