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相关试卷

1、已知 $F$ 是椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点，直线 $y = \frac{4}{3} x$ 交 $C$ 于 $A$ ， $B$ 两点，若 $A F ⊥ B F$ ，则椭圆 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$

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2、若圆 $x^{2} + y^{2} - 2 a x - 2 y - 1 = 0$ 关于直线 $x + b y - 2 = 0$ 对称，其中 $a > 0$ ， $b > 0$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{4 a + 1}{b}$ 的最小值为（）

A、2 B、 $\frac{5}{2}$ C、4 D、 $2 + 2 \sqrt{5}$

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3、已知函数 $f (x) = sin ω x - \sqrt{3} cos ω x + \sqrt{3} (ω > 0)$ 在区间 $[0, \frac{π}{2}]$ 上有且仅有3个零点，则实数 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{14}{3}, \frac{20}{3})$ B、 $[4, \frac{16}{3})$ C、 $[4, \frac{22}{3}]$ D、 $[4, \frac{22}{3})$

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4、已知 $\{a_{n}\}$ 为等比数列，且 $a_{1} = 1$ ，则“ $a_{5} = 2$ ”是“ $a_{9} = 4$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5、若函数 $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x^{2} - a x}$ 在 $[1, + \infty)$ 上单调递减，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $a \leq 2$ B、 $a \geq 2$ C、 $a \leq 1$ D、 $a \geq 1$

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6、已知圆锥的体积为 $\frac{2 \sqrt{2} π}{3}$ ，其侧面展开图是一个圆心角为 $\frac{2 π}{3}$ 的扇形，则该圆锥的底面半径为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、2

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7、已知 $1 - 2 i$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} + a x + b = 0 (a, b \in R)$ 的一个根，则 $|a + b i| =$ （）

A、2 B、3 C、5 D、 $\sqrt{29}$

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8、已知集合 $A = \{x ∣ x^{2} - x - 2 > 0\}$ ， $B = \{x ∣ y = lg (x - 1)\}$ ，则 $(∁_{R} A) \cap B =$ （）

A、 $[- 1, 1)$ B、 $(1, 2)$ C、 $(1, 2]$ D、 $[- 1, + \infty)$

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9、已知函数 $f (x) = - x ln x + 2 x + 1$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间以及极值；

(2)、求函数 $f (x)$ 在 $[1, e^{2}]$ 上的最小值.

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10、已知函数 $f (x) = 2 ln x - (a + 1) x^{2} - 2 a x + 1$ ， $a \in R$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求函数 $f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、已知函数 $f (x)$ 有两个零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，
①求实数 $a$ 的取值范围；
②证明： $x_{1} + x_{2} > \frac{2}{a + 1}$ ．

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11、已知函数 $f (x) = x^{2} + a \ln x - (a + 2) x$ ， $g (x) = x \ln x - x - a + 1$ ， $a \in R$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x) + 1 \geq g (x) + a \ln x$ 对任意 $x \geq 1$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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12、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $3 a_{n} = 2 S_{n} + 2 n (n \in N^{*})$ ．

(1)、证明：数列 $\{a_{n} + 1\}$ 为等比数列，并求数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ；

(2)、设 $b_{n} = {log}_{3} (a_{2 n + 1} + 1)$ ，求数列 $\{\frac{b_{n}}{a_{n} + 1}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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13、已知 ${(a x^{2} + \frac{1}{x})}^{n}$ 的展开式中所有项的二项式系数和为 $128$ ，各项系数和为 $- 1$ ．

(1)、求 $n$ 和 $a$ 的值及展开式中 $x^{- 4}$ 项的系数；

(2)、求 $(2 x - \frac{1}{x^{2}}) {(a x^{2} + \frac{1}{x})}^{n}$ 的展开式中的常数项．

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14、已知函数 $f (x) = ln x + \frac{a}{x} (a \in R)$ 在区间 $[e^{- 2}, + \infty)$ 上有两个零点，则 $a$ 的取值范围是．

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15、若直线 $y = 2 x + b$ 与函数 $f (x) = e^{x} + x - a$ 的图象相切，则 $a + b =$ .

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16、数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n + 1} = 3 a_{n} + 3^{n + 1} (n \in N^{*})$ ，首项为 $a_{1} = 3$ ，则数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式 $a_{n} =$ ．

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17、在直角坐标系内，由 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 四点所确定的“ $N$ 型函数”指的是三次函数 $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d (a \neq 0)$ ，其图象过 $A$ ， $D$ 两点，且 $f (x)$ 的图像在点 $A$ 处的切线经过点 $B$ ，在点 $D$ 处的切线经过点 $C$ .若将由 $A (0, 0)$ ， $B (1, 4)$ ， $C (3, 2)$ ， $D (4, 0)$ 四点所确定的“ $N$ 型函数”记为 $y = f (x)$ ，则下列选项正确的是（）

A、曲线 $y = f (x)$ 在点 $D$ 处的切线方程为 $y = - 2 x + 8$ B、 $f (x) = \frac{1}{8} x (x - 4) (x - 8)$ C、曲线 $y = f (x)$ 关于点 $(4, 0)$ 对称 D、当 $4 \leq x \leq 6$ 时， $f (x) \geq 0$

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18、现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，则以下说法正确的是（）

A、若每人都安排一项工作，则不同的方法数为 $4^{5}$ B、若每项工作至少有1人参加，则不同的方法数为 $A_{5}^{4} C_{4}^{1}$ C、每项工作至少有1人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是 $C_{3}^{1} C_{4}^{2} A_{3}^{3} + C_{3}^{2} A_{3}^{3}$ D、如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为 $(C_{5}^{3} C_{2}^{1} + C_{5}^{2} C_{3}^{2}) A_{3}^{3}$

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19、若 ${(2 x - 1)}^{10} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{10} x^{10}$ ， $x \in R$ ，则（）

A、 $a_{2} = 180$ B、 $|a_{0}| + |a_{1}| + |a_{2}| + \dots + |a_{10}| = 3^{10}$ C、 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{10} = 1$ D、 $\frac{a_{1}}{2} + \frac{a_{2}}{2^{2}} + \frac{a_{3}}{2^{3}} + \dots + \frac{a_{10}}{2^{10}} = - 1$

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20、从5，6，7，8，9中任取两个不同的数，事件 $A =$ “取到的两个数之和为偶数”，事件 $B =$ “取到的两个数均为偶数”，则 $P (B ∣ A) =$ （）

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{8}$

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