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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = 2^{x} - \frac{1}{2^{x}}$ .

(1)、求 $f ({log}_{2} 5) + f ({log}_{\frac{1}{2}} 5)$ 的值；

(2)、判断并证明函数 $f (x)$ 的奇偶性；

(3)、设关于 $x$ 的方程 $f (9^{x} + k) + f (1 - 4 \cdot 3^{x}) = 0$ 有两个不同的实根，求 $k$ 的取值范围.

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2、已知函数 $f (x) = 2 cos x \cdot sin (x - \frac{π}{6}) + \frac{1}{2}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期和单调递增区间.

(2)、将函数 $f (x)$ 的图象先向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，再将所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数 $g (x)$ 的图象，当 $x \in [- π, 0]$ 时，求函数 $g (x)$ 的值域.

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3、已知 $f (α) = \frac{sin (\frac{3 π}{2} + α) \cdot sin (5 π + α)}{cos (2 π + α)}$ .

(1)、化简 $f (α)$ ，并求 $f (\frac{π}{3})$ 的值；

(2)、若 $f (α) = \frac{1}{5}, f (β + \frac{π}{2}) = - \frac{4}{5}, α \in (0, \frac{π}{2}), β \in (\frac{π}{2}, π)$ ，求 $cos (α - β)$ 的值.

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4、已知集合 $M = {x | - 4 < x < 4}, N = {x | 2 m - 1 < x < 2 m + 1}$ .

(1)、当 $m = - 2$ 时，求 $(∁_{R} M) \cap N$ ；

(2)、若 $(∁_{R} M) \cap N = \emptyset$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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5、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} (2 - a) x + 3 a - 5, x < 1, \\ {log}_{a} x, x ⩾ 1 \end{array}$ 是 $(- \infty, + \infty)$ 上的增函数，则 $a$ 的取值范围为.

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6、若函数 $f (x) = tan ω x (ω > 0)$ 的最小正周期为 $2 π$ ，则 $f (\frac{π}{3}) =$ .

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7、计算： ${(\frac{27}{8})}^{- \frac{2}{3}} - 2 \times {(\sqrt{π + 3})}^{0} + 10 \times \sqrt[3]{0.008} =$ .

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8、随着冬天的到来，越来越多的旅客从全国各地来到哈尔滨赏冰乐雪，今年冰雪大世界以“冰雪同梦，亚洲同心”为主题，一睹冰雕雪雕风采的同时还能体验各种冰上项目，如大滑梯､摩天轮等.如图所示，某地摩天轮最高点离地面的高度为 $130 m$ ，最低点离地面的高度为 $10 m$ ，设置若干个座舱，游客从离地面最近的位置进舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，转一周的时间约为 $24 min$ .游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动 $t min (t \geq 0)$ 后距离地面高度为 $h m, h$ 与 $t$ 的关系可以用如下解析式体现： $h = A \sin (ω t + φ) + B (ω > 0, |φ| \leq \frac{π}{2})$ ，则下列说法正确的是（）

A、摩天轮的轮盘直径为 $120 m$ B、 $h$ 关于 $t$ 的函数解析式为 $h = 60 sin (\frac{π}{12} t - \frac{π}{2}) + 70 (t \geq 0)$ C、 $h$ 关于 $t$ 的函数解析式为 $h = 60 cos (\frac{π}{12} t + \frac{3 π}{2}) + 70 (t \geq 0)$ D、游客乘坐摩天轮一周的过程中，有 $16 min$ 离地面高度超过 $40 m$

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9、下列有关最值的结论正确的是（）

A、当 $x < 0$ 时，函数 $y = x + \frac{1}{x}$ 的最小值为2 B、若 $x, y$ 均为正数，且 $x + y = 1$ ，则 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ 的最小值为4 C、若 $x, y$ 均为正数，且 $x + 9 y = 6 x y$ ，则 $x y$ 的最小值为1 D、若 $x, y$ 均为正数，且 $x + y = 2$ ，则 $x^{2} + y^{2}$ 的最小值为2

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10、下列说法正确的是（）

A、若 $f (x)$ 的定义域为 $[- 1, 1]$ ，则 $f (x - 1)$ 的定义域为 $[0, 2]$ B、函数 $y = {log}_{\frac{1}{2}} x$ 与函数 $y = 2^{x}$ 的图象关于直线 $y = x$ 对称 C、函数 $y = \sqrt[3]{x^{3}}$ 与函数 $y = x$ 是同一函数 D、函数 $f (x) = x^{2} - 2 x + 4$ 在 $[- 2, 2]$ 上的值域为 $[4, 12]$

