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相关试卷

1、若数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n} a_{n + 1} + a_{n + 1} - a_{n} + 1 = 0$ ， $a_{1} = λ$ （ $λ \neq 0$ ，且 $λ \neq \pm 1$ ），记 $T_{n} = a_{1} a_{2} \cdot \cdot \cdot a_{n}$ ，则 $T_{2023} =$ （）

A、-1 B、 $\frac{1}{λ}$ C、 $\frac{1 - λ}{1 + λ}$ D、 $\frac{λ (λ - 1)}{1 + λ}$

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2、函数 $f (x)$ 的图象如图所示， $f^{'} (x)$ 为函数 $f (x)$ 的导函数，下列排序正确的是（）

A、 $f (a + 1) - f (a) ＜ f^{'} (a) ＜ f^{'} (a + 1)$ B、 $f^{'} (a + 1) ＜ f^{'} (a) ＜ f (a + 1) - f (a)$ C、 $f^{'} (a + 1) ＜ f (a + 1) - f (a) ＜ f^{'} (a)$ D、 $f^{'} (a) ＜ f (a + 1) - f (a) ＜ f^{'} (a + 1)$

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3、已知数列 $\{a_{n}\}$ 为等差数列，其前n项和为 $S_{n}$ ， $n \in N^{*}$ ，若 $S_{10} = 20$ ，则 $a_{5} + a_{6} =$ （）

A、0 B、2 C、4 D、8

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4、若 $f (x) = x^{3} + x - 1, f^{'} (x_{0}) = 4$ ，则 $x_{0}$ 的值为（）

A、 $\pm 3 \sqrt{3}$ B、 $\pm 1$ C、 $- 1$ D、1

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5、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前几项为： $- 1, 4, - 7, 10, \dots$ ，则该数列的一个通项公式可能为（）

A、 $a_{n} = {(- 1)}^{n - 1} (3 n - 2)$ B、 $a_{n} = {(- 1)}^{n} (3 n - 2)$ C、 $a_{n} = {(- 1)}^{n - 1} (3 n + 1)$ D、 $a_{n} = {(- 1)}^{n} (3 n + 1)$

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6、如图，我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛B与小岛A、小岛C的距离都为5 nmile，与小岛D的距离为 $3 \sqrt{5}$ nmile， $∠ B A D$ 为钝角，且 $\sin A = \frac{3}{5}$ .

(1)、求小岛A与小岛D之间的距离和四个小岛所围成的四边形的面积；

(2)、记 $∠ B D C$ 为 $α$ ， $∠ C B D$ 为 $β$ ，求 $\sin (2 α + β)$ 的值.

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7、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 1$ ， $| \vec{b} | = \frac{1}{2}$ .

(1)、若 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} - 2 \sqrt{2} \vec{b})$ ，求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角；

(2)、若对任意的实数 $λ$ ， $| \vec{a} + \vec{b} | \leq | \vec{a} + 2 λ \vec{b} |$ 恒成立，求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角.

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8、设三角形 $A B C$ 的三个内角A，B，C对边分别是a，b，c，已知 $a = \sqrt{7}$ ， $b^{2} + c^{2} - a^{2} + b c = 0$ .

(1)、求三角形 $A B C$ 外接圆半径；

(2)、若三角形 $A B C$ 的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，求 $b + c$ 的值.

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9、设复数 $z = a + b i (a, b \in R)$ ， $1 \leq | z | \leq 2$ ，则 $| z + 1 |$ 的取值范围是．

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10、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} - x^{2} - a x - 5 (x \leq 1) \\ \frac{a}{x} (x > 1) \end{array}$ 是R上的增函数，则实数a的取值范围是.

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11、已知 $△ A B C$ 三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若 $(\sqrt{3} c - 2 a \sin B) \sin C = \sqrt{3} (b \sin B - a \sin A)$ ，则下列选项正确的是（）

A、 $\cos A \cos C$ 的取值范围是 $(\frac{1}{2}, \frac{3}{4})$ B、若 $D$ 是 $A C$ 边上的一点，且 $\vec{C D} = 2 \vec{D A}$ ， $B D = 2$ ，则 $△ A B C$ 的面积的最大值为 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ C、若三角形是锐角三角形，则 $\frac{c}{a}$ 的取值范围是 $(\frac{1}{2}, 2)$ D、若三角形是锐角三角形， $B D$ 平分 $∠ A B C$ 交 $A C$ 于点 $D$ ，且 $B D = 1$ ，则 $4 a + c$ 的最小值为 $3 \sqrt{3}$

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12、已知向量 $\vec{a} = (1, \sqrt{3})$ ， $\vec{b} = (\cos θ, \sin θ) (0 \leq θ \leq π)$ ，则下列说法正确的是（）.

