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相关试卷

1、将6本不同的书（包括1本物理书和1本历史书）平均分给甲、乙两人，其中物理书和历史书不能分给同一个人，则不同的分配种数是（）

A、6 B、12 C、18 D、24

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2、下列对函数求导运算正确的是（）

A、 ${(\sin \frac{π}{3})}^{'} = \cos \frac{π}{3}$ B、 ${(e^{2 x})}^{'} = e^{2 x}$ C、 ${(\frac{\cos x}{x})}^{'} = \frac{x \sin x - \cos x}{x^{2}}$ D、 ${(2 e^{x})}^{'} = 2 e^{x}$

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3、已知圆锥的顶点为P，底面半径为 $\sqrt{3}$ ，高为1，A，B是底面圆周上两个动点，下列说法正确的是（）

A、圆锥的侧面积是 $2 \sqrt{3} π$ B、圆锥侧面展开图的圆心角是 $\sqrt{3} rad$ C、△PAB面积的最大值是 $\sqrt{3}$ D、该圆锥内接圆柱侧面积的最大值是 $\frac{\sqrt{3} π}{2}$

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4、在月亮和太阳的引力作用下，海水水面发生的周期性涨落现象叫做潮汐．一般早潮叫潮，晚潮叫汐．受潮汐影响，港口的水深也会相应发生变化．下图记录了某港口某一天整点时刻的水深y（单位：米）与时间x（单位：时）的大致关系：
假设4月份的每一天水深与时间的关系都符合上图所示．

(1)、请运用函数模型 $y = A \sin (ω x + φ) + h (A > 0, ω > 0, - \frac{π}{2} < φ < \frac{π}{2}, h \in R)$ ，根据以上数据写出水深y与时间x的函数的近似表达式；

(2)、根据该港口的安全条例，要求船底与水底的距离必须不小于3.5米，否则该船必须立即离港．一艘船满载货物，吃水（即船底到水面的距离）6米，计划明天进港卸货．
①求该船可以进港的时间段；
②该船今天会到达港口附近，明天0点可以及时进港并立即开始卸货，已知卸货时吃水深度以每小时0.3米的速度匀速减少，卸完货后空船吃水3米．请设计一个卸货方案，在保证严格遵守该港口安全条例的前提下，使该船明天尽早完成卸货（不计停靠码头和驶离码头所需时间）．

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5、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = 2$ ， $cos B = \frac{1}{3}$ ，点D在线段BC上.

(1)、若∠ADC= $\frac{3}{4} π$ ，求AD的长；

(2)、若BD=2DC，△ADC的面积为 $\frac{4 \sqrt{2}}{3}$ ，求AC的长.

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6、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $b \sin A = \sqrt{3} a \cos B, ∠ A B C$ 的平分线交AC于点D，且 $B D = \sqrt{3}$ ，则 $a + 3 c$ 的最小值＝．

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7、对于函数 $f (x) = 2 \sin (ω x + \frac{π}{6}) + 1 (ω > 0)$ ．下列说法正确的是（）

A、当 $ω = 2$ 时，函数 $f (x)$ 在 $[\frac{π}{6}, \frac{5π}{6}]$ 上有且只有一个零点 B、若函数 $f (x)$ 在 $[\frac{π}{6}, \frac{2π}{3}]$ 单调递增，则 $ω$ 的取值范围为 $(0, \frac{1}{2}]$ C、若函数 $f (x)$ 在 $x = x_{1}$ 时取得最小值，在 $x = x_{2}$ 时取得最大值，且 ${|x_{1} - x_{2}|}_{min} = \frac{π}{2}$ ，则 $f (\frac{5π}{6} - x) + f (x) = 2$ D、将函数 $f (x)$ 图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位得到 $g (x)$ 的图象，若 $g (x)$ 为偶函数，则 $ω$ 的最小值为2

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8、设 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 是三个非零向量，且相互不共线，则下列说法正确的是（）

A、若 $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a} - \vec{b}|$ ，则 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ B、若 $|\vec{a}| = |\vec{b}|$ ，则 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ C、若 $\vec{a} \cdot \vec{c} = \vec{b} \cdot \vec{c}$ ，则 $\vec{a} - \vec{b}$ 不与 $\vec{c}$ 垂直 D、 $(\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c} = \vec{a} (\vec{b} \cdot \vec{c})$

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9、已知复数z满足 $\frac{z + 1}{z - 1} = 1 - 2 i$ ，则（）

A、 $z$ 为纯虚数 B、 $\bar{z}$ 对应的点在第四象限 C、 $z \bar{z} = 2$ D、 $z$ 和 $\bar{z}$ 是方程 $x^{2} + 2 x + 2 = 0$ 的两个根

