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相关试卷

1、下列命题是真命题的是（）

A、若 $a > b > 0$ ，则 $a c^{2} > b c^{2}$ B、若 $a < b < 0$ ，则 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ C、若 $a < b < c < 0$ ，则 $\frac{a}{c - a} < \frac{b}{c - b}$ D、若 $a < b < c < 0$ ，则 $\frac{a + c}{b + c} < \frac{a}{b}$

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2、已知集合 $A = \{x | x^{2} - x - 6 \leq 0\}$ ， $B = \{x | \frac{x - 1}{x - 5} \leq 0\}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $[- 2, 5)$ B、 $[1, 3]$ C、 $[1, 5)$ D、 $[- 2, 1] \cup [3, 5)$

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3、已知复数 $z = 3 + m i$ ，其中 $m \in R$ ．

(1)、设 $z_{1} = (1 + 3 i) z$ ，若 $z_{1}$ 是纯虚数，求实数m的值；

(2)、设 $m = - 1$ ，分别记复数 $z 、 z^{2}$ 在复平面上对应的点为A、B，求 $\vec{O A}$ 与 $\vec{O B}$ 的夹角余弦值以及 $\vec{O A}$ 在 $\vec{O B}$ 上的投影向量．

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4、已知 $z = \frac{a - 2 i}{i} (a \in R) ，$ 则（）

A、z有可能为实数 B、z不可能为纯虚数 C、 $|z|$ 的最小值为1 D、若z在复平面内所对应的点在第三象限，则 $a > 0$

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5、如图，平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为2的正方形， $O$ 为 $A C$ 与 $B D$ 的交点， $A A_{1} = 2, ∠ C_{1} C B = ∠ C_{1} C D, ∠ C_{1} C O = 45 °$ ．

(1)、证明： $C_{1} O ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、求二面角 $B - A A_{1} - D$ 的正弦值．

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6、四个顶点的 $x, y, z$ 坐标均为整数的正四面体体积的最小值为（）．

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{6}$ C、1 D、 $\frac{1}{2}$

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7、在 $△ A B C$ 中，点D为 $A B$ 的中点，点O为 $△ A B C$ 的重心，则 $\vec{O A} + \vec{O B} =$ （）

A、 $\vec{C O}$ B、 $\vec{O D}$ C、 $2 \vec{C O}$ D、 $2 \vec{D O}$

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8、 $f (x)$ 和 $g (x)$ 都是定义在 $R$ 上的函数，若它们满足如下性质：① $f (x)$ 为奇函数， $g (x)$ 为偶函数；② $f (x) + g (x) = a^{x}$ （ $a > 0$ ， $a \neq 1$ ）；则称 $f (x)$ 为类正弦函数， $g (x)$ 为类余弦函数.

(1)、求类正弦函数和类余弦函数的解析式；

(2)、求证：
（ⅰ） $f (2 x) = 2 f (x) g (x)$ ；
（ⅱ） $g (2 x) = 2 {[g (x)]}^{2} - 1$ ；

(3)、解关于 $x$ 的不等式： $g (2 x) - (b + \frac{1}{b}) g (x) + \frac{3}{2} \leq 0$ ，其中 $b$ 为非零常数.

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9、已知函数 $f (x) = \log_{2} x$ ， $g (x) = 4^{x} - a \cdot 2^{x}$ ， $a \in R$ ， $h (x) = x + \frac{3}{x}$ ；

(1)、当 $x \in [2, 4]$ 时，求函数 $h [f (x)]$ 的值域；

(2)、当 $x \in [1, 3]$ 时， $g (x) + a - 2 \geq 0$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围；

(3)、若存在 $x_{1} \in [2, 4]$ ，使得不等式 $h [f (x_{1})] \geq |g (x_{2}) - g (x_{3})|$ 对任意 $x_{2}$ ， $x_{3} \in [0, 1]$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围.

