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相关试卷

1、一个正四棱台的上底面边长为1，下底面边长为2，若一个球与该正四棱台的各面均相切，则该球的体积为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{6} π$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{3} π$ C、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3} π$ D、 $2 π$

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2、在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，P为棱 $A A_{1}$ 的中点，则点B到直线 $C_{1} P$ 的距离为（）

A、2 B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{2}$ D、1

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3、已知向量 $\vec{a} = (x, - 1)$ ， $\vec{b} = (- 2, 3)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $x =$ （）

A、 $- \frac{2}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $- \frac{3}{2}$ D、 $\frac{3}{2}$

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4、过圆O： $x^{2} + y^{2} = 1$ 外的点 $P (3, 2)$ 作O的一条切线，切点为M，则 $|M P| =$ （）

A、2 B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{13}$ D、4

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5、已知函数 $f (x)$ 是定义域为 $R$ 的奇函数，当 $x \leq 0$ 时， $f (x) = x^{2} + 2 x$ .

(1)、求出函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、画出函数 $f (x)$ 的图象，并写出函数的单调区间；

(3)、根据图象写出使 $f (x) < 0$ 的x的取值集合.

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6、已知集合 $A = \{x |x \geq 3\}, B = \{x |1 \leq x \leq 7\}, C = \{x |x \geq a - 1\}$ .

(1)、求 $A \cap B, A \cup B$

(2)、 $∁_{R} (A \cup B), (∁_{R} A) \cap B$ ；

(3)、若 $C \cup A = A$ ，求实数a的取值范围.

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7、若函数 $y = x^{2} - 4 x - 3$ 的定义域为 $[0, a]$ ，值域为 $[- 7, - 3]$ ，则a的值可能为（）

A、1 B、2 C、4 D、5

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8、若正实数a，b满足 $a + 2 b = 1$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $\frac{1}{a} + \frac{2}{b}$ 有最小值9 B、 $a b$ 有最大值 $\frac{1}{8}$ C、 $a b$ 有最大值 $\frac{1}{4}$ D、 $a^{2} + 4 b^{2}$ 有最小值 $\frac{1}{2}$

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9、设 $a \in R$ ，则“ $2 < a < 3$ ”是“ $(a + 1) (a - 6) < 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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10、已知椭圆 $C$ 经过点 $(1, \frac{\sqrt{3}}{2})$ ，两个焦点为 $F_{1} (- \sqrt{3}, 0)$ 和 $F_{2} (\sqrt{3}, 0)$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、直线 $l$ 过点 $P (- 3, 0)$ 且与椭圆 $C$ 相交于 $M (x_{1}, y_{1})$ 、 $N (x_{2}, y_{2})$ 两点， $0 < y_{1} < y_{2}$ ，点 $M_{1}$ 与 $M$ 关于 $y$ 轴对称，点 $N_{1}$ 与 $N$ 关于 $x$ 轴对称，设直线 $l$ 的斜率为 $k$ ，直线 $M_{1} N_{1}$ 的斜率为 $k_{1}$ .
（i）求证： $k k_{1}$ 为定值，并求出这个定值；
（ii）若 $|M N| = |M_{1} N_{1}|$ ，求直线 $l$ 的方程.

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11、设函数 $f (x) = \frac{a x}{e^{x}} + b$ ，曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线方程为 $y = x$ .

(1)、求 $a ， b$ 的值；

(2)、若 $g (x) = f (x) - m$ 在定义域内恰有2个零点，求 $m$ 的取值范围；

(3)、记点 $O (0, 0)$ ，当 $t > 0$ 时，曲线 $y = f (x)$ 在点 $A (t, f (t))$ 处的切线与 $y$ 轴交于点 $B$ ，求三角形 $A O B$ 面积 $S (t)$ 的最大值.

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12、在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为2的正方形， $P A = P D$ ，直线 $P A$ 与 $B C$ 所成的角的余弦值等于 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ ， $P B = 3$ ，点 $M$ 为线段 $P B$ 上的动点， $N$ 是 $P C$ 的中点.

(1)、若直线 $A M$ 和 $D N$ 相交，求证： $M N / / B C$ ；

(2)、求证：平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(3)、当三棱锥 $A - B M D$ 的体积最大值时，求此时三棱锥 $A - B M D$ 外接球的体积.

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13、某学校号召学生参加“每天锻炼1小时”活动，为了解学生参加活动的情况，统计了全校所有学生在假期每周锻炼的时间，现随机抽取了60名同学在某一周参加锻炼的数据，整理如下 $2 \times 2$ 列联表：
性别
不经常锻炼
经常锻炼
合计
男生
7
女生
16
30
合计
21
注：将一周参加锻炼时间不小于3小时的称为“经常锻炼”，其余的称为“不经常锻炼”.

(1)、请完成上面 $2 \times 2$ 列联表，并依据小概率值 $α = 0.1$ 的独立性检验，能否认为性别因素与学生锻炼的经常性有关系；（计算结果精确到小数点后三位）

(2)、将频率视为概率，从学校不经常锻炼的学生中抽取4人，设抽取的4人中男生人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望.
附： $X^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$
$α$
0.1
0.05
0.01
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635

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14、已知定义在实数集 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 1) = \frac{1}{2} + \sqrt{f (x) - f^{2} (x)}$ ，则 $f (0) + f (2025)$ 的取值范围为．

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15、抛物线C： $y^{2} = 8 x$ 的焦点为F，准线为l，M是C上的一点，点N在l上，若 $F M ⊥ F N$ ，且 $|M F| = 10$ ，则 $|N F| =$ .

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16、已知函数 $f (x) = x^{3} + b x^{2} + c x$ 的图象如图所示，则 $x_{1} \cdot x_{2} =$ .

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17、已知函数 $f (x) = \frac{\sin 2 x}{1 + 2 \cos^{2} x}$ ，则下列说法中正确的是（）

A、 $f (x + π) = f (x)$ B、 $f (x)$ 的最大值是 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $f (x)$ 在 $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ 上单调递增 D、若函数 $f (x)$ 在区间 $[0, a)$ 上恰有 $2022$ 个极大值点，则 $a$ 的取值范围为 $(\frac{6064}{3} π, \frac{6067}{3} π]$

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18、下列选项中，正确的命题是（）

A、已知随机变量 $X ~ B (n ， p)$ ，若 $E (X) = 30$ ， $D (X) = 20$ ，则 $p = \frac{1}{3}$ B、 ${(\frac{1}{2} x - 2 y)}^{5}$ 的展开式中 $x^{2} y^{3}$ 的系数为10. C、用 $χ^{2}$ 独立性检验进行检验时， $χ^{2}$ 的值越大，说明有更大的把握认为两事件有关系. D、样本相关系数 $|r|$ 越接近1，成对样本数据的线性相关程度越强.

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19、已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $b \cos C + \sqrt{3} b \sin C = a + c$ ，则 $B =$ （）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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20、已知 $y$ 关于 $x$ 的函数图象如图所示，则实数 $x, y$ 满足的关系式可以为（）

A、 $|x - 1| - \log_{3} \frac{1}{y} = 0$ B、 $2^{x} - 1 = \frac{x^{3}}{y}$ C、 $2^{|x - 1|} - y = 0$ D、 $\ln |x| = y - 1$

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性别	不经常锻炼	经常锻炼	合计
男生	7
女生		16	30
合计	21

$α$	0.1	0.05	0.01
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635