广东东莞实验中学等校2025-2026学年第二学期期中教学质量自查高二数学

试卷更新日期：2026-05-05 类型：期中考试

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一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分，每小题仅有一个正确选项）

1. 计算： $A_{5}^{2} \times 3! =$ （）

A、120 B、90 C、60 D、30

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2. 函数 $f (x) = (x - 2) e^{x}$ 的单调递增区间是（）

A、 $(- \infty, 1)$ B、 $(0, 2)$ C、 $(1, + \infty)$ D、 $(3, + \infty)$

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3. ${(2 + \sqrt{x})}^{4}$ 的展开式中常数项是（　　）

A、8 B、16 C、24 D、32

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4. 端午节是中国四大传统节日之一，端午节当天，3名同学要从超市购买粽子，现有4种不同口味的粽子，每名同学只购买其中一种口味的粽子，则不同的购买方式种数是（）

A、4 B、16 C、32 D、64

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5. 函数 $f (x) = \frac{x^{2} - 1}{e^{x}}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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6. 若直线 $y = k x + 1 (k \in R)$ 是曲线 $y = \ln x + 2$ 与曲线 $y = e^{x} + b (b \in R)$ 的公切线，则 $b =$ （）

A、0 B、1 C、 $e$ D、 $\frac{1}{e}$

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7. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $\sin x f (x) + \cos x f^{'} (x) > 0$ ，则（）

A、 $f (\frac{π}{3}) < \sqrt{3} f (\frac{π}{6})$ B、 $f (\frac{π}{6}) < \sqrt{3} f (\frac{π}{3})$ C、 $f (\frac{π}{3}) > \sqrt{3} f (\frac{π}{6})$ D、 $f (\frac{π}{6}) > \sqrt{3} f (\frac{π}{3})$

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8. 已知函数 $f (x) = x \ln x + m e^{x}$ 有两个极值点，求 $m$ 的取值范围（）

A、 $(- \frac{1}{e}, 0)$ B、 $[- \frac{1}{e}, 0)$ C、 $(0, \frac{1}{e})$ D、 $(0, \frac{1}{e}]$

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二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分，每小题至少有两个正确选项，全对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分）

9. 下列结论正确的是（）

A、 $3 \times 4 \times 5 \times 6 = A_{6}^{4}$ B、 $C_{6}^{2} + C_{6}^{3} = C_{7}^{3}$ C、 $C_{8}^{1} + C_{8}^{3} + C_{8}^{5} + C_{8}^{7} = 128$ D、若 $C_{17}^{x} = C_{17}^{2 x - 1}$ ，则正整数x的值是1

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10. 已知 ${(3 x - \frac{1}{3})}^{n} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{n} x^{n}$ ，且第5项与第8项的二项式系数相等，则（）

A、 $n = 11$ B、展开式的二项式系数和为 $2^{12}$ C、展开式的各项系数和为 ${(\frac{8}{3})}^{12}$ D、 $\frac{a_{1}}{3} + \frac{a_{2}}{3^{2}} + \dots + \frac{a_{n}}{3^{n}} = \frac{2^{11} + 1}{3^{11}}$

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11. 已知函数 $f (x) = x \ln x$ ，则（）

A、函数 $f (x)$ 在 $(0, e)$ 上单调递减，在 $(e, + \infty)$ 上单调递增 B、 $f (\frac{1}{4}) < f (\frac{13}{25})$ C、若 $a < x f (x)$ ，则实数 $a$ 的取值范围是 $(- \infty, - \frac{1}{2 e})$ D、当 $\frac{1}{e} \leq x \leq e^{2}$ 时，若方程 $f (x) = \frac{b}{x} (b \in R)$ 有且只有一个根，则 $- \frac{1}{e^{2}} < b \leq 2 e^{4}$

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三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分）

12. 从0，1，2，3中任取3个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个数是．（用数字作答）

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13. ${(x^{2} + x + 1)}^{5}$ 展开式中， $x^{3}$ 的系数为.

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14. 对于三次函数 $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d (a \neq 0)$ 给出定义：设 $f^{'} (x)$ 是函数 $y = f (x)$ 的导数， $f^{″} (x)$ 是函数 $f^{'} (x)$ 的导数，若方程 $f^{″} (x) = 0$ 有实数解 $x_{0}$ ，则称点 $(x_{0}, f (x_{0}))$ 为函数 $y = f (x)$ 的“拐点”，某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心。给定函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + 3 x - \frac{5}{12}$ ；，请你根据上面探究结果，计算 $f (\frac{1}{2013}) + f (\frac{2}{2013}) + f (\frac{3}{2013})$ $+ \dots + f (\frac{2012}{2013}) =$ ．

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四、解答题（共5小题，共77分，要求有解析过程）

15. 已知函数 $f (x) = x^{3} - 3 x + 2$ ．

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(2, f (2))$ 处的切线方程；

(2)、求 $f (x)$ 在区间 $[- 2, 0]$ 上的最值．

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16. 某校志愿者团队共派出6人参加志愿服务活动，其中男生4人，女生2人．

(1)、从这6人中选出男、女队长各1人参加志愿服务活动，共有多少种选法？

(2)、从这6人中选出3人完成本次活动的宣传工作，其中至少需要1名女生和1名男生，共有多少种选法？

(3)、活动后6人排成一排拍照，男生甲在女生乙左边，有多少种不同的排法？

(4)、现要将6名志愿者分配到三所学校参加志愿服活动，每所学校至少分配1人，共有多少种不同的安排方法？

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17. 为响应国家“乡村振兴”政策，某村在对口帮扶单位的支持下拟建一个生产农机产品的小型加工厂.经过市场调研，生产该农机产品当年需投入固定成本 $10$ 万元，每年需另投入流动成本 $c (x)$ （万元）与 $\ln \frac{x}{10}$ 成正比（其中 $x$ （台）表示产量），并知当生产 $20$ 台该产品时，需要流动成本 $\ln 2$ 万元，每件产品的售价 $p (x)$ 与产量 $x$ （台）的函数关系为 $p (x) = - \frac{x}{100} + \frac{10}{x} + \frac{51}{50}$ （万元）（其中 $x \geq 10$ ）.记当年销售该产品 $x$ 台获得的利润（利润 $=$ 销售收入 $-$ 生产成本）为 $f (x)$ 万元.

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、当产量 $x$ 为何值时，该工厂的年利润 $f (x)$ 最大？最大利润是多少？（结果精确到0.1）

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18. 已知 ${(x + \frac{a}{x})}^{n} (a \neq 0)$ 的展开式中仅第5项的二项式系数最大，且第4项､第5项､第6项的系数成等差数列.

(1)、求 $a$ 和 $n$ 的值；

(2)、若 $a > 1$ ，且 $x = 2$ ，求 ${(x + \frac{a}{x})}^{2 n}$ 被5除的余数；

(3)、若 $a < 1$ ，求 ${(x + \frac{a}{x})}^{n}$ 的展开式中系数最大的项.

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19. 已知函数 $f (x) = x - 1 - a ln x$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 单调性；

(2)、若 $f (x) \geq 0$ 恒成立，求 $a$ 的值；

(3)、当 $a \geq \frac{1}{2}$ 时，证明：当 $x > 1$ 时， $\frac{1}{a} f (x) < e^{x - 1} - 1$ 恒成立．

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