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10、在 $△ A B C$ 中，已知 $A B = 2$ ， $A C = 4$ ， $∠ B A C = 60 °$ ， $B C$ ， $A C$ 边上的两条中线 $A M$ ， $B N$ 相交于点 $P$ ，则 $cos ∠ M P N =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{7}}{7}$ B、 $\frac{\sqrt{14}}{7}$ C、 $\frac{\sqrt{7}}{14}$ D、 $\frac{\sqrt{14}}{14}$

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11、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，若 $c - a cos B = (2 a - b) cos A$ ，则 $△ A B C$ 的形状为（）

A、等边三角形 B、直角三角形 C、等腰三角形 D、等腰或直角三角形

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12、已知非零空间向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ，且 $\vec{A B} = \vec{a} + 2 \vec{b}, \vec{B C} = - 5 \vec{a} + 6 \vec{b}, \vec{C D} = 7 \vec{a} - 2 \vec{b}$ ，则一定共线的三点是（）

A、A，B，D B、A，B，C C、B，C，D D、A，C，D

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13、已知函数 $f (x) = e^{x} - 6 k x + 1, g (x) = k x^{3} + 2, k \in R$ .

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、令 $h (x) = f^{'} (x) - g^{'} (x)$ ，当 $k = 1$ 时，求 $h (x)$ 的极值点个数；

(3)、令 $φ (x) = f (x) - g (x)$ ，当 $φ (x)$ 有且仅有两个零点时，求 $k$ 的取值范围.

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14、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P A D ⊥$ 底面 $A B C D, P A = P D$ ，底面 $A B C D$ 为平行四边形， $B C = 2 \sqrt{3}, C D = \sqrt{6}, E$ 为边 $B C$ 的中点， $∠ B C D = \frac{π}{4}$ .

(1)、求证： $P A ⊥ D E$ ；

(2)、已知二面角 $P - B C - D$ 的平面角等于 $\frac{π}{3}$ ，则在线段 $A B$ 上是否存在点 $M$ ，使得 $M$ 到平面 $P B C$ 的距离为 $\frac{3}{4}$ ，若存在，指出点 $M$ 的位置；若不存在，说明理由.

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15、已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x$ 的焦点为 $F$ ，点 $F$ 在直线 $2 x + 3 y - 2 = 0$ 上， $A, B$ 是抛物线 $C$ 上两个不同的点.

(1)、求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、设直线 $O A, O B$ 的斜率为 $k_{O A}, k_{O B}$ ，若 $k_{O A} \cdot k_{O B} = - 2$ ，证明：直线 $A B$ 过定点，并求定点坐标.

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16、已知 $a, b, c$ 分别为 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边，且 $\sqrt{3} a sin C + a cos C - b = c$ ，点 $D$ 为 $B C$ 边的中点，若 $A D = \sqrt{3}$ ，且 $2 b^{2} - a^{2} = 4$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、求 $△ A B C$ 的面积.

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17、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} |ln (1 - x)|, x < 1 \\ {(x - 2)}^{2} + a, x \geq 1 \end{array}, g (x) = \frac{1}{e} (1 - x)$ ，若函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的图象有且仅有三个交点，则实数 $a$ 的取值范围是.

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18、已知 $F_{1}, F_{2}$ 是双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左右焦点，过点 $F_{1}$ 的直线与双曲线 $C$ 的左右两支分别交于 $P, Q$ 两点， $△ P F_{1} F_{2}$ 和 $△ Q F_{1} F_{2}$ 的内切圆半径分别为 $r_{1}, r_{2}$ .设点 $H$ 为 $△ Q F_{1} F_{2}$ 的内心， $△ H F_{1} F_{2}$ 的面积为 $S_{1}$ ， $△ H Q F_{2}$ 的面积为 $S_{2}$ ， $△ H Q F_{1}$ 的面积为 $S_{3}$ ，且 $S_{1} : S_{2} : S_{3} = 3 : 3 : 4$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $|Q F_{1} |=| F_{1} F_{2}|$ B、双曲线 $C$ 的离心率 $e = 3$ C、 $\frac{r_{1}}{r_{2}} = \frac{1}{2}$ D、 $|Q H| = \frac{4 \sqrt{30}}{5} a$

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19、已知函数 $f (x) = e^{x} + 2 x + 3$ ，其导函数为 $y = f^{'} (x)$ ，当 $x \in [\frac{1}{2}, 3]$ 时，不等式 $f^{'} (x) < (a + \frac{2}{x}) (ln a + ln x) (a > 0)$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(e, + \infty)$ B、 $(\frac{e^{3}}{3}, + \infty)$ C、 $(2 \sqrt{e}, + \infty)$ D、 $(1, + \infty)$

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20、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0), F_{1} (- 1, 0), F_{2} (1, 0)$ 分别为椭圆的左右焦点，离心率为 $\frac{1}{2}$ ，点 $P$ 为直线 $x = a^{2}$ 上的一点.当 $△ P F_{1} F_{2}$ 的外接圆周长取最小值时，该圆的半径为（）

A、1 B、2 C、4 D、8

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