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相关试卷

1、在四棱锥 $P - A B C D$ 中，面 $P A D ⊥$ 面 $A B C D$ ， $P A ⊥ P D, P A = P D$ ， $A B ⊥ A D$ ， $A B = 1$ ， $A D = 2$ ， $A C = C D = \sqrt{5}$ ．

(1)、求证：平面 $P C D ⊥$ 平面 $P A B$ ；

(2)、在棱 $P A$ 上是否存在点 $M$ ，使得 $B M / /$ 平面 $P C D$ ？若存在，求 $\frac{A M}{A P}$ 的值；若不存在，说明理由．

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2、设 $△ A B C$ 三个内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $b (2 \cos A + \sin^{2} C) = c \sin B \sin C + b$ ， $c = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ， $△ A B C$ 为锐角三角形， $D$ 是边 $A C$ 的中点，则 $\vec{D B} \cdot \vec{A C}$ 的取值范围是．

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3、已知两平行直线的方向向量分别为 $\vec{a} = (4 - 2 m, m - 1, m - 1)$ ， $\vec{b} = (4, 2 - 2 m, 2 - 2 m)$ ，则实数 $m$ 的值为．

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4、在棱长为 $1$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，已知 $E, F$ 分别为线段 $B_{1} C$ ， $D_{1} C_{1}$ 的中点，点 $P$ 满足 $\vec{D P} = λ \vec{D D_{1}} + μ \vec{D B}$ ， $λ \in [0, 1]$ ， $μ \in [0, 1]$ ，则（）

A、当 $λ + μ = 1$ 时，三棱锥 $D - P E F$ 的体积为 $\frac{1}{24}$ B、当 $λ = μ = \frac{1}{2}$ 时，四棱锥 $P - A B C D$ 外接球半径为 $\frac{3}{2}$ C、 $△ P E F$ 周长的最小值为 $\frac{\sqrt{3} + \sqrt{5}}{2}$ D、若 $A P = \frac{\sqrt{6}}{2}$ ，则点 $P$ 的轨迹长为 $\frac{π}{2}$

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5、先后两次抛掷一枚质地均匀的骰子，得到向上的点数分别为 $x, y$ ，设事件 $A_{1} =$ “ $x + y = 5$ ”，事件 $A_{2} =$ “ $y = x^{2}$ ”，事件 $A_{3} =$ “ $x + 2 y$ 为奇数”，则（）

A、 $P (A_{1}) = \frac{1}{9}$ B、 $P (A_{2}) = \frac{1}{12}$ C、 $A_{1}$ 与 $A_{2}$ 相互独立 D、 $A_{2}$ 与 $A_{3}$ 相互独立

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6、截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角而得到.如图所示，将棱长为6的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面截角，得到所有棱长均为2的截角四面体，则截角四面体各个面所在平面中，两个平面是相交平面的概率为（）

A、 $\frac{1}{7}$ B、 $\frac{2}{7}$ C、 $\frac{5}{7}$ D、 $\frac{6}{7}$

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7、已知事件 $A, B$ 互斥，它们都不发生的概率为 $\frac{1}{3}$ ，且 $P (A) = 2 P (B)$ ，则 $P (\bar{A}) =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{4}{9}$ C、 $\frac{5}{9}$ D、 $\frac{2}{3}$

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8、将除颜色外完全相同的2个红球和1个白球随机放入2个不同的盒子中，每个盒子中至少放入1个球，则2个红球分别放入不同盒子中的概率为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{4}$

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9、已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，点 $F (1, 0)$ 为椭圆的右焦点，过点F且斜率不为0的直线 $l_{1}$ 交椭圆于M，N两点，当 $l_{1}$ 与x轴垂直时， $|M N| = 3$ ．

(1)、求椭圆C的标准方程．

(2)、 $A_{1}$ ， $A_{2}$ 分别为椭圆的左、右顶点，直线 $A_{1} M$ ， $A_{2} N$ 分别与直线 $l_{2}$ ： $x = 1$ 交于P，Q两点，证明：四边形 $O P A_{2} Q$ 为菱形．

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10、已知函数 $f (x) = \frac{\ln x}{x^{2}}$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的最值；

(2)、若函数 $g (x) = e^{x} + x^{4} f (x) - x^{2} - a x$ 有2个零点，求实数a的取值范围．

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11、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧面 $B B_{1} C_{1} C$ 为菱形， $A C = A B_{1}$

(1)、证明： $A B ⊥ B_{1} C$

(2)、若 $A C ⊥ A B_{1}$ ， $∠ C B B_{1} = \frac{π}{3}$ ， $A B = B C = 2$ ，求平面 $A B_{1} C$ 与平面 $A_{1} B_{1} C_{1}$ 夹角的余弦值.