A、若 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则 $\tan θ = \sqrt{3}$ B、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ， $θ$ 的值为 $\frac{5 π}{6}$ C、 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 的取值范围为 $[- \sqrt{3}, 2]$ D、存在 $θ$ ，使得 $|\vec{a} - \vec{b}| = |\vec{a}| + |\vec{b}|$

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13、设 $z_{1}$ 、 $z_{2}$ 为复数，则下列说法正确的是（）

A、若 $z_{1}^{2} + z_{2}^{2} = 0$ ，则 $z_{1} = z_{2} = 0$ B、 $|z_{1} z_{2}| = |z_{1}| \cdot |z_{2}|$ C、 $\bar{z_{1} \pm z_{2}} = \bar{z_{1}} \pm \bar{z_{2}}$ D、若 $|z_{1}| = |z_{2}|$ ，则 $z_{1} = \pm z_{2}$

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14、在直角 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90^{\circ}, |\vec{A B} |= \frac{1}{t},| \vec{A C}| = t$ ，若点 $P$ 是 $△ A B C$ 所在平面内一点，且 $\vec{A P} = \frac{\vec{A B}}{2 |\vec{A B}|} + \frac{\vec{A C}}{4 |\vec{A C}|}$ ，则当 $\vec{P B} \cdot \vec{P C}$ 取到最大值时， $t =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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15、已知O为 $△ A B C$ 内一点，若分别满足① $|\overset{⃑}{O A}| = |\overset{⃑}{O B}| = |\overset{⃑}{O C}|$ ；② $\overset{⃑}{O A} \cdot \overset{⃑}{O B} = \overset{⃑}{O B} \cdot \overset{⃑}{O C} = \overset{⃑}{O C} \cdot \overset{⃑}{O A}$ ；③ $\overset{⃑}{O A} + \overset{⃑}{O B} + \overset{⃑}{O C} = \overset{⃑}{0}$ ；④ $a \overset{⃑}{O A} + b \overset{⃑}{O B} + c \overset{⃑}{O C} = \overset{⃑}{0}$ (其中 $a, b, c$ 为 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边).则O依次是 $△ A B C$ 的

A、内心、重心、垂心、外心 B、外心、垂心、重心、内心 C、外心、内心、重心、垂心 D、内心、垂心、外心、重心

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16、已知 $z = \frac{4 - 3 i}{2 - i}$ ，则 $|z| =$ （）

A、 $\sqrt{5}$ B、5 C、 $2 \sqrt{5}$ D、 $\sqrt{10}$

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17、如图，正四棱锥 $P - A B C D$ 的底面边长和高均为 $2, E, F$ 分别是 $P D$ 和 $P B$ 的中点．

(1)、证明： $E F ⊥ P C$ ；

(2)、若点 $M$ 满足 $\vec{P M} = λ \vec{P C}$ ，且点 $M$ 在平面 $A E F$ 内，求 $λ$ 的值；

(3)、求直线 $P B$ 与平面 $A E F$ 所成角的正弦值．

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18、我们知道，当一束光线照到镜面时，光线会依一定的规律反射，即反射角等于入射角（如图所示）．依据此物理定律，解决以下问题．
已知抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ ，其焦点为 $F$ ，直线 $l : y = k x + 2$ 与抛物线 $C$ 相切于点 $P$ ．

(1)、求直线 $l$ 的方程；

(2)、从点 $F$ 发出的光线经过抛物线上的点 $P$ 反射，证明：反射光线平行于抛物线的对称轴．

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19、设数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} + 3 a_{2} + \dots + (2 n - 1) a_{n} = n$ ．

(1)、证明：数列 $\{\frac{1}{a_{n}}\}$ 为等差数列；

(2)、求数列 $\{\frac{a_{n}}{2 n + 1}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

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20、传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的1，3，6，10称为三角形数，第二行的1，4，9，16称为正方形数，第三行的1，5，12，22称为五边形数，则正方形数所构成的数列的第5项是，五边形数所构成的数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式为．

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