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1、如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $P$ 为 $B C$ 的中点，点 $Q$ 为四边形 $C C_{1} D_{1} D$ 及其内部的动点， $P Q / /$ 平面 $B B_{1} D_{1} D$ .则 $P Q$ 与平面 $A B C D$ 所成角正切值的范围（）

A、 $[0, \frac{\sqrt{3}}{3}]$ B、 $[0, \frac{\sqrt{2}}{2}]$ C、 $[0, \frac{\sqrt{6}}{3}]$ D、 $[0, \sqrt{2}]$

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2、如图，在 $△ A B C$ 中， $C = \frac{π}{4}$ ， $A D ⊥ B C$ 于 $D$ ， $A D = 2$ ， $B C = 6$ ，则 $\vec{A B}$ 在 $\vec{A C}$ 上的投影向量为（）

A、 $- \frac{1}{2} \vec{A C}$ B、 $- \frac{1}{5} \vec{A C}$ C、 $\frac{1}{5} \vec{A C}$ D、 $\frac{1}{2} \vec{A C}$

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3、已知 $△ A B C$ 中， $\vec{A B} = (2, \sqrt{2})$ ， $\vec{A C} = (4, - 2 \sqrt{2})$ ，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、 $4$ B、 $4 \sqrt{2}$ C、 $8 \sqrt{2}$ D、 $12$

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4、如图，已知圆锥 $S O$ 的轴截面 $S A B$ 是边长为4的正三角形，则该圆锥的侧面积为（）

A、 $16 π$ B、 $8 π$ C、 $4 \sqrt{3} π$ D、 $4 π$

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5、设 $α$ ， $β$ 为不同的平面，m，n为不同的直线，则下列说法中正确的是（）

A、若 $m / / α$ ， $n \subset α$ ，则 $m / / n$ B、若 $m / / n$ ， $n \subset α$ ，则 $m / / α$ C、若 $m / / α$ ， $n ⊥ α$ ，则 $m ⊥ n$ D、若 $α ⊥ β$ ， $α \cap β = n$ ， $m ⊥ n$ ，则 $m ⊥ β$

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6、已知 $α \in (\frac{π}{2}, π)$ ， $cos (\frac{π}{2} - α) = \frac{3}{5}$ ，则 $cos (π - α) =$ （）

A、 $- \frac{4}{5}$ B、 $- \frac{3}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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7、已知平面向量 $\vec{a} = (- 2, 1)$ ， $\vec{b} = (2, x + 2)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $x =$ （）

A、 $- 3$ B、 $- 2$ C、2 D、3

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8、设 $i$ 为虚数单位，复数 $z = i (2 - i)$ ，则 $z$ 在复平面内对应的点在第（）象限.

A、一 B、二 C、三 D、四

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9、已知向量 $|\vec{a}| = 2$ ， $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量为 $- 2 \vec{a}$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ （）

A、 $- 8$ B、8 C、4 D、 $- 4$

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10、已知 $\vec{a} = (2, - 3)$ ， $\vec{b} = (1, - 2)$ ，且 $\vec{c} ⊥ \vec{a}$ ， $\vec{b} \cdot \vec{c} = 1$ ，则 $\overset{⃑}{c}$ 的坐标为（）

A、 $(3, - 2)$ B、 $(3, 2)$ C、 $(- 3, - 2)$ D、 $(- 3, 2)$

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11、在正三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = 2 A_{1} B_{1}$ ， $P$ ， $Q$ 分别是 $A B$ ， $A C$ 的中点．

(1)、求证：四边形 $B_{1} P Q C_{1}$ 是矩形；

(2)、若 $A_{1} B_{1} = A_{1} A$ ，求直线 $A C$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 所成角的正弦值；

(3)、若一只电子猫从点 $A$ 出发，每次等可能地沿着棱去向相邻的另一个顶点，设在 $n (n \in N^{*})$ 次运动后电子猫仍停留在下底面 $A B C$ 的概率为 $p_{n}$ ，求 $p_{n}$ .