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12、已知数列 $\{a_{n}\}$ 为等差数列，数列 $\{b_{n}\}$ 为正项等比数列，且满足 $a_{1} = b_{1} = 1$ ， $a_{2} = b_{2} + 1$ ， $a_{5} = b_{4} + 1$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $c_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n + 2}} + b_{n}$ ，求数列 $\{c_{n}\}$ 的前 $2 n$ 项和 $S_{2 n}$ ．

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13、已知函数， $f (x) = A sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则（）

A、 $f (\frac{π}{2}) = - \sqrt{3}$ B、将 $y = f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位，得到 $y = A sin x$ 的图象 C、 $\forall x_{1}, x_{2} \in R$ ，都有 $|f (x_{1}) - f (x_{2})| < 4$ D、若方程 $f (x) = 2 m$ 在 $[- \frac{π}{2}, 0]$ 上有两个不相等的实数根，则实数 $m \in (- 1, - \frac{\sqrt{3}}{2}]$

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14、已知二项式 ${(2 + x)}^{10}$ 按照 ${(2 + x)}^{10} = a_{0} + a_{1} (1 - x) + a_{2} {(1 - x)}^{2} + \dots + a_{10} {(1 - x)}^{10}$ 的方式展开，则展开式中 $a_{8}$ 的值为（）

A、90 B、180 C、360 D、405

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15、从装有3个白球和7个红球的口袋中任取1个球，用X表示是否取到白球，即 $X = \{\begin{array}{l} 1, 取到白球 \\ 0, 取到红球 \end{array}$ ，则X的方差D（X）为（）

A、 $\frac{21}{100}$ B、 $\frac{7}{50}$ C、 $\frac{1}{10}$ D、 $\frac{3}{10}$

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16、已知函数 $f (x)$ 是定义域为 $R$ 的偶函数，在区间 $(0, + \infty)$ 上单调递增，且对任意 $x_{1}, x_{2}$ ，均有 $f (x_{1} x_{2}) = f (x_{1}) f (x_{2})$ 成立，则下列函数中符合条件的是（）

A、 $y = ln |x|$ B、 $y = x^{3}$ C、 $y = 2^{|x|}$ D、 $y = |x|$

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17、已知集合 $A = \{x |x - 2 ⩽ 0\}$ ，集合 $B = \{0, 1, 2, 3\}$ ，集合 $C = \{x |- 1 < x < 1\}$ ，则 $(A \cap B) \cup C =$ （）

A、 $(- 1, 1]$ B、 $(- 1, 1] \cup \{2\}$ C、 $(- 1, 2]$ D、 $\{0\}$

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18、设函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ .若实数 $λ$ 满足对任意的 $x_{1}, x_{2} \in R$ ，都有 $f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) \leq \frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2} - λ {(x_{1} - x_{2})}^{2}$ ，则称 $f (x)$ 满足 $P (λ)$ 性质.

(1)、若函数 $f (x) = a x^{2}$ 满足 $P (\frac{1}{2})$ 性质，求实数 $a$ 的取值范围.

(2)、设 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x) (x \in R)$ ，且对任意的 $x_{1}, x_{2} \in R, x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $[f^{'} (x_{1}) - f^{'} (x_{2})] (x_{1} - x_{2}) > 8 λ {(x_{1} - x_{2})}^{2}$ .
（i）证明： $f (x)$ 满足 $P (λ)$ 性质.
（ii）已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n} = \frac{f (n)}{n} - 4 λ n (n \in N^{*})$ ，若 $f (0) = 0$ ，证明： $a_{n + 1} \geq a_{n}$ .

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19、已知抛物线 $T : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ ，过抛物线上一点 $A (1, p)$ 作两条直线 $l_{1}, l_{2}$ 分别交抛物线 $T$ 于 $B, C$ 两点，直线 $l_{1}, l_{2}$ 的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ ，且 $k_{1} k_{2} = - 4$ .

(1)、求抛物线 $T$ 的方程.

(2)、证明：直线 $B C$ 过定点.

(3)、记直线 $B C$ 经过的定点为 $M, N$ 为直线 $B C$ 上一点（异于点 $M$ ），且满足 $\frac{|B M|}{|C M|} = \frac{|B N|}{|C N|}$ ，证明点 $N$ 在某定直线上，并求出该定直线的方程.

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20、如图所示，在边长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E, F$ 分别是棱 $A B, B C$ 上的点（异于端点），且 $A E = F C$ ．

(1)、证明： $A_{1} E$ 与 $C_{1} F$ 相交且交点在直线 $B B_{1}$ 上．

(2)、当直线 $A_{1} B_{1}$ 与平面 $C_{1} A_{1} E$ 所成角的正弦值为 $\frac{2}{3}$ 时，求 $A E$ 的值．

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