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相关试卷

1、已知直线 $m$ 和平面 $α, β$ ，则下列命题中正确的有（）

A、若 $α // β, m ⊥ α$ ，则 $m ⊥ β$ B、若 $α ⊥ β, m ⊥ α$ ，则 $m // β$ C、若 $m // β, m ⊥ α$ ，则 $α ⊥ β$ D、若 $m // α, m // β$ ，则 $α // β$

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2、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $a_{1} = 1, \sqrt{S_{n + 1}} - \sqrt{S_{n}} = 1 (n \in N^{*})$ ，则 $a_{n} =$

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3、如图，直线 $y = k x + m$ 与曲线 $y = f (x)$ 相切于两点，则函数 $g (x) = f (x) - k x$ 在 $(0, + \infty)$ 上的极大值点个数为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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4、已知 $f (x)$ 是定义在 $I$ 上的函数，若对任意 $x \in I$ ， $f (x) \geq 0$ 恒成立，则称 $f (x)$ 为 $I$ 上的非负函数.

(1)、判断 $f (x) = x - e \ln x$ 是否为 $(0, + \infty)$ 上的非负函数，并说明理由.

(2)、已知 $n$ 为正整数， $g (x) = n x - a \ln x (a > 0)$ 为 $(0, + \infty)$ 上的非负函数，记 $a$ 的最大值为 $a_{n}$ ，证明： $\{a_{n}\}$ 为等差数列.

(3)、已知 $n \geq 2$ 且 $n \in N^{*}$ ，函数 $h (x) = \frac{n^{x}}{x^{n}} (x > 0)$ ，若 $F (x) = h (x) - h (b_{n})$ 为 $(0, + \infty)$ 上的非负函数，证明： $\sum_{n = 2}^{2025} \frac{1}{b_{n}} < {(\ln 2025)}^{2}$ .

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5、已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，左右两顶点分别为 $A_{1}, A_{2}$ ，过点 $C (1, 0)$ 作斜率为 $k_{1} (k_{1} \neq 0)$ 的动直线与椭圆 $E$ 相交于 $M, N$ 两点.当 $k_{1} = 1$ 时，点 $A_{1}$ 到直线 $M N$ 的距离为 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ .

(1)、求椭圆 $E$ 的标准方程；

(2)、设点 $M$ 关于原点的对称点为 $P$ ，设直线 $A_{1} P$ 与直线 $A_{2} N$ 相交于点 $Q$ ，设直线 $O Q$ 的斜率为 $k_{2}$ ，试探究 $\frac{k_{2}}{k_{1}}$ 是否为定值，若为定值，求出定值并说明理由.

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6、若关于 $x$ 的方程 $m + e \ln m = \frac{x}{e^{x}} + e (\ln x - x)$ 有解，则实数m的最大值为.

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7、一道单项选择题有4个答案，要求学生将正确答案选择出来.某考生知道正确答案的概率为 $\frac{1}{5}$ ，在乱猜时，4个答案都有机会被他选择，若他答对了，则他确实知道正确答案的概率是.

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8、若变量 $x, y$ 满足 $\{\begin{cases} 2 x - y - 6 \leq 0 \\ x - y + 3 \geq 0 \\ x \geq 1 \end{cases}$ ，目标函数 $z = 2 a x + b y (a > 0, b > 0)$ 取得最大值 $6$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{2}{b}$ 的最小值为．

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9、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $M, N$ 分别为线段 $A_{1} B_{1}, C C_{1}$ 的中点， $A A_{1} = 2 B C = 2, A B = 2 \sqrt{2}$ ，平面 $A B N ⊥$ 平面 $B B_{1} C_{1} C$ ，则四面体 $A B M N$ 的外接球的体积为（）

A、 $\frac{5 \sqrt{10} π}{3}$ B、 $10 π$ C、 $5 \sqrt{10} π$ D、 $30 π$

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10、已知抛物线 $C : y^{2} = - 12 x$ 的焦点为F，动点M在C上，圆M的半径为1，过点F的直线与圆M相切于点N，则 $\vec{F M} \cdot \vec{F N}$ 的最小值为（）

A、5 B、6 C、7 D、8

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11、把函数 $f (x) = \sin 2 x$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位，再将得到的曲线上所有点的横坐标变为原来的 $\frac{1}{ω}$ 倍，纵坐标不变，得到函数 $y = g (x)$ 的图象. 若函数 $y = g (x)$ 在 $(0, \frac{π}{2})$ 上恰有 3 个零点，则正数 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{5}{3}, \frac{8}{3}]$ B、 $(\frac{8}{3}, \frac{11}{3}]$ C、 $(\frac{11}{6}, + \infty)$ D、 $(\frac{8}{3}, + \infty)$

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12、已知 $x \in (0, \frac{π}{2})$ ， $\cos (x + \frac{π}{4}) = \frac{3}{5}$ ，则 $\sin x$ 的值为

A、 $- \frac{\sqrt{2}}{10}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{10}$ C、 $\frac{7 \sqrt{2}}{10}$ D、 $- \frac{7 \sqrt{2}}{10}$

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13、某中学有初中生600名，高中生200名，为保障学生的身心健康，学校举办“校园安全知识”了竞赛.现按比例分配的分层随机抽样的方法，分别抽取初中生 $m$ 名，高中生 $n$ 名，经统计： $m + n$ 名学生的平均成绩为74分，其中 $m$ 名初中生的平均成绩为72分， $n$ 名高中生的平均成绩为 $x$ 分，则 $x =$ （）

A、74 B、76 C、78 D、80

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14、已知两个函数 $y = f (x)$ ， $x \in D_{1}$ ， $y = F (x)$ ， $x \in D_{2}$ 若对任意的 $x_{1} \in D_{1}$ ，存在唯一的 $x_{2} \in D_{2}$ ，使得 $f (x_{1}) F (x_{2}) = 1$ 成立，则称 $F (x)$ 为 $f (x)$ 的“友好函数”.

