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相关试卷

1、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的焦距为 $4$ ，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、设 $F$ 为 $C$ 的左焦点， $T$ 为直线 $x = - 3$ 上任意一点，过 $F$ 作 $T F$ 的垂线交 $C$ 于点 $P$ ， $Q$ .
（i）证明： $O T$ 平分线段 $P Q$ （其中 $O$ 为坐标原点）；
（ii）设线段 $P Q$ 的中点为 $M$ ，若 $△ O F T$ 与 $△ O P M$ 面积之积是 $\sqrt{2}$ ，求点 $T$ 的纵坐标.

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2、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A D = 2$ ， $A B = B C = C D = 1$ ， $B C / / A D$ .

(1)、证明：平面 $P A B ⊥$ 平面 $P B D$ ；

(2)、若 $A D$ 与平面 $P B D$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ ，求二面角 $C - P D - B$ 的余弦值.

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3、已知公差不为零的等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{5} = 20$ ，且 $a_{1}$ ， $a_{3}$ ， $a_{7}$ 成等比数列．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = a_{n} + 3^{a_{n}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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4、如图是一座抛物线型拱桥，当水面在l时，拱顶离水面 $2 m$ ，水面宽 $4 m$ ．当水位下降，水面宽为 $6 m$ 时，拱顶到水面的距离是 $m$ ．

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5、若 $\vec{a}$ $= (0, 1, - 1)$ ， $\vec{b}$ $= (1, 1, 0)$ ，且 $(\vec{a} + λ \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ ，则实数 $λ$ 的值是

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6、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $2$ ，点 $E$ 为 $B C$ 中点，动点 $F$ 在正方形 $C D D_{1} C_{1}$ 内（包括边界），则下列说法正确的是（）

A、若 $E F // D_{1} B$ ，则 $E F$ 的长度是 $\sqrt{2}$ B、若 $B_{1} F //$ 平面 $A_{1} B D$ ，则 $F C_{1}$ 的最小值是 $\sqrt{2}$ C、若 $A_{1} E ⊥ B F$ ，则点 $F$ 的轨迹长度是 $\sqrt{2}$ D、若 $C_{1} F ⊥$ 平面 $A_{1} C F$ ，则点 $F$ 的位置唯一

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7、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的公比为q，前n项和 $S_{n} > 0$ ，设 $b_{n} = a_{n + 2} - \frac{3}{2} a_{n + 1}$ ，记 $\{b_{n}\}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，则下列判断正确的是（）

A、若 $q = 1$ ，则 $T_{n} = S_{n}$ B、若 $q > 2$ ，则 $T_{n} > S_{n}$ C、若 $q = - \frac{1}{4}$ ，则 $T_{n} > S_{n}$ D、若 $q = - \frac{3}{4}$ ，则 $T_{n} > S_{n}$

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8、已知圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} = 1$ ， $C_{2} : {(x - 3)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = r^{2} (r > 0)$ ，则下列说法正确的是（）

A、当 $r = 1$ 时，圆 $C_{1}$ 与圆 $C_{2}$ 相离 B、当 $r = 2$ 时， $y = 1$ 是圆 $C_{1}$ 与圆 $C_{2}$ 的一条公切线 C、当 $r = 3$ 时，圆 $C_{1}$ 与圆 $C_{2}$ 相交 D、当 $r = 4$ 时，圆 $C_{1}$ 与圆 $C_{2}$ 的公共弦所在直线方程是 $y = - x + \frac{1}{2}$

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9、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的右焦点为 $F$ ，过 $F$ 的直线 $4 x + 3 y + m = 0$ （ $m$ 为常数）与 $C$ 在第一象限交于点 $P$ .若 $|O P| = |O F|$ （ $O$ 为原点），则 $C$ 的离心率是（）

A、 $\frac{\sqrt{35}}{5}$ B、 $\frac{7}{5}$ C、 $\sqrt{5}$ D、5

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10、已知 $f (x) = \frac{\ln x}{x}$ ，若 $f^{'} (x_{0}) = 1$ ，则（）

A、 $\ln x_{0} = - x_{0} + 1$ B、 $\ln x_{0} = x_{0} - 1$ C、 $\ln x_{0} = - x_{0}^{2} + 1$ D、 $\ln x_{0} = x_{0}^{2} + 1$

