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相关试卷

1、已知 $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ 是空间向量的一组基底， $\{\vec{a} + \vec{b}, \vec{b} + \vec{c}, \vec{a} + \vec{c}\}$ 是空间向量的另一组基底，若向量 $\vec{p}$ 在基底 $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ 下的坐标为 $(4, 0, 2)$ ，则向量 $\vec{p}$ 在基底 $\{\vec{a} + \vec{b}, \vec{b} + \vec{c}, \vec{a} + \vec{c}\}$ 下的坐标为（）

A、 $(1, 1, 3)$ B、 $(1, - 1, 3)$ C、 $(- 1, 1, 3)$ D、 $(1, 1, - 3)$

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2、已知空间中三点 $A (- 1, 1, 1)$ ， $B (0, 2, 1)$ ， $C (- 2, 1, 3)$ ．

(1)、设 $|\vec{c}| = 2 \sqrt{2}$ ，且 $\vec{c} / / \vec{A B}$ ，求 $\vec{c}$ 的坐标；

(2)、若四边形ABCD是平行四边形，求顶点D的坐标；

(3)、求 $△ A B C$ 的面积．

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3、如图，在正四棱锥 $P - A B C D$ 中， $\vec{P F} = \vec{F D}, \vec{P E} = 2 \vec{E B}$ ，设平面 $A E F$ 与直线 $P C$ 交于点 $G, \vec{P G} = λ \vec{G C}$ ，则 $λ =$ .

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4、在空间直角坐标系 $O - x y z$ 中， $\vec{O A} = (- 1, 2, 1)$ ， $\vec{O B} = (1, 1, 2)$ ， $\vec{O P} = (2, 1, 1)$ ，点 $Q$ 在直线 $O P$ 上运动，则 $\vec{Q A} \cdot \vec{Q B}$ 的最小值为（）

A、 $- \frac{3}{2}$ B、 $- \frac{2}{3}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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5、已知空间向量 $\vec{a} = (\sqrt{3}, 0, 1), \vec{b} = (\frac{1}{2}, 0, \frac{\sqrt{3}}{2})$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量的模为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、1 C、2 D、 $\frac{1}{2}$

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6、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ．已知 $a \sin B = \sqrt{3} b \cos A$ ， $c - 2 b = 1$ ， $a = \sqrt{7}$ ．

(1)、求A的值；

(2)、求c的值；

(3)、求 $\sin (A + 2 B)$ 的值．

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7、已知椭圆 $E$ 的两个焦点为 $F_{1} (- 1, 0)$ 和 $F_{2} (1, 0)$ ，点 $Q$ 为椭圆 $E$ 的上顶点， $△ Q F_{1} F_{2}$ 为等腰直角三角形．

(1)、求椭圆 $E$ 的标准方程；

(2)、已知点 $P$ 为椭圆 $E$ 上一动点，求点 $P$ 到直线 $l : 3 x + 4 y - 12 = 0$ 距离的最值；

(3)、分别过 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 作平行直线 $m, n$ ，若直线 $m$ 与曲线 $E$ 交于 $A, B$ 两点，直线 $n$ 与曲线 $E$ 交于 $C, D$ 两点，其中点 $A, D$ 在 $x$ 轴上方，求四边形 $A F_{1} F_{2} D$ 的面积的取值范围．

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8、已知过定点 $T (4, 2)$ 的直线 $l$ 被圆 $O : x^{2} + y^{2} = 16$ 截得的弦长为 $4 \sqrt{3}$ ．

(1)、求直线 $l$ 的方程．

(2)、线段 $A B$ 的端点 $B$ 的坐标是 $(6, 8)$ ，端点 $A$ 在圆 $O$ 上运动， $M$ 是线段 $A B$ 的中点，记点 $M$ 的轨迹为曲线 $C$ ．
（i）求曲线 $C$ 方程；
（ii）已知点 $P$ 为直线 $x + y - 2 = 0$ 上一动点，过点 $P$ 作曲线 $C$ 的两条切线，切点分别为 $E$ 、 $F$ ，判断直线 $E F$ 是否过定点?求出该定点，并说明理由；