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11、中国历代书画家喜欢在纸扇的扇面上题字绘画，某扇面为如图所示的扇环，若扇环所在圆的圆心角 $α = \frac{2 π}{3}, \overset{⌢}{A B} = 2 \overset{⌢}{C D} = 2 π$ ，则扇环的面积为（）

A、 $\frac{9 π}{4}$ B、 $\frac{9 π}{2}$ C、 $π$ D、 $\frac{π}{2}$

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12、已知 $α \in (- \frac{π}{2}, 0)$ ，且 $\frac{sin α + cos α}{sin α - cos α} = \frac{1}{2}$ ，则（）

A、 $tan α = - \frac{1}{3}$ B、 $sin α = - \frac{3 \sqrt{10}}{10}$ C、 $cos α = \frac{3 \sqrt{10}}{10}$ D、 $cos 2 α = \frac{4}{5}$

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13、已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数， $f (x) = f (x + 5)$ ，且 $f (- 1) = 1$ ，则 $f (2025) + f (2026) =$ （）

A、 $- 1$ B、0 C、1 D、2

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14、为了得到 $y = cos 2 x$ 的图象，只需把余弦曲线上所有的点（）

A、纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变 B、纵坐标变为原来的 $\frac{1}{2}$ ，横坐标不变 C、横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 D、横坐标变为原来的 $\frac{1}{2}$ ，纵坐标不变

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15、已知全集为 $R$ ，集合 $A = {x | - 1 < x < 0}, B = \{x | x > 1\}$ ，则（）

A、 $A \subseteq B$ B、 $B \subseteq A$ C、 $A \cap B = \emptyset$ D、 $A \cup (∁_{R} B) = R$

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16、为了庆祝党的二十大胜利召开，培养担当民族复兴的时代新人，某高中在全校三个年级开展了一次“不负时代，不负韶华，做好社会主义接班人”演讲比赛.共1500名学生参与比赛，现从各年级参赛学生中随机抽取200名学生，并按成绩分为五组： $[50, 60)$ ， $[60, 70)$ ， $[70, 80)$ ， $[80, 90)$ ， $[90, 100]$ ，得到如下频率分布直方图，且第五组中高三学生占 $\frac{3}{7}$ .

(1)、求抽取的200名学生的平均成绩 $\bar{x}$ （同一组数据用该组区间的中点值代替）；

(2)、若在第五组中，按照各年级人数比例采用分层随机抽样的方法抽取7人，再从中选取2人组成宣讲组，在校内进行义务宣讲，求这2人都是高三学生的概率；

(3)、若比赛成绩 $x > \bar{x} + s$ （ $s$ 为样本数据的标准差），则认为成绩优秀，试估计参赛的1500名学生成绩优秀的人数.
参考公式： $s = \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} f_{i}}$ ，（ $f_{i}$ 是第 $i$ 组的频率），参考数据： $\sqrt{30} \approx 5.5$

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17、如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点．
（1）求证：BD⊥平面PAC；
（2）若∠ABC＝60°，求证：平面PAB⊥平面PAE．

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18、 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，设 $\frac{a + b}{c - b} = \frac{\sin C + \sin B}{\sin A}$ .

(1)、求C

(2)、若 $(\sqrt{3} + 1) a + 2 b = \sqrt{6} c$ ，求A

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19、已知 $- \frac{π}{2} < α < 0$ ，且函数 $f (α) = \cos (\frac{3 π}{2} + α) - \sin α \cdot \sqrt{\frac{1 + \cos α}{1 - \cos α}} - 1$ ．

(1)、化简 $f (α)$ ；

(2)、若 $f (α) = \frac{1}{5}$ ，求 $\sin α \cos α$ 和 $\sin α - \cos α$ 的值．

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20、为庆祝中国共产党第二十次代表大会胜利闭幕，某高中学校在学生中开展了“学精神，悟思想，谈收获”的二十大精神宣讲主题活动．为了解该校学生参加主题学习活动的具体情况，校团委利用分层抽样的方法从三个年级中抽取了260人进行问卷调查，其中高一、高二年级各抽取了85人．已知该校高三年级共有720名学生，则该校共有学生人．

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