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相关试卷

1、已知全集为 $R$ ，集合 $A = {x | - 1 < x < 0}, B = \{x | x > 1\}$ ，则（）

A、 $A \subseteq B$ B、 $B \subseteq A$ C、 $A \cap B = \emptyset$ D、 $A \cup (∁_{R} B) = R$

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2、为了庆祝党的二十大胜利召开，培养担当民族复兴的时代新人，某高中在全校三个年级开展了一次“不负时代，不负韶华，做好社会主义接班人”演讲比赛.共1500名学生参与比赛，现从各年级参赛学生中随机抽取200名学生，并按成绩分为五组： $[50, 60)$ ， $[60, 70)$ ， $[70, 80)$ ， $[80, 90)$ ， $[90, 100]$ ，得到如下频率分布直方图，且第五组中高三学生占 $\frac{3}{7}$ .

(1)、求抽取的200名学生的平均成绩 $\bar{x}$ （同一组数据用该组区间的中点值代替）；

(2)、若在第五组中，按照各年级人数比例采用分层随机抽样的方法抽取7人，再从中选取2人组成宣讲组，在校内进行义务宣讲，求这2人都是高三学生的概率；

(3)、若比赛成绩 $x > \bar{x} + s$ （ $s$ 为样本数据的标准差），则认为成绩优秀，试估计参赛的1500名学生成绩优秀的人数.
参考公式： $s = \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} f_{i}}$ ，（ $f_{i}$ 是第 $i$ 组的频率），参考数据： $\sqrt{30} \approx 5.5$

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3、如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点．
（1）求证：BD⊥平面PAC；
（2）若∠ABC＝60°，求证：平面PAB⊥平面PAE．

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4、 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，设 $\frac{a + b}{c - b} = \frac{\sin C + \sin B}{\sin A}$ .

(1)、求C

(2)、若 $(\sqrt{3} + 1) a + 2 b = \sqrt{6} c$ ，求A

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5、已知 $- \frac{π}{2} < α < 0$ ，且函数 $f (α) = \cos (\frac{3 π}{2} + α) - \sin α \cdot \sqrt{\frac{1 + \cos α}{1 - \cos α}} - 1$ ．

(1)、化简 $f (α)$ ；

(2)、若 $f (α) = \frac{1}{5}$ ，求 $\sin α \cos α$ 和 $\sin α - \cos α$ 的值．

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6、为庆祝中国共产党第二十次代表大会胜利闭幕，某高中学校在学生中开展了“学精神，悟思想，谈收获”的二十大精神宣讲主题活动．为了解该校学生参加主题学习活动的具体情况，校团委利用分层抽样的方法从三个年级中抽取了260人进行问卷调查，其中高一、高二年级各抽取了85人．已知该校高三年级共有720名学生，则该校共有学生人．

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7、如图所示，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为1，点A，B对应的复数分别是 $z_{1}, z_{2}$ ，则 $|z_{1} - z_{2}| =$ ．

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8、如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面三角形A₁B₁C₁是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述错误的是（）

A、CC₁与B₁E是异面直线 B、C₁C与AE共面 C、AE与B₁C₁是异面直线 D、AE与B₁C₁所成的角为60°

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9、下列函数中，周期为π，且在区间 $(\frac{π}{2}, π)$ 上单调递增的是（）

A、 $y = | \cos x |$ B、 $y = \tan 2 x$ C、 $y = \cos 2 x$ D、 $y = \sin 2 x$

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10、某校对学生在寒假中参加社会实践活动的时间（单位：小时）进行调查，并根据统计数据绘制了如图所示的频率分布直方图，其中实践活动时间的范围是[9，14]，数据的分组依次为：[9，10），[10，11），[11，12），[12，13），[13，14]．已知活动时间在[9，10）内的人数为300，则活动时间在[11，12）内的人数为（　　）

A、600 B、800 C、1000 D、1200

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11、若 $A B, B C, C D$ 是不在同一平面内的三条线段，则过它们中点的平面和直线 $A C$ 的位置关系是 (　　)

