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相关试卷

1、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为3，

(1)、求四棱锥 $A - B B_{1} D_{1} D$ 的体积；

(2)、若点 $P$ ， $Q$ 分别为 $B C$ ， $C C_{1}$ 的中点，求过点 $A_{1}$ ， $P$ ， $Q$ 的平面截正方体所得的截面的周长．

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2、若 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 是夹角为 $60^{°}$ 的两个单位向量，已知向量 $\vec{a} = 2 \vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}$ ， $\vec{b} = λ \vec{e_{1}} + 2 \vec{e_{2}}$

(1)、若向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 共线，求实数 $λ$ 的值；

(2)、若 $λ = - 3$ ，求向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角．

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3、设 $O$ 为 $△ A B C$ 的外心，若 $\vec{O A} = \frac{1}{4} \vec{O B} + \vec{O C}$ ，则 $\cos ∠ B A C$ 等于．

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4、如图，为了测量两山顶 $M$ ， $N$ 间的距离，飞机沿水平方向在 $A$ ， $B$ 两点进行测量， $A$ ， $B$ ， $M$ ， $N$ 在同一铅垂平面内，飞机在 $A$ 点到 $M$ ， $N$ 点的俯角分别为 $75 °$ ， $30 °$ ，飞行3千米后，在 $B$ 点到 $M$ ， $N$ 点的俯角分别为 $45 °$ ， $60 °$ ，则测得两山顶 $M$ ， $N$ 间距离为千米．

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5、已知圆锥的底面半径为1，侧面展开图是圆心角为 $\frac{2 π}{3}$ 的扇形，则该圆锥的表面积为．

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6、在 $△ A B C$ 中， $D$ 是 $A C$ 中点， $\vec{C B} = 2 \vec{B E}$ ，且 $D E$ 交 $A B$ 于 $F$ ，则（）

A、 $F$ 为 $D E$ 的中点 B、 $\vec{C F} = \frac{1}{3} \vec{C A} + \frac{1}{2} \vec{C B}$ C、若 $\vec{A B} ⊥ \vec{B C}$ ，且 $| \vec{A B} | = 2$ ，则 $\vec{A B} \cdot \vec{D E} = 2$ D、若 $\vec{A B} ⊥ \vec{D E}$ ，则 $∠ A C B$ 的最大值为 $\frac{π}{6}$ ．

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7、如图，已知圆台形水杯盛有牛奶（不计厚度），杯口的直径为4，杯底的直径为2，杯高为4，当杯底水平放置时，牛奶面的高度为水杯高度的一半，若加入37颗大小相同的椰果（球形），椰果沉入杯底，牛奶恰好充满水杯，则（）

A、该水杯侧面积为 $12π$ B、该水杯里牛奶的体积为 $\frac{19}{6} π$ C、放入的椰果半径为 $\frac{1}{2}$ D、该水杯外接球的表面积为 $\frac{425}{16} π$

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8、若复数 $z = - 1 + 2 i$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $z$ 的虚部是 $2 i$ B、 $\bar{z} = - 1 - 2 i$ C、 $| z | = \sqrt{5}$ D、 $\frac{1}{z}$ 在复平面内对应的点在第二象限

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9、已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的最小正周期为 $π$ ，当 $x = \frac{π}{6}$ 时，函数 $f (x)$ 取得最大值，则（）

A、 $f (1) > f (3) > f (5)$ B、 $f (3) > f (1) > f (5)$ C、 $f (5) > f (3) > f (1)$ D、 $f (3) > f (5) > f (1)$

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10、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别是 $a, b, c$ ，下列说法正确的是（）

A、若 $a = b = c = 2$ ，则 $\vec{A B} \cdot \vec{B C} = 2$ B、若 $A = \frac{π}{6}$ ， $a = \sqrt{2}$ ， $c = 2$ ，则 $b = \sqrt{3} + 1$ C、若 $a \cos A = b \cos B$ ，则 $△ A B C$ 是等腰三角形 D、若 $a = 2$ ， $b = 2 \sqrt{2}$ ，满足 $△ A B C$ 有解，则 $0 < A \leq \frac{π}{4}$