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11、如图，八面体的每个面都是正三角形，若四边形 $A B C D$ 是边长为4的正方形，则（）

A、异面直线 $A E$ 和 $D F$ 所成的角为 $\frac{π}{3}$ B、平面 $F A D$ 和平面 $E B C$ 有相同的法向量 C、异面直线 $A B$ 和 $E C$ 的距离为 $\frac{4}{3} \sqrt{6}$ D、二面角 $A - E B - C$ 的余弦值为 $\frac{1}{3}$

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12、已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的函数，对 $\forall x$ 、 $y \in R$ 都有 $f (x + y) - f (x - y) = f (x + 2) f (y + 2)$ ，且满足 $f (0) \neq 0$ .

(1)、判断函数 $f (x)$ 的奇偶性，并证明之；

(2)、证明： $f (x + 8) = f (x)$ ；

(3)、求 $f^{2} (1) + f^{2} (2) + \dots + f^{2} (2025)$ 的值.

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13、一个盒子装有10张卡牌，卡牌背面分别写着10个函数： $y_{1} = x^{2} + \frac{1}{2}$ ， $y_{2} = x + \frac{2}{x}$ ， $y_{3} = sin 2 x$ ， $y_{4} = cos \frac{1}{2} x$ ， $y_{5} = tan 2 x$ ， $y_{6} = \frac{1}{1 + 2^{x}}$ ， $y_{7} = {log}_{2} x$ ， $y_{8} = 2 x + \frac{1}{2}$ ， $y_{9} = - \frac{1}{x}$ ， $y_{10} = - \frac{1}{2}$ .

(1)、现从盒子中逐一抽取卡牌，且每次抽出后均不放回，若取到一张记有奇函数的卡牌则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数 $X$ 的分布列；

(2)、现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，求所得函数是奇函数的概率；

(3)、甲乙两人玩游戏，规则如下：甲先抽1张，接着乙和甲轮流每次抽两张，抽完为卡（最后一次乙只能抽1张）.过程中谁先抽到常数函数卡牌谁就赢（同时游戏结束）.问：这个游戏规则对乙而言公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你设计一款对甲乙均公平的比赛规则.

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14、已知函数 $f (x) = 2 \sin x \cos x - 2 \sqrt{3} \cos^{2} x + \sqrt{3}$

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期和对称中心；

(2)、求 $f (x)$ 的单调递减区间；

(3)、当 $x \in [\frac{π}{2} ， π]$ 时，求函数f(x)的最大值及取得最大值时x的值

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15、（1）已知 $cos θ = - \frac{3}{5}, θ \in (\frac{π}{2}, π)$ ，求 $sin (θ + \frac{π}{3})$ 的值；
（2）已知 $tan α = 3$ ，求 $tan (α + \frac{π}{4})$ 的值；
（3）已知 $sin (β + \frac{π}{6}) = \frac{5}{13}, β$ 是第二象限角，求 $\cos β$ 的值.

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16、（1）将6个相同的小球放入4个编号为 $1, 2, 3, 4$ 的盒子，求恰有一个空盒子的放法的种数.（用数值作答）
（2）用 $0, 1, 2, 3, 4, 5$ 这六个数字能组成多少个无重复数字且为5的倍数的四位数？（用数值作答）
（3）甲乙丙等7人站成一排，要求甲乙两人相邻，但都不与丙相邻，有多少种不同的排法？（用数值作答）

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17、若不等式 $x + 2 \sqrt{x \cdot 2 y} \leq a (x + y)$ 对一切正实数 $x, y$ 恒成立，则实数 $a$ 的最小值为．

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18、设随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (3, 5)$ ，若 $P (X < 2 a - 1) = P (X > a + 2)$ ，则实数 $a =$ .

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19、计算： ${(\frac{8}{27})}^{- \frac{2}{3}} + {log}_{5} 3 - {log}_{5} 15 + cos 120^{\circ} =$ .

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20、设函数 $f (x) = x |x| + b x + c$ ，下列命题中正确的有（）

A、 $c = 0$ 时， $y = f (x)$ 是奇函数 B、 $b = 0, c > 0$ 时，方程 $f (x) = 0$ 只有一个实根 C、 $y = f (x)$ 的图象关于 $(0, c)$ 对称 D、方程 $f (x) = 0$ 至多有两个实根

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