广东深圳市盐田高级中学2026届高三下学期考前学情自测数学试卷

试卷更新日期：2026-05-28 类型：高考模拟

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一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 设集合 $A = \{- 1, 0, 1, 2, 3\}, B = \{x ∣ x \leq \sqrt{3}\}$ ，则 $A \cap B =$ （　　）

A、 $\{- 1, 0, 1, 2, 3\}$ B、 $\{- 1, 0, 1, 2\}$ C、 $\{- 1, 0, 1\}$ D、 $\{0, 1\}$

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2. 复数 $\frac{i}{2 + i}$ 的共轭复数为（）

A、 $\frac{1 + 2 i}{5}$ B、 $\frac{1 - 2 i}{5}$ C、 $1 + 2 i$ D、 $1 - 2 i$

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3. 已知实数x，y，则“ $x > y$ ”是“ ${(x + 1)}^{3} > {(y + 1)}^{3}$ ”的（）

A、必要不充分条件 B、充分不必要条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 已知实数 $x, y$ 满足方程 $\sqrt{1 - {(y - 1)}^{2}} = x - 1$ ，则 $\frac{y + 2}{x}$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{4}{3}, 4]$ B、 $[\frac{4}{3}, 2]$ C、 $[\frac{4}{3}, + \infty)$ D、 $[2, 4]$

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5. 折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史.如图所示的某折扇扇面可视为一个圆台的侧面展开图，该扇面的面积为 $150 π$ ，若该圆台上、下底面半径分别为5，10，则该圆台的体积为（）

A、 $\frac{35 \sqrt{3} π}{3}$ B、 $\frac{175 \sqrt{3} π}{3}$ C、 $\frac{875 \sqrt{3} π}{3}$ D、 $875 \sqrt{3} π$

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6. 已知某班级参与定点投篮比赛的学生共有20名，进球数的平均值和方差分别是4和3.6，其中男生进球数的平均值和方差分别是5和1.8，女生进球数的平均值为3，则女生进球数的方差为（）

A、3.2 B、3.4 C、3.6 D、3.8

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7. 已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $\vec{a} = (cos θ,sin θ)$ ， $|\vec{b}| = 1$ ，且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $60^{\circ}$ ，则 $|\vec{a} + 2 \vec{b}|$ 为（）

A、 $\sqrt{7}$ B、 $\sqrt{21}$ C、7 D、21

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8. 已知函数 $f (x) = (2 x - m) \ln x, g (x) = 2 n x - m n$ ，若 $f (x) \geq g (x)$ 恒成立，则 $\frac{m}{n}$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, - \frac{1}{e}) \cup [e + 1, + \infty)$ B、 $(- \infty, - \frac{1}{e}) \cup [2 e, + \infty)$ C、 $(- \infty, 0) \cup [e + 1, + \infty)$ D、 $(- \infty, 0) \cup [2 e, + \infty)$

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二、多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）

9. 若 $α \in (0, π)$ ， $sin α - cos α = \frac{1}{5}$ ，则（）

A、 $tan α = \frac{4}{3}$ B、 $sin 2 α = \frac{12}{25}$ C、 $sin α + cos α = \frac{7}{5}$ D、 $cos 2 α = - \frac{7}{25}$

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10. 如图，阴影部分是由顶点在原点、焦点在坐标轴上的四条抛物线所围成的封闭图形，因其形似四叶草，故其阴影边界曲线E称为四叶草曲线，记抛物线在每个象限内的交点分别为A，B，C，D．已知这四条抛物线的焦点共圆，若开口向右的抛物线方程为 $y^{2} = 4 x$ ，过点 $F (1, 0)$ 作直线l与曲线E在第一、四象限内共相交于四个点，分别记最下方和最上方的交点为P，Q，且 $\vec{Q F} = 3 \vec{F P}$ ，则（）

A、开口向下的抛物线的焦点坐标为 $(0, - \frac{1}{2})$ B、曲线E上两点间距离的最大值为 $8 \sqrt{2}$ C、点 $(3, 3)$ 不在曲线E的内部 D、直线l的斜率为 $\sqrt{3}$

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11. 正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 2$ ， $A A_{1} = 1$ ，点 $P$ 为侧面 $A B B_{1} A_{1}$ 内一点，则（）

A、若直线 $D P$ 与直线 $B C$ 所成角为 $\frac{π}{4}$ ，则点 $P$ 的轨迹为双曲线的一部分 B、若直线 $D P$ 与直线 $B_{1} D_{1}$ 所成角为 $\frac{π}{6}$ ，则点 $P$ 的轨迹为椭圆的一部分 C、若点 $P$ 到直线 $A D$ 的距离等于到直线 $A_{1} B_{1}$ 的距离，则点 $P$ 的轨迹为抛物线的一部分 D、若 $P D = 2 P A$ ，则点 $P$ 的轨迹长度为 $\frac{2 \sqrt{3} π}{9}$

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三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）

12. $(1 + \frac{1}{x^{3}}) {(1 + x)}^{7}$ 展开式中 $x^{2}$ 项的系数为.

