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相关试卷

1、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $0 \leq a_{1} < a_{2} < \dots < a_{n} (n \geq 3)$ ，定义：集合 $M = \{(a_{i}, a_{j}) ∣ i < j, \exists p, q$ ，使得 $a_{j} - a_{i} = \frac{1}{2} (a_{q} - a_{p})\}$ ，并记该集合的元素个数为 $|M|$ ，则以下说法正确的是（）

A、若 $a_{n} = 2^{n - 1} (1 \leq n \leq 3)$ ，则 $|M| = 2$ B、若 $a_{n} = 2 n - 1 (1 \leq n \leq 4)$ ，则 $|M| = 3$ C、存在数列 $\{a_{n}\}$ ，其中有一项 $a_{i} (2 \leq i \leq n - 1)$ 能使得 $(a_{1}, a_{i}) \in M$ 且 $(a_{i}, a_{n}) \in M$ D、若任取数列 $\{a_{n}\}$ 的两项 $a_{i}, a_{j} (i < j)$ ， $(a_{i}, a_{j})$ 恰好是 $M$ 元素的概率大于 $\frac{4}{5}$ ，则 $n > 8$

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2、抛掷一枚质地均匀的骰子，记试验的样本空间为 $Ω = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ ，事件 $M = \{1, 2\}$ ，事件 $N = \{2, 3, 4\}$ ，则（）

A、 $M$ 与 $N$ 是互斥事件 B、 $M$ 与 $N$ 是相互独立事件 C、 $P (M ∣ N) = P (N ∣ M)$ D、 $P (\bar{M} N) + P (M \bar{N}) = \frac{1}{2}$

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3、已知函数 $f (x) = sin x (cos x + a sin x)$ ，则存在实数 $a$ ，使得（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、 $f (x)$ 是偶函数 C、 $f (x)$ 是奇函数 D、 $f (x)$ 的最大值为0

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4、已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别是 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ， $P$ 在第二象限且在双曲线的渐近线上， $|P F_{2}| = |F_{1} F_{2}|$ ，线段 $P F_{2}$ 的中点在双曲线的右支上，则双曲线的离心率为（）

A、 $4$ B、 $\sqrt{3} + 1$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $2$

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5、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ， $\forall x ， y \in R$ ， $f (x) f (y) = f (x + y)$ ，且 $f (1) = \frac{1}{2}$ ，则（）

A、 $f (0) = 0$ B、 $f (- 1) = - \frac{1}{2}$ C、 $f (x + 1) < f (x)$ D、 $f (x + 2) - f (x + 1) < f (x + 1) - f (x)$

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6、已知 $tan (θ + \frac{π}{4}) = 2$ ，则 $tan θ =$ （）

A、3 B、2 C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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7、已知圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 和圆 ${(x - 3)}^{2} + y^{2} = r^{2} (r > 0)$ 有公共点，则 $r$ 的取值范围为（）

A、 $[2, + \infty)$ B、 $[2, 4]$ C、 $[3, 4]$ D、 $[1, 4]$

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8、已知 $\bar{z}$ 是复数 $z$ 的共轭复数， $\bar{z} \cdot i = 1$ （ $i$ 为虚数单位），则 $z$ 的虚部是（）

A、 $i$ B、 $-i$ C、1 D、 $- 1$

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9、已知集合 $A = \{- 1, 1, 2, 3\} ， B = \{x |ln x < 1\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{1\}$ B、 $\{- 1, 1\}$ C、 $\{1, 2\}$ D、 $\{- 1, 1, 2\}$

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10、已知 $\vec{a}, \vec{b}$ 都是单位向量，夹角为 $60^{\circ}$ ，则 $|\vec{a} - \vec{b}|$ 的值为（）

A、1 B、2 C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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11、已知 $x > 0, y > 0$ ，满足 $x^{2} + 2 x y - 1 = 0$ ，则 $3 x + y$ 的最小值是（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\sqrt{10}$

