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相关试卷

1、若双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 一条渐近线的倾斜角角为30°，则该双曲线的离心率e为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\sqrt{3}$

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2、已知全集 $U = \{x |x 是小于 10 的质数\}$ ， $A = \{3\}$ ，则 $∁_{U} A$ 的元素个数为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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3、已知 $z = \frac{1 + 2 i}{i}$ ，则 $z$ 的虚部为（）

A、 $i$ B、 $- i$ C、1 D、 $- 1$

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4、已知函数 $f (x) = ln x - e^{t x} (t \in R)$ ，且 $f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线的斜率为 $1 - e$ ．设函数 $f (x)$ 的最大值为 $k$ ．

(1)、求 $t$ 的值；

(2)、求证： $k < - 2$ ；

(3)、若不等式 $e^{2 x + k} - ln (2 x) + 2 \geq m$ ，求实数 $m$ 的最大值．

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5、如图，在平面四边形ABCD中， $B A = B C = 2, B A ⊥ B C$ ， $C A ⊥ C D$ ，将 $△ A C D$ 沿AC翻折，使点 $D$ 到达点 $P$ 的位置，且平面 $P A C ⊥$ 平面ABC.

(1)、证明： $B A ⊥ B P$ ；

(2)、设三棱锥 $P - A B C$ 的各个顶点都在球 $O$ 的球面上，且二面角 $P - A B - C$ 的大小为 $45^{°}$ .
（i）求球 $O$ 的表面积与体积；
（ii）若 $M$ 为线段PC（点 $C$ 除外）上的动点，求直线BM与平面OBC所成角的最大值.

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6、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，三角形 $P A D$ 是以 $A D$ 为斜边的等腰直角三角形，点 $E$ 为线段 $P D$ 的中点， $B C ∥ A D$ ， $C D ⊥ A D$ ， $P C = \sqrt{3}$ ， $A D = 2 C D = 2 B C = 2$ ．

(1)、求证：直线 $C E ∥$ 平面 $P A B$ ；

(2)、求直线 $C E$ 与平面 $P A B$ 间的距离．

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7、已知函数 $f (x) = x^{3} - 6 x$ .

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(2, f (2))$ 处的切线方程；

(2)、当 $x \in (0, + \infty)$ 时，求证： $f (x) \geq - 3 x - 2$ .

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8、已知函数 $f (x) = e^{k x} + 1$ ， $g (x) = (1 + \frac{1}{x}) \ln x$ .若 $k f (x) \geq g (x)$ ，则k的取值范围为.

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9、攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式.如图所示的亭子模型带有攒尖，其屋顶可近似看作一个圆锥，若此圆锥底的面积为4π，体积为 $\frac{4 \sqrt{5}}{3} π ，$ 则将此圆锥展开，所得扇形的圆心角为.

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10、已知函数 $f (x)$ 及其导函数 $f^{'} (x)$ 的定义域为 $R$ ，若 $f (x + 1)$ 与 $f^{'} (x)$ 均为偶函数，且 $f (- 1) + f (1) = 2$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f^{'} (1) = 0$ B、4是 $f (x)$ 的一个周期 C、 $f (2024) = 0$ D、 $f (x)$ 的图象关于点 $(2, 1)$ 对称

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11、下列函数中，既是偶函数又在区间 $(0, + \infty)$ 上单调递增的有（）

A、 $y = x^{\frac{2}{3}}$ B、 $y = x^{3}$ C、 $y = 2^{|x|}$ D、 $y = |x^{2} - 1|$

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12、已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ， $2 x + y = 2$ ，则 $\frac{x y}{x^{2} + 2 y}$ 的最大值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{2}{9}$ C、1 D、 $\frac{1}{4}$

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13、已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x) = f (2 - x)$ ，且在区间 $(1, + \infty)$ 上单调递增，则满足 $f (2 - x) > f (x + 4)$ 的 $x$ 的取值范围为（）

A、 $(- 1, + \infty)$ B、 $(- \infty, - 1)$ C、 $(- 1, 1)$ D、 $(- \infty, 1)$

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14、已知 $x = \log_{3} 2, y = \log_{13} 2, z = e^{\frac{1}{3}}$ ，则（）

A、 $z > x > y$ B、 $z > y > x$ C、 $x > y > z$ D、 $x > z > y$

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15、集合 $A = \{x |\frac{1}{4} \leq 2^{x} \leq 8\}$ ， $B = \{x |\log_{2} (x - a) > 1\}$ ，若 $A \cap B = \emptyset$ ，则a的取值范围为（）

A、 $[- 4, + \infty)$ B、 $(- 4, + \infty)$ C、 $[1, + \infty)$ D、 $(1, + \infty)$

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16、命题“ $\exists a > 0 ， f (x) = a^{x} + {(1 + a)}^{2}$ 是偶函数”的否定形式是（）

A、 $\forall a > 0 ， f (x) = a^{x} + {(1 + a)}^{2}$ 是奇函数 B、 $\forall a > 0 ， f (x) = a^{x} + {(1 + a)}^{2}$ 不是偶函数 C、 $\exists a > 0 ， f (x) = a^{x} + {(1 + a)}^{2}$ 是奇函数 D、 $\exists a > 0 ， f (x) = a^{x} + {(1 + a)}^{2}$ 不是偶函数

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17、记 $S_{n}$ 为等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和， $q$ 为 $\{a_{n}\}$ 的公比， $q > 0 .$ 若 $S_{3} = 7, a_{3} = 1$ ，则（）

A、 $q = \frac{1}{2}$ B、 $a_{5} = \frac{1}{9}$ C、 $S_{5} = 8$ D、 $a_{n} + S_{n} = 8$

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18、已知双曲线C的虚轴长是实轴长的 $\sqrt{7}$ 倍，则C的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $\sqrt{7}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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19、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面 $A B C$ 为正三角形． $A B =$ $A_{1} A = A_{1} B = 4$ ，且 $cos ∠ A_{1} A C = \frac{1}{4}, O$ 为 $A B$ 的中点．

(1)、证明： $A C ⊥ A_{1} O$ ；

(2)、点 $P$ 是线段 $A_{1} O$ 上一点，求使得二面角 $P - B C - C_{1}$ 的正弦值不小于 $\frac{3 \sqrt{10}}{10}$ 的点 $P$ 形成的轨迹长度．

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20、已知 $△ A B C$ ，其内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $\frac{1}{\sin A} = \frac{2 \cos B}{2 \sin C + \sin B}$ ．

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $c = 3$ ， $S_{△ A B C} = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ， $D$ 为 $B C$ 边上的中点，求 $A D$ 的长．

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