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12、设有限集合 $U = \{a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots, a_{m}\}$ ，其中 $m \geq 4$ ， $m \in N^{*}$ ，非空集合 $M \subseteq U$ ， $\bar{M} = C_{U} M$ ，若存在集合 $M$ ，使得 $M$ ， $\bar{M}$ 中的所有元素之和相等，则称集合 $U$ 是“可拆等和集”，则（）

A、集合 $U = \{1, 2, 4, \dots, 2^{2025}\}$ 不是“可拆等和集” B、若集合 $U = \{- 1, 2, 5, k\}$ 是“可拆等和集”，则 $k$ 的取值共有6个 C、存在公比为正整数，且公比不为1的等比数列 $\{a_{n}\}$ ，使得集合 $U$ 是“可拆等和集” D、若 $m = 4 k + 3$ ， $k \in N^{*}$ ，数列 $\{a_{n}\}$ 是等差数列且公差 $d = a_{1}$ ，则集合 $U$ 是“可拆等和集”

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13、已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数， $f^{'} (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数， $f (x) + f^{'} (x) = 2 e^{x}$ ，若 $k [f (x) - e^{x}] \leq x$ 在 $R$ 上恒成立，则实数 $k$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, - \frac{1}{e}]$ B、 $[- \frac{1}{e}, 0)$ C、 $(- \infty, - 1]$ D、 $[- 1, 0)$

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14、有3个男生和2个女生站成一排合影，则女生甲不在两端且2个女生不相邻的不同排法总数为（）

A、18 B、36 C、72 D、144

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15、已知直线l与平面 $α$ 相交于点P，则（）

A、 $α$ 内不存在直线与l平行 B、 $α$ 内有无数条直线与l垂直 C、 $α$ 内所有直线与l是异面直线 D、至少存在一个过l且与 $α$ 垂直的平面

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16、已知 $f (x) = \{\begin{cases} 2 x - 1, x \geq 0 \\ x^{2} + 1, x < 0 \end{cases}$ ，则 $f (- 1) =$ .

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17、已知 $a > 0$ ，则 $a + \frac{16}{a}$ 的最小值为（）

A、1 B、4 C、8 D、16

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18、如图1，在 $△ A B C$ 中， $A B = B C = 2$ ， $A C = 2 \sqrt{2}$ ，点 $D$ ， $E$ 分别为边 $A B$ ， $A C$ 的中点，将 $△ A D E$ 沿着 $D E$ 折起，使得点 $A$ 到达点 $P$ 的位置，如图2，且二面角 $P - D E - C$ 的大小为 $60^{\circ}$ ．

(1)、求证：平面 $P B C ⊥$ 平面 $P B D$ ；

(2)、求点 $E$ 到平面 $P D C$ 的距离；

(3)、在棱 $P E$ 上是否存在点 $G$ ，使得 $B G$ 与平面 $P D E$ 所成角的正弦值为 $\frac{3 \sqrt{6}}{8}$ ？若存在，求 $P G$ 的长；若不存在，请说明理由．

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19、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c.已知 $(2 a \cos C + 2 c \cos A) \cos A = b$ .

(1)、求角A；

(2)、若 $a = 2$ ， $\vec{A C} \cdot \vec{A B} = 2$ ，求 $△ A B C$ 的周长；

(3)、如图， $∠ B A C$ 的平分线 $A D$ 交 $B C$ 于点 $D$ ， $A D = 2$ ，求 $\frac{1}{B D} + \frac{1}{C D}$ 的取值范围.

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20、已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, - π < φ < π)$ 的部分图象如图所示.

(1)、求 $f (x)$ 的解析式及单调递增区间；

(2)、将函数 $y = f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{5 π}{12}$ 个单位长度后得到函数 $y = g (x)$ 图象，若不等式 $g (x) - m \leq 4$ 对任意 $x \in [0, \frac{π}{4}]$ 成立，求m的取值范围.

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