(1)、判断函数 $G (x) = \cos x$ ， $x \in [0, π]$ 是否为 $g (x) = \sin x$ ， $x \in [0, π]$ 的“友好函数”，并说明理由；

(2)、若函数 $H (x) = \log_{2} x$ ， $x \in [m, n]$ 是 $h (x) = 2^{x}$ ， $x \in [- 2, - 1]$ 的“友好函数”，求 $n - m$ 的最小值；

(3)、已知函数 $Q (x) = \log_{2} (\frac{k x}{x^{2} + 4} + \frac{1}{4})$ ， $x \in [0, m]$ ， $q (x) = \sin (π x - \frac{π}{3})$ ， $x \in [- \frac{1}{6}, t]$ ，若 $Q (x)$ 是 $q (x)$ 的“友好函数”，且 $q (x)$ 也是 $Q (x)$ 的“友好函数”，求实数 $t$ 的值及 $m - k$ 的最大值.

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15、已知定义域为 $R$ 的偶函数 $f (x)$ 满足 $f (x) + f (4 - x) = 6$ ，则 $f (10) =$ （）

A、3 B、2 C、6 D、10

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16、已知函数 $f (x) = {(x^{2} - 1)}^{2} - 2 a |x^{2} - 1| + a + 1$ ， $x \in R$ 上有四个不同的零点，则实数 $a$ 的取值范围是.

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17、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的两条渐近线为 $y = \pm \sqrt{3} x$ ，且经过点 $(\sqrt{2}, \sqrt{3})$ .

(1)、求双曲线 $C$ 的方程；

(2)、过点 $P_{0} (3, 0)$ 作两条互相垂直的直线（两条直线的斜率都存在）分别交双曲线 $C$ 于点 $A_{1}$ 、 $B_{1}$ 和点 $C_{1}$ 、 $D_{1}$ ， $M_{1}$ 、 $N_{1}$ 分别为弦 $A_{1} B_{1}$ 和 $C_{1} D_{1}$ 的中点，直线 $M_{1} N_{1}$ 与 $x$ 轴交于点 $P_{1} (t_{1}, 0)$ ；过点 $P_{1} (t_{1}, 0)$ 作两条互相垂直的直线（两条直线的斜率都存在）分别交双曲线 $C$ 于点 $A_{2}$ 、 $B_{2}$ 和点 $C_{2}$ 、 $D_{2}$ ， $M_{2}$ 、 $N_{2}$ 分别为弦 $A_{2} B_{2}$ 和 $C_{2} D_{2}$ 的中点，直线 $M_{2} N_{2}$ 与 $x$ 轴交于点 $P_{2} (t_{2}, 0)$ ……；依此类推得到点列 $P_{n} (t_{n}, 0)$ ， $n \in N^{*}$ .
（ⅰ）求数列 $\{t_{n}\}$ 的通项公式；
（ⅱ） $Q_{n}$ 、 $R_{n}$ 分别在双曲线的左支和右支上，且直线 $Q_{n} R_{n}$ 经过点 $P_{n}$ ，当 $n \geq 2$ ， $n \in N^{*}$ 时满足：①直线 $Q_{n - 1} R_{n - 1}$ 的倾斜角总是 $\frac{π}{4}$ ；②点 $Q_{n - 1}$ 和 $R_{n}$ 关于 $y$ 轴对称.设点 $R_{n}$ 的坐标为 $(x_{n}, y_{n})$ ，数列 ${x_{n + 1}^{2} + x_{n}^{2}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ .证明： $S_{n} < 3 n + 6$ .

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18、有6名同学站成一排．

(1)、甲不站排头也不站排尾，则不同的排法种数为？

(2)、甲、乙不相邻，则不同的排法种数为？

(3)、甲、乙相邻，且甲、乙均不与丙相邻，则不同的排法种数为？

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19、“绿色出行，低碳环保”已成为新的时尚，近几年，国家相继出台了一系列的环保政策，在汽车行业提出了重点扶持新能源汽车的政策，为新能源汽车行业的发展开辟了广阔的前景．某新能源沉车配件公司为扩大生产，计划改进技术生产某种组件，已知生产该产品的年固定成本为2000万元，每生产 $x (x \in N^{*})$ 万件，需另投入成本 $G (x)$ 万元，且 $0 < x < 30$ 时， $G (x) = 10 x^{2} + 1600 x$ ；当 $x \geq 30$ 时， $G (x) = 2020 x + \frac{32000}{x - 10} - 6000$ ，由市场调研知，该产品每件的售价为2000元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完．

(1)、年利润y（万元）与年产量x（万件）的关系式（利润=销售收入-成本）；

(2)、当该产品的年产量为多少万件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？

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20、已知函数 $f (x) = a x ln x$ ．

(1)、当 $a > 0$ 时，讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $0 < a < 2$ 时，若曲线 $f (x)$ 上的动点 $P$ 到直线 $2 x - y - 11 e = 0$ 距离的最小值为 $2 \sqrt{5} e$ （ $e$ 为自然对数的底数）．
①求实数 $a$ 的值；
②求证： $f (x) < e^{x} + cos x - 2$ ．

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