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相关试卷

1、下列说法正确的是（）

A、“ $a > 1, b > 1$ ”是“ $a b > 1$ ”成立的充分条件 B、命题 $p ： \forall x \in R, x^{2} > 0$ ，则 $\neg p ： \exists x \in R, x^{2} < 0$ C、命题“若 $a > b > 0$ ，则 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ ”是真命题 D、“ $a > b$ ”是“ $a^{2} > b^{2}$ ”成立的充分不必要条件

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2、设 $m = {log}_{6} 2$ ， $n = {log}_{6} 3$ ，则 $m^{2} - n^{2} + 2 n + 4^{n} - 9^{m}$ 等于（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、2 D、3

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3、已知 $f (x) = x^{3}$ ， $g (x) = sin x$ ，则右图表示的函数可能是（）

A、 $f (x) + g (x)$ B、 $f (x) - g (x)$ C、 $f (x) g (x)$ D、 $\frac{f (x)}{g (x)}$

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4、非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a} - 2 \vec{b}|$ ，若 $|\vec{a}| = |\vec{b}|$ ，则 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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5、在 $△ A B C$ 中， $sin A : sin B : sin C = 2 : 3 : 4$ ，则最大角的余弦值为（）

A、 $- \frac{1}{4}$ B、 $- \frac{2}{3}$ C、 $- \frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{4}$

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6、已知 $M = \{(x, y) |y = \sqrt{x}\}$ ， $N = \{(x, y) |y = x\}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 $\emptyset$ B、 $\{0, 1\}$ C、 $\{(0, 0), (1, 1)\}$ D、 $[0, + \infty)$

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7、设复数 $z = \frac{i}{1 - i}$ ，则 $z$ 的共轭复数 $\bar{z}$ 的虚部为（）

A、 $\frac{1}{2} i$ B、 $- \frac{1}{2} i$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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8、如图所示，某建筑物模型无下底面，有上底面，其外观是圆柱，底部挖去一个圆锥.已知圆柱与圆锥的底面大小相同，圆柱的底面半径为 $6 cm$ ，高为 $20 cm$ ，圆锥母线为 $10 cm$ .

(1)、计算该模型的体积.（结果精确到 $1 {cm}^{3}$ ）

(2)、现需使用油漆对500个该种模型进行涂层，油漆费用为每平方米30元，总费用是多少？（结果精确到1元）

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9、如图，设 $x$ 轴和 $y$ 轴是平面内相交成 $θ$ 角的两条数轴，其中 $θ \in (0, π), \vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}$ 分别是与 $x$ 轴， $y$ 轴正方向同向的单位向量，若向量 $\vec{O P} = \vec{a} = x \vec{e_{1}} + y \vec{e_{2}}$ ，则把有序数对 $(x, y)$ 叫做向量 $\vec{O P}$ 在夹角为 $θ$ 的坐标系 $x O y$ 中的坐标，记为 $\vec{a} = {(x, y)}_{(θ)}$ ，则下列结论正确的是（）

A、若 $\vec{a} = {(2, 1)}_{(\frac{2 π}{3})}$ ，则 $|\vec{a}| = \sqrt{3}$ B、若 $\vec{a} = {(1, 2)}_{(\frac{π}{3})}, \vec{b} = {(- 1, 1)}_{(\frac{π}{3})}$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $\frac{1}{2} \vec{b}$ C、若 $|λ \vec{e_{1}} - 5 \vec{e_{2}}| (λ \in R)$ 的最小值为 $\frac{5 \sqrt{3}}{2}$ ，则 $θ = \frac{π}{3}$ D、若对任意的 $λ \in [- 1, 1]$ ，恒有 $|2 \vec{e_{1}} + λ \vec{e_{2}}| \geq |\vec{e_{1}} + 2 \vec{e_{2}}|$ ，则 $θ \in [\frac{2 π}{3}, π)$

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10、已知双曲线 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的渐近线方程为 $y = \pm \sqrt{3} x$ ，点 $(2, 3)$ 在 $E$ 上．

(1)、求 $E$ 的方程．

(2)、设 $B$ 是双曲线 $E$ 的左顶点，过点 $(2, 0)$ 的直线 $l$ 与 $E$ 的右支交于 $P 、 Q$ 两点，直线 $B P, B Q$ 分别与直线 $x = \frac{1}{2}$ 交于 $M 、 N$ 两点.试探究：是否存在定点 $T$ ，使得以 $M N$ 为直径的圆过点 $T$ ？若存在求点 $T$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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11、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD是直角梯形， $B C ∥ A D$ ， $A B ⊥ B C$ ，平面 $P A B ⊥$ 平面ABCD， $P A = P B$ ， $A P ⊥ B P$ ， $B A = 2$ ， $B C = 1$ ， $A D = 3$ ，点E为线段PD上的动点．

