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相关试卷

1、已知复数 $z_{1} = \cos x + i$ ， $z_{2} = 1 + (1 - \sqrt{3} \sin x) i$ ， $x \in (0, \frac{2 π}{3})$ .

(1)、当 $x = \frac{π}{3}$ 时，求 $z_{1} z_{2}$ 和 $|z_{1} - 2 z_{2}|$ ；

(2)、设 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 在复平面内对应的点分别为A，B，O为原点，若 $\vec{O A} ⊥ \vec{O B}$ ，求 $x$ .

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2、近日，江苏省城市足球联赛（简称“苏超”）登上热搜，为了解各年龄层对“苏超”的关注程度，随机选取了200名年龄在 $[15, 55]$ 内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图.

(1)、求选取的市民年龄在 $[25, 45)$ 内的人数；

(2)、利用频率分布直方图的组中值对这200名市民的年龄的平均数进行估计；

(3)、根据频率分布直方图，估计这200名市民的年龄数据的70%分位数.

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3、记 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 $\sqrt{2} (a \sin A + b \sin B - c \sin C) = a \sin B \sin C$ ， $c = 4$ ，则 $△ A B C$ 的面积的最大值为.

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4、已知数据1，2，4， $m$ 的方差为 $\frac{5}{4}$ ，则 $m =$ .

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5、已知圆锥的轴截面是边长为4的正三角形，则该圆锥的侧面积为.

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6、如图①，在长方形 $A B C D$ 中， $A B = \sqrt{3}$ ， $A D = 3$ ， M，N为 $A D$ 的三等分点，P， $P, Q$ 为 $B C$ 的三等分点，连接 $B M$ ， $P N$ ， $Q D$ ，分别交 $A C$ 于点K，G，O.如图②，将 $△ A C D$ 沿 $A C$ 翻折至 $△ A C F$ ，形成三棱锥 $F - A B C$ ，则（）

A、 $A C ⊥$ 平面 $P G N$ B、当 $N G ⊥ B K$ 时，直线 $M G$ 与 $O Q$ 所成的角 $\frac{π}{3}$ C、当二面角 $F - A C - B$ 为 $\frac{2 π}{3}$ 时， $B N = \frac{\sqrt{22}}{2}$ D、直线 $O F$ 上的点到直线 $P G$ 的最短距离为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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7、在锐角 $△ A B C$ 中， $\sin (A + B) = \frac{3}{5}$ ， $\sin (A - B) = \frac{1}{5}$ ，则（）

A、 $\sin A \cos B = \frac{2}{5}$ B、 $\tan A = 2 \tan B$ C、 $\tan (A + B) = - \frac{4}{3}$ D、 $\tan A = 2 + \sqrt{6}$

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8、有两组样本数据： $2, 6, 4, 2, 1$ 和 $4, 8, 6, 4, 3$ ，则这两组样本数据的（）

A、样本平均数不相同 B、样本中位数相同 C、样本标准差不相同 D、样本极差相同

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9、已知 $\cos (α - \frac{π}{3}) + \cos (α + \frac{π}{6}) = \frac{\sqrt{2}}{4}$ ，则 $\cos (2 α - \frac{π}{6}) =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{2}}{16}$ B、 $- \frac{\sqrt{2}}{8}$ C、 $- \frac{15}{16}$ D、 $- \frac{7}{8}$

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10、已知一个古典概型的样本空间Ω和事件A，B，满足 $n (Ω) = 8$ ， $n (A) = 3$ ， $n (B) = 4$ ， $n (A + B) = 5$ ，则（）

A、A，B相互独立 B、A，B互斥 C、 $P (A B) = \frac{1}{4}$ D、 $P (\bar{A}) = \frac{3}{8}$

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11、在梯形 $A B C D$ 中， $A B ∥ C D$ ， $A D = 1$ ， $A B = 2$ ， $∠ B A D = 60 °$ ，若 $\vec{A C}$ 在 $\vec{A B}$ 上的投影向量为 $\frac{1}{2} \vec{A B}$ ，则 $\vec{A C} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} \vec{A B} + \vec{A D}$ B、 $\vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A D}$ C、 $\frac{1}{4} \vec{A B} + \vec{A D}$ D、 $\vec{A B} + \frac{1}{4} \vec{A D}$

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12、设 $α$ ， $β$ 为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，则下列命题正确的是（）

A、若 $m ∥ n$ ， $n \subset α$ ，则 $m ∥ α$ B、若 $m ⊥ β$ ， $n ∥ β$ ，则 $m ⊥ n$ C、若 $α ⊥ β$ ， $m ∥ α$ ， $n ⊥ β$ ，则 $m ⊥ n$ D、若 $m ∥ α$ ， $n ∥ β$ ， $m ∥ n$ ，则 $α ∥ β$

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13、从分别写有1，2，3，4的4张卡片中不放回地随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之和是奇数的概率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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14、用分层抽样的方法从某校学生中抽取1个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人.已知该校高二年级共有学生600人，则该校学生总数为（）

A、1400人 B、1600人 C、1800人 D、2000人

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15、已知 $\vec{a} = (5, - 1)$ ， $\vec{b} = (3, 1)$ ，则 $|\vec{a} - \vec{b}| =$ （）

A、2 B、 $2 \sqrt{2}$ C、4 D、8

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16、已知 $i z = 3 + i$ ，则 $z$ 的虚部为（）

A、-3 B、-1 C、1 D、3

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17、若对于任意整数 $i$ ， $j$ ，均有 $a_{i + j} < a_{i} + a_{j}$ ，则称数列 $\{a_{n}\}$ 为 $A -$ 数列.

(1)、设各项均为正整数且公差不为0的等差数列 $\{b_{n}\}$ 为 $A -$ 数列， $b_{1} = 2$ ，求 $b_{n}$ ；

(2)、证明：当 $0 < k < 1$ 时，数列 $\{n^{k}\}$ 为 $A -$ 数列；

(3)、证明：若数列 $\{a_{n}\}$ 的各项均为正数，当 $a_{n} > k a_{n - 1}$ 时（其中 $k > 1$ ， $k$ 为常数），数列 $\{a_{n}\}$ 不是 $A -$ 数列.

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18、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的实轴长为 $2 \sqrt{3}$ ，离心率为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

(1)、求双曲线 $C$ 的标准方程：

(2)、过点 $Q (1, 0)$ 的直线 $l$ 与 $C$ 的左、右两支分别交于 $A$ ， $B$ 两点，点 $M (2, \sqrt{3})$ ，直线 $B M$ 与直线 $x = 3$ 交于点 $N$ .
（i）证明：直线 $A N$ 的斜率为定值；
（ii）记 $S_{1}$ ， $S_{2}$ 分别为 $△ Q B M$ ， $△ A B N$ 的面积，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的取值范围.

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19、已知函数 $f (x) = \ln x - \frac{a}{x}$ ， $a \in R$ .

(1)、若 $a = 2$ ，求 $f (x)$ 图象在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若函数 $f (x)$ 在 $(1, e)$ 上的最小值是 $\frac{3}{2}$ ，求 $a$ 的值.

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20、记 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $b = a \cos C + 2 c \cos^{2} A$ ．

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $a = 2$ ，且 $B C$ 边上的高为 $\sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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