四川省眉山冠城实验学校2025-2026学年高一（直升班）下学期期末考试数学试卷

试卷更新日期：2026-06-15 类型：期末考试

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合 $M = \{- 1, 1, 2\}$ ， $N = \{0, 1\}$ ，则 $M \cup N =$ （）

A、 $\{- 1, 0, 1, 2\}$ B、 $\{- 1, 0\}$ C、 $\{- 1, 0, 2\}$ D、 $\{1\}$

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2. 命题“ $\exists x \in [- 2, 5]$ ， $x^{2} - 4 x - 5 < 0$ ”的否定为（）

A、 $\exists x \in [- 2, 5]$ ， $x^{2} - 4 x - 5 \geq 0$ B、 $\exists x \in [- 2, 5]$ ， $x^{2} - 4 x - 5 > 0$ C、 $\forall x \in [- 2, 5]$ ， $x^{2} - 4 x - 5 \geq 0$ D、 $\exists x \notin [- 2, 5]$ ， $x^{2} - 4 x - 5 \geq 0$

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3. 若 $x > 0$ ，则 $\frac{4}{x} + 9 x$ 的最小值是（）

A、36 B、13 C、12 D、6

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4. 函数 $y = \sqrt{2 x - 3} + \frac{1}{x - 3}$ 的定义域为（）

A、 $[\frac{3}{2}, + \infty)$ B、 $(- \infty, 3) \cup (3, + \infty)$ C、 $[\frac{3}{2}, 3) \cup (3, + \infty)$ D、 $(3, + \infty)$

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5. “ $a^{2} > b^{2}$ ”是“ $a < b < 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 已知函数 $f (x) = x^{2} - m x + 1$ 是偶函数，则 $y = f (x)$ 的单调增区间是（）

A、 $(- 1, + \infty)$ B、 $(0, + \infty)$ C、 $(1, + \infty)$ D、 $(2, + \infty)$

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7. 函数 $f (x) = \frac{2 x}{x^{2} - 1}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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8. 已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} 2 x^{2}, x \geq a \\ (2 - a) x + 1, x < a \end{array}$ ，对于任意两不等实数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ 成立，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[0, 2)$ B、 $[1, 2)$ C、 $[0, 1]$ D、 $[\frac{1}{3}, 1]$

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二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. 下列各组函数中，是同一个函数的有（）

A、 $f (x) = \frac{1}{x}$ 与 $g (x) = \frac{x}{x^{2}}$ B、 $f (x) = x^{0}$ 与 $g (x) = 1$ C、 $f (x) = {(\sqrt{x})}^{2}$ 与 $g (x) = | x |$ D、 $f (x) = x$ 与 $g (t) = \sqrt[3]{t^{3}}$

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10. 已知点 $(2, \frac{1}{2})$ 在幂函数 $f (x) = x^{b}$ 的图象上，则下列叙述正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 是奇函数 B、函数 $f (x)$ 是偶函数 C、 $f (4) = \frac{1}{4}$ D、函数 $f (x)$ 在定义域内是减函数

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11. 定义在 $(- 1, 1)$ 的函数 $f (x)$ 满足 $f (x) - f (y) = f (\frac{x - y}{1 - x y})$ ，且当 $- 1 < x < 0$ 时， $f (x) < 0$ ，则（）

A、 $f (x)$ 是奇函数 B、 $f (\frac{1}{5}) + f (\frac{1}{19}) = f (\frac{1}{4})$ C、 $f (\frac{1}{3}) + f (\frac{1}{4}) < f (\frac{1}{2})$ D、 $f (x)$ 在 $(- 1, 1)$ 上单调递增

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三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分

12. 已知 $x > 0, y > 0$ ， $x + 2 y = 1$ ，则 $\frac{1}{x} + \frac{2}{y}$ 的最小值为.

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13. 若幂函数 $f (x) = (m^{2} - 4 m + 4) x^{5 - 2 m}$ 在区间 $(0, + \infty)$ 上单调递增，则 $m =$ .

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14. 若“存在 $x \in [1, 4]$ 使得 $2 x + a + 1 \geq 0$ ”是假命题，则实数 $a$ 的取值范围是.

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四、解答题：本大题共5小题，共77分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 已知集合 $A = \{x | - 2 \leq x \leq 5\}$ ， $B = \{x | m + 1 \leq x \leq 2 m - 1\}$ ．

(1)、当 $m = 3$ 时，求 $A \cap B$ ， $A \cup B$ ；

(2)、若 $A \cap B = \emptyset$ ，求实数 $m$ 的取值范围．

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16. 已知函数 $f (x) = \frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的定义域；

(2)、若 $f (a) = 2$ ，求 $a$ 的值；

(3)、求证： $f (\frac{1}{x}) = - f (x)$ .

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17. 某蛋糕店今年年初用18万元购进一台新设备.已知使用 $x$ 年 $(x \in N^{*})$ 所需的总维护费用为 $(2 x^{2} + x)$ 万元，经估算该设备每年可为蛋糕店创造收入16万元.设该设备使用 $x$ 年的盈利总额为 $w (x)$ 万元（盈利总额=总收入 $-$ 成本 $-$ 总维护费用）.

(1)、该店从第几年开始盈利？

(2)、若干年后蛋糕店想在年平均盈利达到最大值时，以11万元的价格卖出设备，请问最终获利为多少？

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18. （1）已知关于x的不等式 $a x^{2} - 3 x + 2 < 0$ 的解集为 ${x | 1 < x < b}$ $.$
（i）求实数a，b的值；
（ii）求关于x的不等式 $a x^{2} - (a c + b) x + b c > 0$ （其中c为实数)的解集.
（2）关于x的不等式 $a x^{2} - 3 a x + 2 > 0$ 对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围.

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19. 已知函数 $f (x) = \frac{a x + b}{x^{2} + 1}$ 是定义在 $(- 1, 1)$ 上的奇函数，且 $f (\frac{1}{2}) = \frac{2}{5}$ .
（1）求函数 $f (x)$ 的解析式；
（2）判断函数 $f (x)$ 的单调性，并证明；
（3）解关于 $x$ 的不等式 $f (2 x - 1) + f (x) < 0$ .

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