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12、设各项均为正数的等比数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{4} \cdot a_{10} = 2 a_{8}$ ，则 ${log}_{2} (a_{1} a_{2} \dots a_{10} a_{11})$ 等于（）

A、 $2^{10}$ B、 $2^{11}$ C、11 D、10

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13、向量作为一种重要的数学工具，在代数与几何中发挥着重要桥梁作用，不仅在平面几何学中有着广泛的应用，在空间中、物理学、工程学和计算机科学等领域也同样发挥着重要的作用．它们通过向量的运算，使得我们能够描述和分析现实世界中的各种现象和问题．其中数量积的运算就很好的解决了物理中做功的概念，其运算结果是一个实数．向量在空间中还有一种运算，其运算结果仍是一个向量，即向量的叉积（外积），记作： $\vec{a} \times \vec{b}$ ．规定：① $\vec{a} \times \vec{b}$ 为同时与 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 垂直的向量，且与 $\vec{b} \times \vec{a}$ 为相反向量；② $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| sin ⟨\vec{a}, \vec{b}⟩$ （ $⟨\vec{a}, \vec{b}⟩$ 为向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角）；

(1)、证明： $|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{{|\vec{a}|}^{2} {|\vec{b}|}^{2} - {(\vec{a} \cdot \vec{b})}^{2}}$ ；

(2)、如图，已知棱长均为1的平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，且 $∠ B A D = ∠ B A A_{1} = ∠ A_{1} A D = 60 °$ ，计算 $∣ (\vec{A B} \times \vec{A D}) \cdot \vec{A A_{1}} ∣$ 的值，并解释其几何意义．

(3)、有一正四面体的四个顶点分别在四个平行平面 $α_{1}$ ， $α_{2}$ ， $α_{3}$ ， $α_{4}$ 上，且两相邻平行平面距离为1，求该四面体的棱长．

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14、如图，已知多面体ABCDEF的底面ABCD为直角梯形，四边形ADEF为矩形，且平面 $A D E F ⊥$ 平面ABCD， $A B / / C D$ ， $A B ⊥ A D$ ， $A D = C D = 2 A B = 2$ ．

(1)、证明：平面 $A B F / /$ 平面 $C D E$ ；

(2)、当异面直线BF与CE所成角取最大时，求DE；

(3)、当 $D E = 2$ 时，求二面角 $B - C F - E$ 的正弦值．

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15、已知函数 $f (x) = 2^{x} + \frac{1}{2^{x}}$ ．

(1)、解方程 $f (x) = \frac{10}{3}$ ；

(2)、若 $f (3 x) - m f (x) \geq 0$ 恒成立，求m的取值范围．

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16、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，角A的角平分线交BC于点D且 $\frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{\sqrt{3}}{A D}$ ．

(1)、求角A；

(2)、若 $a = 2$ ，求 $△ A B C$ 面积的最大值．

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17、已知复数 $z = 1 + b i$ （ $b \in R$ ， i为虚数单位）， $\frac{z - 2}{1 + i}$ 是纯虚数.

(1)、求复数z；

(2)、若复数 $z_{1} = 2 z - 1$ 是关于x的方程 $x^{2} + m x + n = 0$ 的根，求实数m和n的值.

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18、已知正四面体A-BCD的棱长为2，在平面BCD内有一动直线a，求直线a与直线DA所成角的正弦值最小为．

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19、已知向量 $|\vec{a}| = 2 |\vec{b}| = 2$ ，且向量 $\vec{a}$ 与向量 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，则 $(2 \vec{a}) \cdot (3 \vec{b}) =$ ．

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20、如图，若斜边长为 $2 \sqrt{2}$ 的等腰直角 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ （ $B^{'}$ 与 $O^{'}$ 重合）是水平放置的 $△ A B C$ 的直观图，则 $△ A B C$ 的面积为．

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