【高考真题】2026年普通高等学校招生全国统一考试数学试题北京卷（网传）

试卷更新日期：2026-06-16 类型：高考真卷

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一、单项选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 已知集合M={x|-1<x<3}，N={x|x≥2}，则M∪N=（）

A、（2，3） B、 $(- 1, + \infty)$ C、 $[2, 3)$ D、 $(- 1, 2]$

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2. 已知 $z_{1} = 3 - 2 i, z_{2} = - 1 + 4 i$ ，则 $∣ z_{1} + z_{2} ∣ =$ （）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、i C、2 D、8

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3. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{4} = 1 （ a ＞ 0 ）$ 的一条渐近线为 $y = \frac{2}{3} x,$ 则a=（）

A、2 B、3 C、4 D、9

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4. 在 ${(a - \sqrt{x})}^{7}$ 的展开式中，x²的系数为280，则a=（）

A、2 B、-2 C、 $\sqrt{2}$ D、±2

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5. 下列函数中，既是奇函数，又在其定义域内单调递增的是（）

A、 $f (x) = x^{2}$ B、f（x）=sinx C、f（x）=-x³ D、 $f (x) = l n \frac{5 + x}{5 - x}$

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6. 已知向量 $\vec{a} = (2, 0), \vec{b}$ 满足 $|\vec{a} - \vec{b}| = 2,$ 则 $∣ \vec{b} ∣$ 的最大值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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7. 设数列{a_n}，{b_n}，命题P：存在常数M，使 $a_{n} \leq M \leq b_{n}$ 对一切n成立；命题 $Q : a_{n} \leq b_{n}$ 对一切n成立。则P是Q的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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8. 已知f（x）=sin（x+φ）（0≤φ<2π）。将f（x）的图象向右平移3φ个单位得g（x），若g（x）的图象与f（x）的图象关于x轴对称，则满足条件的φ的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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9. 某校组织高一、高二年级学生分别前往甲、乙两地研学。记高一去甲、去乙的人数为p，q，高二去甲、去乙的人数为r，s。已知p+q>r+s且p+r>q+s。下列关于人数的判断中一定正确的是（）

A、去甲的高一学生多于去乙的高二学生 B、去甲的高一学生不多于去乙的高二学生 C、去乙的高一学生多于去甲的高二学生 D、以上都不能确定

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10. 平面内A，B两点固定，AB=4。点D在以A为圆心、半径1的圆上（AD=1），点C满足CD=3，BC= $\frac{5}{2}$ 。则cos∠ABC的取值范围为（）

A、 $[\frac{1}{4} ， \frac{3}{4}]$ B、 $[\frac{5}{16} ， \frac{73}{80}]$ C、 $[\frac{3}{8} ， \frac{5}{8}]$ D、 $[\frac{1}{2} ， \frac{9}{10}]$

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二、填空题（本题共5小题，每小题5分，共25分。）

11. 若直线ax+y=0与圆 ${(x - 2)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4$ 相切，则a=.

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12. 等差数列{a_n}的前n项和为S_n ，满足 $S_{6} = 6 a_{6} + 30,$ 且对任意n有 $S_{n} \leq S_{5},$ 则a₁的一个可能取值为

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13. 声压级y（单位：dB的某刻度）与频率f（Hz）满足 $y = l g (1 + \frac{f}{700}) 。$ 若lg2≤y<3lg2，则f的取值范围为

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14. 三棱锥A-BCD中， $A D = A B = A C = 2 \sqrt{2}, B D = B C = 2, D C = 2 \sqrt{3},$ 则其底面BCD的面积为，体积为.

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15. 设c∈R，函数 $f (x) = ∣ x^{2} - c o s x - c^{2} ∣ 。$ 给出下列四个论断：
①f（x）在（-1，1]上既有最小值又有最大值；
②当c=0时，f（x）=1有3个解；
③当c=1，x∈（1，2]时，f（x）有最大值；
④当c>0时，f（x）与y=c有4个交点。
其中正确论断的序号是.

