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相关试卷

1、已知等差数列 $\{a_{n}\} (n \in N^{*})$ 的首项为 $a_{1}$ ，公差为 $\sqrt{2}$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 满足： $n b_{n} = S_{n}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $\forall a_{1} \in R$ ，数列 $\{S_{n}\}$ 为递增数列 B、 $\exists a_{1} \in R$ ，使得数列 $\{b_{n}\}$ 为递减数列 C、 $\exists a_{1} \in R$ 及正整数 $p, q, r (1 < p < q < r)$ ，使得 $a_{p}, a_{q}, a_{r}$ 成等比数列 D、 $\forall a_{1} \in (- 1, + \infty)$ ，数列 $\{a_{n} \cdot b_{n}\}$ 的最小项为 $a_{1} \cdot b_{1}$

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2、在四面体 $O A B C$ 中， $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = \vec{O A} \cdot \vec{O C} = \vec{O B} \cdot \vec{O C} = 0, |\vec{O A}| = |\vec{O C}| = 2$ ，若直线 $O C$ 与平面 $A B C$ 所成角为 $30^{\circ}$ ，则 $|\vec{O B}| =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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3、台州学子黄雨婷夺得巴黎奥运会10米气步枪比赛1金1银两块奖牌后，10米气步枪射击项目引起了大家的关注.在10米气步枪比赛中，瞄准目标并不是直接用眼睛对准靶心，而是通过觇孔式瞄具来实现.这种瞄具有前后两个觇孔（觇孔的中心分别记为点 $A, B$ ），运动员需要确保靶纸上的黑色圆心（记为点 $C$ ）与这两个觇孔的中心对齐，以达到三圆同心的状态.若某次射击达到三圆同心，且点 $A (0, \frac{3}{2})$ ，点 $B (\frac{4}{5}, \frac{89}{50})$ ，则点 $C$ 的坐标为（）

A、 $(10, \frac{9}{2})$ B、 $(10, 5)$ C、 $(10, \frac{11}{2})$ D、 $(10, 6)$

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4、设等比数列 $\{a_{n}\} (n \in N^{*})$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $\frac{S_{3}}{a_{2}} = 3$ ，则 $\frac{S_{4}}{a_{3}}$ 的值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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5、已知椭圆的标准方程为 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ ，下列说法正确的是（）

A、椭圆的长轴长为2 B、椭圆的焦点坐标为 $(\sqrt{7}, 0), (- \sqrt{7}, 0)$ C、椭圆关于直线 $y = x$ 对称 D、当点 $(x_{0}, y_{0})$ 在椭圆上时， $|y_{0}| \leq \sqrt{3}$

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6、已知直线 $l$ 的一般式方程为 $x - 2 y + 6 = 0$ ，则（）

A、直线 $l$ 的截距式方程为 $\frac{x}{- 6} + \frac{y}{3} = 1$ B、直线 $l$ 的截距式方程为 $\frac{x}{6} - \frac{y}{3} = 1$ C、直线 $l$ 的斜截式方程为 $y = - \frac{1}{2} x + 3$ D、直线 $l$ 的斜截式方程为 $y = \frac{1}{2} x - 3$

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7、在空间直角坐标系 $O x y z$ 中，点 $A (1, 2, 3)$ 在坐标平面 $x O y$ 内射影的坐标为（）

A、 $(0, 1, 2)$ B、 $(1, 0, 3)$ C、 $(1, 2, 0)$ D、 $(0, 0, 0)$

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8、传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数.他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的 $1, 3, 6, 10$ 称为三角形数，第二行的 $1, 4, 9, 16$ 称为正方形数.则根据以上规律，可推导出五边形数所构成的数列的第5项为（）

A、22 B、26 C、35 D、51

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9、如图，在三棱锥 $O - A B C$ 中， $\vec{O A} = \vec{a}, \vec{O B} = \vec{b}, \vec{O C} = \vec{c}$ ．若点 $M, N$ 分别在棱 $O A, B C$ 上，且 $\vec{O M} + 3 \vec{A M} = 2 \vec{B N} + \vec{C N} = \vec{0}$ ，则 $\vec{M N} =$ （）

A、 $- \frac{3}{4} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b} - \frac{1}{3} \vec{c}$ B、 $\frac{3}{4} \vec{a} - \frac{2}{3} \vec{b} - \frac{1}{3} \vec{c}$ C、 $- \frac{3}{4} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b} + \frac{1}{3} \vec{c}$ D、 $\frac{3}{4} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b} + \frac{1}{3} \vec{c}$

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10、函数 $f (x) = \sqrt{x} + \frac{1}{x}$ 的定义域为．

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11、已知函数 $f (x) = A sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, 0 < φ < π)$ ，若 $f (x)$ 及其导函数 $f^{'} (x)$ 的部分图象如图所示，则（）

A、 $f (x + π) = f (x)$ B、函数 $f (x)$ 在 $(\frac{π}{12}, \frac{7 π}{12})$ 上单调递减 C、 $f^{'} (x)$ 的图象关于点 $(- \frac{π}{6}, 0)$ 中心对称 D、 $f (x) + f^{'} (x)$ 的最大值为 $\frac{5}{2}$

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12、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} > a_{n}$ ， ${(a_{n} - a_{n - 1})}^{2} = 2 (a_{n} + a_{n - 1}) - 1$ ， $n \geq 2$ .

(1)、求证： $\{a_{n + 1} - a_{n}\}$ 是等差数列；

(2)、记 $b_{n} = \frac{2 n + 1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项和.

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13、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{n + 1} = 2 S_{n} + 2 (n \in N^{*})$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式.

(2)、若 $b_{n} = n - \frac{1}{2}$ ，令 $c_{n} = a_{n} b_{n}$ ，求数列 $\{c_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$

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14、已知曲线 $f (x) = x^{3} + 1$ ，设 $P$ 点坐标为 $P (1, 2)$ ，

(1)、求曲线在点 $P$ 处的切线方程；

(2)、求曲线过点 $P$ 的切线方程．

(3)、若曲线在点 $R$ 处的切线与曲线 $y = - x^{2} + 1$ 相切，求 $R$ 点的坐标

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15、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 中的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{2}, a_{5}, a_{14}$ 成等比数列， $S_{5} = 25$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若数列 $\{a_{n}\}$ 为递增数列，记 $b_{n} = {(- 1)}^{n} S_{n}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前40项的和 $T_{40}$ .

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16、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 11$ ， $a_{4} + a_{7} = 4$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、当 $n$ 为何值时，数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和取得最大值？

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17、古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类，如图，第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数构成数列 $\{a_{n}\}$ ，正方形数构成数列 $\{b_{n}\}$ ，则 $a_{10} =$ ； $\sum_{i = 1}^{10} \frac{1}{b_{i + 1} - a_{i + 1}} =$ .

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18、在数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 2$ ， $a_{n + 1} = a_{n} + \ln (1 + \frac{1}{n})$ ，则 $a_{5} =$ .

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19、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{5} = 3, S_{10} = 9$ ，则 $S_{15} =$ .

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20、已知公差不为 $0$ 的等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $\forall n \in N^{*}$ ， $S_{n} \geq S_{3}$ ，则 $\frac{a_{6}}{a_{5}}$ 的取值可能是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{5}{3}$ D、 $\frac{9}{4}$

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