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9、在如图所示的几何体中，四边形 $A B C D$ 是正方形，四边形 $A D P Q$ 是梯形， $P D > A Q$ ， $P D / / Q A$ ， $P D ⊥$ 平面 $A B C D$ ，且 $A D = 2 A Q = 2$ ， $P D = 2$ ．

(1)、求证： $Q B / /$ 平面 $P D C$ ；

(2)、求平面 $P B C$ 与平面 $P Q B$ 夹角的余弦值．

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10、文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大得利者，更是文明城市的主要创造者，长沙市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段： $[40, 50), [50, 60), \dots, [90, 100]$ 得到如图所示的频率分布直方图．

(1)、求频率分布直方图中 $a$ 的值；

(2)、求样本成绩的平均数和众数；

(3)、用分层抽样的方法在分数落在 $[60, 80)$ 内的答卷中随机抽取一个容量为5的样本，现将该样本看成一个总体，再从中任取2份，求至多有1份答卷的分数在 $[70, 80)$ 内的概率．

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11、已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{12} = 1$ 的左右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，上顶点为 $A$ ，过 $F_{1}$ 且垂直于 $A F_{2}$ 的直线与 $E$ 交于 $B$ 、 $C$ 两点，则 $△ A B C$ 的周长为．

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12、已知 $M, N$ 是相互独立事件，且 $P (M) = 0.4, P (N) = 0.3$ ，则 $P (M \cup N) =$ ．

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13、已知 $x^{2} + y^{2} = 4$ ，则（）

A、 $\frac{2 x + y}{x - 1} \in (- \infty, 2] \cup [\frac{10}{3}, + \infty)$ B、 $x^{2} + y^{2} - 6 y + 10$ 的最大值为26 C、 $|3 x + 4 y - 12|$ 的最小值是 $\frac{2}{5}$ D、 $2 \sqrt{13 - 6 y} - \sqrt{20 - 8 x}$ 的最大值是 $2 \sqrt{10}$

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14、下列说法正确的是（）

A、若直线 $2 x + (m + 1) y + 4 = 0$ 与直线 $m x + 3 y - 2 = 0$ 平行，则 $m = - 3$ B、 $\forall a \in (0, 1)$ ，都有原点 $O$ 在圆 ${(x - a)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 2 a$ 外 C、一条光线从点 $A (- 2, 3)$ 射出，经 $x$ 轴反射后，与圆 $C : {(x - 3)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 1$ 相切，则反射后光线所在的直线方程为 $4 x - 3 y - 1 = 0$ D、圆 $x^{2} + y^{2} + 2 x + 8 y - 8 = 0$ 与圆 $x^{2} + y^{2} - 4 x - 4 y - 2 = 0$ 的公切线恰有2条

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15、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $\sqrt{2}$ ，空间中的点 $M$ 满足： $\vec{A_{1} M} = λ \vec{A_{1} B} + μ \vec{A_{1} D_{1}}$ ，其中 $λ \in R, μ \in R$ ，且 $\frac{M A}{M B} = \sqrt{2}$ ，则点 $M$ 的轨迹的长度为（）

A、 $6 π$ B、 $3 π$ C、 $2 \sqrt{3} π$ D、 $\frac{\sqrt{3} π}{2}$

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16、“ $- 2 \leq b < 2$ ”是“直线 $y = x + b$ 与曲线 $y = \sqrt{4 - x^{2}}$ 恰有1个公共点”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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17、如图，在平行六面体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，M为A₁C₁与B₁D₁的交点．若 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ ， $\vec{A A_{1}} = \vec{c}$ ，则下列向量中与 $\vec{A M}$ 相等的向量是（　　）

A、 $- \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ C、 $- \frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ D、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$

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18、已知椭圆 $C$ 的方程为 $x^{2} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ ，则椭圆 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{1}{3}$

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19、若复数 $z$ 满足 $z = i (i - 1)$ ，则 $|z| =$ （）

A、 $- 1$ B、 $1$ C、 $\sqrt{2} i$ D、 $\sqrt{2}$

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20、从1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取3个不同的数，且这三个数之积为偶数，记满足条件的这三个数之和为 $X$ ；从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，且这两个数之积为偶数，记满足条件的两个数之和为 $Y$ .则 $P (X = Y) =$ .

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