(1)、若平面 $P B C \cap$ 平面 $P A D = l$ ，求证： $B C ∥ l$ ；

(2)、若平面ABE与平面PCD的夹角的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ ，求 $\frac{P E}{P D}$ 的值．

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12、已知点 $A (2, 2)$ ，圆 $C : x^{2} + y^{2} = 16$ .
（1）若点 $P$ ､点 $Q$ 都为圆 $C$ 上的动点，且 $∠ P A Q = 90 °$ ，求弦 $P Q$ 中点所形成的曲线 $G$ 的方程；
（2）若直线 $l$ 过点 $B (3, 2)$ ，且被（1）中曲线 $G$ 截得的弦长为 $2 \sqrt{2}$ ，求直线 $l$ 的方程.

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13、在平面直角坐标系xOy中，若直线 $y = k (x - 3 \sqrt{3})$ 上存在一点P，圆x²＋（y－1）²＝1上存在一点Q，满足 $\vec{O P} = 3 \vec{O Q}$ ，则实数k的最小值为．

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14、设 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 是椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 的两个焦点，点P在C上，若 $△ P F_{1} F_{2}$ 为直角三角形，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{3}$ 或1 D、1或 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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15、设抛物线 $C$ ： $y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，过点 $P (- 1 ， 0)$ 作斜率为 $k (k > 0)$ 的直线 $l$ 与抛物线 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，若 $\frac{|A F|}{|B F|} = \frac{1}{3}$ ，则 $k =$ （　　）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\sqrt{3}$

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16、已知平面向量 $\vec{a} = (- 1, \sqrt{3})$ ， $\vec{b} = (- \sqrt{3}, 1)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为（）．

A、 $(- 3, 0)$ B、 $(- \frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ C、 $(- 3, \sqrt{3})$ D、 $(- 1, \frac{\sqrt{3}}{2})$

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17、已知集合S为平面中点的集合，n为正整数，若对任意的 $k \in N^{*}$ .且 $1 \leq k \leq n$ ，总存在平面中的一条直线恰通过S中的k个不同的点，称集合S为n连续共线点集.

(1)、若 $S = \{(x, y) ∣ x \in \{0, 1, 2\}, y \in \{0, 1, 2, 3, 4\}\} ，$ 判断S是否为3连续共线点集?是否为4连续共线点集?

(2)、已知集合S为n连续共线点集，记集合S的元素个数为 $|S|$ .
（i）若 $|S| = 6$ ，求n的最大值；
（ii）对给定的正整数n，求 $|S|$ 的最小值.

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18、甲、乙两盒子中各有 $2$ 枚形状、大小完全相同的棋子，一红一黄.称一次操作是从甲、乙盒中随机取出一枚棋子交换，记 $n$ 次操作后，甲、乙盒中仍各有一红一黄棋子的概率为 $P_{n}$ .

(1)、求 $P_{1}$ ， $P_{2}$ 的值；

(2)、求数列 $\{P_{n}\}$ 的通项公式；

(3)、并求使不等式 $|P_{n} - \frac{2}{3}| \leq \frac{1}{3 \times 10^{4}}$ 成立 $n$ 的最小值.

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19、已知定义在 $(0, + \infty)$ 上的函数 $f (x) = e^{x} - m {(x + 1)}^{2}, m \in R$ .

(1)、若 $m = \frac{1}{2}$ ，判断 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x)$ 存在两个零点，求m的取值范围.

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20、如图1，在平面五边形 $A B C D E$ 中， $A E ∥ B D$ ，且 $D E = 4$ ， $∠ E D B = 60^{\circ}$ ， $C D = B C = 2 \sqrt{7}$ ， $\cos ∠ D C B = \frac{5}{7}$ ，将 $△ B C D$ 沿 $B D$ 折起，使点 $C$ 到点 $P$ 的位置，且 $E P = 2 \sqrt{3}$ ，得到如图 $2$ 所示的四棱锥 $P - A B D E$ .

(1)、求证： $P E ⊥$ 平面 $A B D E$ ；

(2)、若 $A E = 2$ ，求平面 $P A B$ 与平面 $P B D$ 所成锐二面角的余弦值.

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