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13. 已知函数 $f (x) = a \tan 401 x - b \sin \sqrt[3]{x} + c x + 2026$ ，且 $f (1) = 2024$ ，则 $f (- 1) =$ ．

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14. 在锐角 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c, △ A B C$ 的面积为 $S$ ，满足 $2 S = a^{2} - {(b - c)}^{2}$ ，若 $a^{2} + b^{2} = \sqrt{2} t S$ ，则 $t$ 的最小值为．

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四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15. 甲､乙两名同学进行射击比赛，已知同学甲每次击中目标的概率为 $\frac{1}{2}$ ，同学乙每次击中目标的概率为 $\frac{1}{3}$ ，且两人是否击中目标相互独立.

(1)、射击规则如下：若当前射击的同学击中目标，则下次仍由该同学继续射击；若当前射击的同学未击中目标，则下次由另一名同学接替射击；第一次射击由同学甲进行.
（i）若共进行3次射击，求同学甲击中目标的次数多于同学乙击中目标的次数的概率；
（ii）记第 $n$ 次射击由同学甲进行的概率为 $P (n)$ ，求 $P (21)$ 的值.

(2)、新射击规则如下：初始由同学甲先射击；若甲未击中目标，则下一次由同学乙射击；若乙未击中目标，则下一次等可能地选择由甲或乙进行射击；比赛循环进行，直到有一名同学首次击中目标，该同学获胜，比赛结束.若两人射击次数不限，求最终同学乙获胜的概率.

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16. 如图，在矩形 $C D E F$ 中， $C D = 1, D E = 2$ ， $A, B$ 分别是 $D E, C F$ 的中点，点 $P, Q$ 分别是对角线 $A C, B E$ 上的动点（不包括端点），且 $C P = B Q = a (0 < a < \sqrt{2})$ ，将四边形 $A B C D$ 沿 $A B$ 翻折，使平面 $A B C D ⊥$ 平面 $A B F E$ ．

(1)、求证： $B D ⊥$ 平面 $A E C$ ；

(2)、求线段 $P Q$ 的长（用 $a$ 表示）；

(3)、当线段 $P Q$ 的长最小时，求平面 $P Q A$ 与平面 $A E C$ 夹角的余弦值．

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17. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 2$ 且 $S_{n + 1} = 2 S_{n} + 2 (n \in N^{*})$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = (2 n + 1) a_{n}$ ，记数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，若对任意的 $n \in N^{*}$ ， $λ (T_{n} - 2) \leq 3^{n}$ 恒成立，求 $λ$ 的取值范围.

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18. 已知角 $α (0 < α < π)$ 的顶点为 $A$ ，在 $α$ 的两边上截取 $|A B| = |A C|$ ，连接 $B C$ ，在线段 $B C$ 上取一点 $O$ ，使得 $|B O| = 2 |C O|$ ，记 $B O$ 的中点为 $D$ ，以 $O$ 为中心， $C, D$ 为顶点作离心率为2的双曲线 $M$ ，以 $A$ 为圆心， $A B$ 为半径作圆，与双曲线 $M$ 左支交于点 $E$ （射线 $A E$ 在 $∠ B A C$ 内部），则 $∠ B A E = \frac{1}{3} ∠ B A C$ .在上述作法中，以 $O$ 为原点，直线 $B C$ 为 $x$ 轴建立如图所示的平面直角坐标系，若 $B (- 2, 0)$ ，点 $A$ 在 $x$ 轴的上方.

(1)、求双曲线 $M$ 的方程；

(2)、若过点 $A$ 且与 $x$ 轴垂直的直线交 $x$ 轴于点 $G$ ，点 $E$ 到直线 $A G$ 的距离为 $d$ .
证明：① $\frac{|B E|}{d}$ 为定值；
② $∠ B A E = \frac{1}{3} ∠ B A C$ .

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19. 已知函数 $f (x) = x e^{x} - a x + 1$ .

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 0$ 处的切线方程.

(2)、若 $f (x) \geq 1$ 在 $(0, + \infty)$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围.

(3)、当 $a = 1$ 时，证明：对 $\forall x > 0$ ，有 $f (x) > l n x + x + 1$ .

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