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10、已知函数 $f (x) = \sin 2 x \cos θ - \cos 2 x \cos (\frac{π}{2} - θ)$ （ $0 < θ < \frac{π}{2}$ ），且 $|f (\frac{π}{3})| = 1$ .

(1)、求 $θ$ 的值及 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、若将 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位，再将所得图象上每个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数 $y = g (x)$ 的图象，则求不等式 $g (x) + g (2 x - \frac{π}{2}) > 0$ 的解集

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11、已知 $A = \{x |\frac{4 - x}{x} > 1\}$ ， $B = \{x |2 m - 1 < x < m + 1, m \in R\}$

(1)、若 $m = 0$ ，求 $(∁_{R} A) \cup (∁_{R} B)$ ；

(2)、若 $A \cup B = A$ ，则求实数m的取值范围.

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12、（1）计算： ${(\frac{8}{27})}^{- \frac{1}{3}} + 10^{\lg 2} + \log_{\frac{1}{9}} \sqrt{3} + \log_{5} 16 \cdot \log_{2} \sqrt{5}$ ；
（2）已知 $\frac{3 π}{4} < α < π$ ， $\tan α + \frac{1}{\tan α} = - \frac{5}{2}$ ，求 $2 \sin^{2} α - \sin α \cos α - 3 \cos^{2} α$ 的值..

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13、已知 $f (x) = x \ln (\sqrt{x^{2} + 2} + x) - \frac{1}{2} x \ln 2$ ，若对于任意的 $x \in (- \infty, - 1) \cup (\frac{3}{2}, + \infty)$ ， $f (x - a) < f (3 x)$ 恒成立，则a的取值范围是.

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14、已知扇形的周长为 $8$ ，圆心角为 $6 rad$ ，则扇形的面积为.

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15、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} + 2 x + 1, x \leq 0 \\ |\ln x - 1|, x > 0 \end{array}$ ，若关于x的方程 ${[f (x)]}^{2} + a \cdot f (x) + a = 0$ 有四个不同的实数解，它们从小到大依次记为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ ，则（）

A、 $0 \leq x_{1} x_{2} < 1$ B、 $1 \leq x_{3} < e$ C、 $0 < x_{1} x_{2} x_{3} x_{4} < e^{2}$ D、 $- \frac{1}{2} \leq a < 0$

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16、设函数 $f (x) = \frac{\sin 3 x}{\sin x \cos x}$ ，则（）

A、 $f (x)$ 是周期函数 B、 $f (x)$ 的图象有对称中心 C、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{2}$ 对称 D、 $f (x)$ 在区间 $(0, \frac{π}{2})$ 上单调递减

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17、下列命题中正确的是（）

A、 $\forall x \in (- \infty, 0)$ ， $2^{x} > 3^{x}$ B、 $\exists x \in (0, + \infty)$ ， $2^{x} > 3^{x}$ C、 $\forall x \in (0, 1)$ ， $x^{3} < x^{\frac{1}{2}}$ D、 $\exists x \in (1, + \infty)$ ， $x^{3} < x^{\frac{1}{2}}$

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18、已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且当 $x \leq 0$ 时， $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x} - x + m$ ，则 $f (x)$ 在 $[1, 2]$ 上的最大值为（）

A、 $- 5$ B、 $- 2$ C、5 D、6

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19、若不等式 $(a x - 2) (x - b) \geq 0$ 对任意的 $x \in R$ 恒成立，则 $a + 2 b$ 的最小值为（）

A、3 B、 $2 \sqrt{2}$ C、4 D、 $3 \sqrt{2}$

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20、“函数 $f (x) = \lg (x^{2} - a x - 2)$ 在 $[2, + \infty)$ 上单调”的一个充分不必要条件是（）

A、 $- 1 < a \leq 1$ B、 $- 1 \leq a < 1$ C、 $1 < a \leq 4$ D、 $1 \leq a < 4$

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