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三、解答题（本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

16. 已知函数 $f (x) = 2 s i n ω x c o s + 2 c o s ω x s i n （ ω ＞ 0 ， 0 < φ < \frac{π}{2} ）$ ， f（x）的最小正周期为π，且 $f (\frac{π}{4}) = 1 。$

(1)、求ω，φ的值；

(2)、求f（x）的单调递减区间.

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17. 现从全校学生中随机抽取200人统计某项体能指标，数据按区间[81，94]、（94，107]、（107，120]、（12分组，频数依次为40，60，60，32，8。每个学生指标相互独立。

(1)、估计该指标不超过120的概率；

(2)、将指标≥120记为“偏高”，≤94记为“偏低”，其余为“正常”。用频率估计概率，从全体学生中独立随机抽取4人，求恰有2人“偏高”且2人“偏低”的概率；

(3)、若把每组数据分别用其区间的左端点、中点、右端点代表，所得三组数据的方差分别记为 $S_{左}^{2}, s_{中}^{2}, s_{右}^{2}$ ，试比较其大小并说明理由.

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18. 如图，直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ B A C = 9 0^{\circ}, A B = A C = 2, B B_{1} = \sqrt{2},$ E，D分别为A₁B₁ ， AC的中点。

(1)、求证：DE∥平面BB₁C₁C；

(2)、点P在平面A₁B₁C₁内，且. $E P ‖ B_{1} C_{1},$ ，再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，使得P唯一确定，求平面PAD与平面PDE的夹角的余弦值。
①PA=PD；②PA⊥BC；③BB₁∥平面PDE。
（注：如果选择条件①、条件②、条件③分别解答，按第一个解答计分。）.

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19. 已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 （ a ＞ b ＞ 0 ）$ 的一个顶点是（2，0），离心率为 $\frac{1}{2} 。$

(1)、求E的方程；

(2)、过点A（1，1）作斜率为k（k≠±1）的直线交E于B，C两点。设D为B关于直线y=x的对称点，直线DC交y=x于点Q。若 $∣ S_{△ A B Q} - S_{△ A C Q} ∣ = \frac{5}{8},$ 求k的值.

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20. 已知函数 $f (x) = x^{2} + m x - 4 e^{n x - 1},$ 其中 $n \in Z$ 。曲线y=f（x）在点（-1，f（-1））处的切线方程为 $4 x + e^{2} y + e^{2} + 8 = 0 。$

(1)、求m，n的值；

(2)、求证：f（x）有两个极值点；

(3)、当k>0时，讨论直线y=kx-1与曲线y=f（x）的公共点个数.

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21. 给定正整数m，n（m，n≥3），设 $A = (\begin{array}{l} a_{11} & a_{12} & ⋯ & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & ⋯ & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{m 1} & a_{m 2} & ⋯ & a_{m n} \end{array})$ 是一个m行n列的数表，其中 $a_{i j} \in \{- 1, 1\} (i \in$ {1，2，…，m}，j∈{1，2，…，n}）。若对任意行标k≠p、列标l≠q，当（ $(k - l) - (q - p) \in \{- 2, 2\}$ 时，都有 $a_{k l} + a_{k q} + a_{p l} + a_{p q} = 0,$ 则称数表A具有性质P。

(1)、判断下列两个数表是否具有性质 $P : A_{1} = (\begin{array}{l} 1 \\ - 1 \end{array} \begin{array}{l} \end{array} \begin{array}{l} 1 \\ 1 \end{array} \begin{array}{l} \end{array} \begin{array}{l} - 1 \\ - 1 \end{array} \begin{array}{l} \end{array} \begin{array}{l} 1 \\ 1 \end{array}), A_{2} = (\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ - 1 \end{array} \begin{array}{l} \end{array} \begin{array}{l} 1 \\ - 1 \\ 1 \end{array} \begin{array}{l} \end{array} \begin{array}{l} - 1 \\ 1 \\ - 1 \end{array} \begin{array}{l} \end{array} \begin{array}{l} - 1 \\ - 1 \\ 1 \end{array})$ .

(2)、在所有具有性质P的5×4数表中，1的个数最多是多少?

(3)、若 $m = n = 6, a_{11} = 1,$ 且数表A具有性质P，证明：对任意i， $j \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\},$ 都有 $a_{i j} = a_{i 1} \cdot a_{1 j} .$

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