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11、若函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} + (5 a - 4) x - 1, x < 0 \\ \log_{a} (x + 2) + 1, x \geq 0 \end{array}$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）满足：对于任意 $x_{1}$ 、 $x_{2} \in R$ 且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $(x_{1} - x_{2}) [f (x_{1}) - f (x_{2})] < 0$ 成立，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0, \frac{\sqrt{2}}{2}]$ B、 $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{4}{5}]$ C、 $[\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{4}{5}]$ D、 $[\frac{4}{5}, 1)$

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12、已知 $\cos (α + β) = \frac{1}{3}$ ， $\sin α \cdot \sin β = \frac{1}{6}$ ，则 $\tan α \cdot \tan β =$ （）

A、3 B、1 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{3}$

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13、在 $△ A B C$ 中， $A = \frac{π}{6}$ ，则“ $\sin B < \frac{1}{2}$ ”是“ $△ A B C$ 是钝角三角形”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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14、已知向量 $\vec{a} = (3, 4)$ ， $\vec{b} = (5, 0)$ ，那么向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量为（）

A、3 B、5 C、 $(3, 0)$ D、 $(\frac{3}{5}, \frac{4}{5})$

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15、设 $A = \{0, 1, 2, 3\}, B = \{x | (x - 1) (x - 2) > 0\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{0, 1\}$ B、 $\{0, 3\}$ C、 $\{1, 2\}$ D、 $\{2, 3\}$

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16、已知抛物线 $E : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上一点 $H (3, y)$ 到其焦点 $F$ 的距离为4．

(1)、求拋物线 $E$ 的方程；

(2)、已知抛物线 $E$ 的准线为 $l, O$ 为坐标原点，若过焦点 $F$ 的动直线与抛物线交于 $A, B$ 两点，直线AO与 $l$ 交于点 $C$ ，
（i）证明：直线 $B C / / x$ 轴；
（ii）过 $A, B$ 两点分别作抛物线的切线 $l_{1}, l_{2}, l_{1}, l_{2}$ 相交于点 $Q$ 且分别与直线 $x = 2$ 相交于点 $M, N$ ，求 $△ Q M N$ 面积的取值范围．

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17、如图，矩形ABCD中， $A B = 1, A D = 3, \vec{A D} = 3 \vec{A E}, \vec{B C} = 3 \vec{F C}$ ．现以EF为折痕把四边形ABFE折起得到平面 $A^{'} B^{'} F E$ ，并连接 $B^{'} D, B B^{'}$ ．

(1)、若 $B^{'} E ⊥ B E$ ，证明： $B^{'} E ⊥$ 平面BEF；

(2)、若 $M$ 为 $B^{'} D$ 的中点， $G \in B F$ ，直线GE与平面 $B^{'} B E$ 所成角正弦值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ．
（i）试讨论在线段AD上是否存在点 $N$ ，使得 $B B^{'} / /$ 平面GMN．若存在，请求出DN的长度；若不存在，请说明理由；
（ii）求平面 $B B^{'} E$ 与平面 $B^{'} D F$ 所成锐二面角的取值范围．

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18、已知函数 $f (x) = \ln x - x$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线与曲线 $y = a x^{2} + (2 a + 3) x - 1$ $(a \in R)$ 只有一个公共点．

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、求证： $f (x) \leq \frac{e^{x - 1}}{x} - 2$ ．

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19、已知数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = 3 a_{n} + 2^{n}$ ．

(1)、证明：数列 $\{a_{n} + 2^{n}\}$ 为等比数列；

(2)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(3)、记数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{n} \geq λ (a_{n} + 2^{n}) + 1$ 对任意 $n \in N^{*}$ 恒成立，求实数 $λ$ 的取值范围．

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20、为了更好地了解中学生的体育锻炼时间，某校展开了一次调查，从全校学生中随机选取 $100$ 人，统计了他们一周参加体育锻炼时间（单位：小时），分别位于区间 $[7, 9), [9, 11), [11, 13), [13, 15)$ ， $[15, 17), [17, 19]$ ，用频率分布直方图表示如下图．假设用频率估计概率，且每个学生参加体育锻炼时间相互独立．

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、估计全校学生一周参加体育锻炼时间的第 $80$ 百分位数；

(3)、从全校学生中随机选取 $3$ 人，记 $X$ 表示这 $3$ 人一周参加体育锻炼时间在区间 $[13, 15)$ 内的人数，求 $X$ 的分布列和数学期望 $E (X)$ ．

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