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相关试卷

1、已知集合 $A = {x | 2 a + 1 \leq x \leq 3 a + 5}$ ， $B = {x | x \leq - 2$ 或 $x \geq 5}$ ．

(1)、若 $a = 1$ ，求 $A \cup B$ ；

(2)、若“ $x \in B$ ”是“ $x \in A$ ”的必要不充分条件，求实数 $a$ 的取值范围．

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2、求下列各式的值：

(1)、 ${(\sqrt{2} - 1)}^{0} + 8^{\frac{1}{3}} + \log_{2} 3 \times \log_{3} 4$ ；

(2)、已知 $\sin (α + π) = \frac{3}{5}$ ，求 $\cos 2 α$ 的值．

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3、已知函数 $f (x) = - x^{2} - 4 x + 6$ ， $g (x) = \log_{a} x (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ ，若对任意的 $x_{2} \in [3, 5]$ ，存在 $x_{1} \in [- \frac{3}{2}, 1]$ ，使得 $f (x_{1}) < g (x_{2})$ 成立，则实数 $a$ 的取值范围是.

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4、若 $\tan α = 3$ ，则 $\frac{2 \cos (π - α) - 3 \sin (π + α)}{4 \cos (- α) + \sin (2 π - α)} =$ .

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5、幂函数 $y = x^{\frac{1}{2}}$ 的定义域为.

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6、已知函数 $f (x) = \ln \frac{2 - x}{2 + x}$ ，则下列说法正确的是（　　）

A、 $f (x)$ 的定义域为 $(- 2, 2)$ B、 $f (x)$ 为奇函数 C、 $f (x)$ 在定义域上是减函数 D、 $f (x)$ 为偶函数

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7、已知 $\sin α - \cos α = \frac{1}{5}$ ， $0 \leq α \leq π$ ，则下列选项中正确的有（）

A、 $\sin α \cos α = \frac{12}{25}$ B、 $\sin α + \cos α = - \frac{7}{5}$ C、 $\sin α = \frac{4}{5}$ D、 $\tan α = \frac{4}{3}$

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8、若 $f (x) = \{\begin{array}{l} a x - 2 a, x \leq 2 \\ \log_{a} (x^{2} - a x), x > 2 \end{array}$ 在 $(- \infty, + \infty)$ 上单调递增，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $[\frac{3}{4}, 1)$ B、 $(1, \frac{3}{2}]$ C、（1，2） D、 $(1, 2]$

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9、函数 $f (x) = \log_{3} x - \frac{2}{x}$ 的零点所在的区间是（）

A、 $(0, 1)$ B、 $(1, 2)$ C、 $(2, 3)$ D、 $(3, 4)$

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10、设 $a = \sin 30 °$ ， $b = \cos 45 °$ ， $c = \sin 35 °$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 三者的大小关系是（　　）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $a < c < b$ D、 $b<c<a$

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11、已知角 $α$ 终边上一点 $P (4, - 3)$ ，则 $\tan α =$ （　　）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $- \frac{3}{4}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、 $- \frac{4}{3}$

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12、已知命题 $p$ ： $\forall x \in R$ ， $x + 2 \leq 0$ ，则命题 $p$ 的否定是（　　）

A、 $\exists \in R$ ， $x + 2 > 0$ B、 $\forall \in R$ ， $x + 2 \leq 0$ C、 $\forall \in R$ ， $x + 2 > 0$ D、 $\exists \in R$ ， $x + 2 \geq 0$

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13、已知全集 $U = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ ，集合 $A = \{1, 3\}$ ， $B = \{3, 4, 5\}$ ，则集合 $A \cap B =$

A、 $\{3\}$ B、 $\{4, 5\}$ C、 $\{1, 2, 4, 5\}$ D、 $\{3, 4, 5\}$

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14、已知 $\sin (α - \frac{π}{12}) = \frac{\sqrt{2}}{3}$ ，则 $\cos (2 α + \frac{5 π}{6}) =$ （）

A、 $- \frac{7}{9}$ B、 $\frac{5}{9}$ C、 $\frac{7}{9}$ D、 $- \frac{5}{9}$

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15、已知过点 $P (0, 1)$ 的直线 $l$ 的方向向量 $\vec{n} = (- 1, 1)$ ，则 $l$ 的方程为（）

A、 $x + y - 1 = 0$ B、 $x + y + 1 = 0$ C、 $x - y - 1 = 0$ D、 $x - y + 1 = 0$

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16、若曲线 $y = x^{2} + a x + b$ 在点(0， $b$ )处的切线方程为 $x + y + 2 = 0$ ，则（）

A、 $a = 1$ ， $b = 2$ B、 $a = 1$ ， $b = - 2$ C、 $a = - 1$ ， $b = 2$ D、 $a = - 1$ ， $b = - 2$

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17、已知 $f (x) = \frac{2}{1 + 2^{x}} - 1$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 是奇函数 B、若 $x_{1} < x_{2}$ ，则 $f (x_{1}) < f (x_{2})$ C、若 $x_{1} + x_{2} < 0$ ，则 $f (x_{1}) + f (x_{2}) > 0$ D、若方程 $|f (x) + \frac{1}{2}| = m$ 有两个不同的实数解，则 $0 < m < \frac{1}{2}$

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18、函数 $f (x) = 4^{x} + x - 8$ 的零点所在的区间为（）

A、 $(\frac{1}{2}, 1)$ B、 $(1, \frac{3}{2})$ C、 $(\frac{3}{2}, 2)$ D、 $(2, \frac{5}{2})$

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19、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的公差是 $2$ ，若 $a_{1}$ ， $a_{3}$ ， $a_{4}$ 成等比数列，则 $a_{2}$ 等于（）

A、 $−6$ B、 $−4$ C、 $−8$ D、 $−10$

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20、对于一个单调递增的正整数数列 $\{a_{n}\}$ ，若对于任意不小于2的正整数 $m, a_{m}$ 不能表示为 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{m - 1}$ 中若干不同项之和，则称 $\{a_{n}\}$ 为“好数列”.

(1)、若数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{1} = 1, b_{2} = 2, b_{n + 2} = b_{n + 1} + b_{n}$ ，记集合 $S = \{x ∣ x \neq b_{n}, x \in N^{*}\}$ ， $S$ 中的元素由小到大排列得到数列 $\{B_{n}\}$ ，列举 $\{B_{n}\}$ 的前五项，并判断 $\{B_{n}\}$ 是否为“好数列”，若是，给出证明；若不是，请说明理由；

(2)、已知 $\{c_{n}\}$ 为“好数列”，对于给定的正整数 $m$ ，若存在正整数 $t$ ，使得 $c_{t} \leq m < c_{t + 1}$ ，则记 $t = f (m)$ ，设 $S_{n}$ 为 $\{c_{n}\}$ 的前 $n$ 项和.
（i）证明： $S_{4} \geq f (S_{4}) + 6$ ；
（ii）证明：对任意的正整数 $s, k$ ，有 $f (s) \leq c_{k} + \frac{s}{k + 1}$ .

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