A、平行 B、相交 C、 $A C$ 在此平面内 D、平行或相交

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12、如图，正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的底面是边长为3的正三角形，侧棱 $A A_{1} = 4$ ，一小虫从点A途经三个侧面爬到点 $A_{1}$ ，则小虫爬行的最短距离为（）

A、4 B、5 C、 $\sqrt{97}$ D、 $\sqrt{153}$

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13、如图是古希腊数学家特埃特图斯用来构造无理数 $\sqrt{2}, \sqrt{3}$ 的图形，图中四边形ABCD的对角线相交于点O，若 $\vec{D O} = λ \vec{O B}$ ，则 $λ =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ D、5

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14、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 不共线，且 $\vec{c} = λ \vec{a} + \vec{b}$ ， $\vec{d} = \vec{a} + (2 λ - 1) \vec{b}$ ，若 $\vec{c}$ 与 $\vec{d}$ 反向共线，则实数 $λ$ 的值为（）

A、1 B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、-2

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15、在平面直角坐标系中，若角 $θ$ 的终边经过点 $P (- \sin \frac{π}{6}, \cos \frac{π}{3})$ ，则 $\cos θ =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$

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16、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a, b > 0)$ 经过点 $(4 \sqrt{2}, - 3)$ ，一条渐近线方程为 $y = \frac{3}{4} x$ ．

(1)、求双曲线 $C$ 的方程；

(2)、设 $O$ 为原点，若点 $A$ 为双曲线 $C$ 上的动点，点 $B$ 在直线 $x = - \frac{12}{5}$ 上，且 $O A ⊥ O B$ ．
（ⅰ）求 $△ A O B$ 面积 $S$ 的最小值；
（ⅱ）判断是否存在定圆与直线 $A B$ 相切，若存在，求出定圆方程；若不存在，说明理由．

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17、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}, a_{1} = 4, 2 S_{n} = (n + 1) a_{n}, n \in N^{*}$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{a_{n}}{3^{n}}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，证明： $T_{n} < 3$ ．

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18、古希腊数学家在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点 $F_{1}$ 发出的光线经过椭圆上的 $P$ 点反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点 $F_{2}$ ，且在 $P$ 点处的切线垂直于法线（即 $∠ F_{1} P F_{2}$ 的角平分线）.已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上点 $P$ 处的法线 $l$ 交 $x$ 轴于点 $Q$ ，且 $\vec{F_{1} Q} = 3 \vec{Q F_{2}}$ ，入射角 $∠ F_{1} P Q = \frac{π}{3}$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{7}}{4}$ B、 $\frac{4 \sqrt{7}}{7}$ C、 $\frac{4 \sqrt{13}}{13}$ D、 $\frac{\sqrt{13}}{4}$

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19、已知动点 $P$ 到点 $(0, 1)$ 的距离比它到直线 $y + 2 = 0$ 的距离小 $1$ ，记动点 $P$ 的轨迹为 $E$ ．

(1)、求轨迹 $E$ 的方程．

(2)、直线 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 分别与轨迹 $E$ 交于点 $A, B$ 和点 $C, D$ （ $\vec{A B}$ 与 $\vec{D C}$ 同向），且 $l_{1} / / l_{2}$ ，线段 $A C$ 与 $B D$ 交于点 $H$ ，线段 $A B$ 与 $C D$ 的中点分别为 $M, N$ ．
（ⅰ）求证： $M, H, N$ 三点共线；
（ⅱ）若 $|H M| = 1$ ， $|H N| = 2$ ，求四边形ABCD的面积．

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20、如图，在圆柱 $O O_{1}$ 中，四边形ABCD是其轴截面，EF为 $⊙ O_{1}$ 的直径， $E F ⊥ C D$ ， $A B = 2$ ， $B C = a$ ．

(1)、求证： $B E = B F$ ；

(2)、若四面体ABEF的体积为 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ，求二面角 $A - B E - F$ 平面角的余弦值．

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