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相关试卷

1、“ $a = - 1$ ”是“函数 $y = a x^{2} + 2 x - 1$ 只有一个零点”的（）

A、充要条件 B、必要不充分条件 C、充分不必要条件 D、既不充分也不必要条件

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2、以下四个命题中，其中真命题为（）

A、在回归分析中，可用相关指数 $R^{2}$ 的值判断模型的拟合效果， $R^{2}$ 越大，模型的拟合效果越好； B、两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的越大； C、若数据 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， …， $x_{n}$ 的方差为1，则 $\frac{1}{2} x_{1}$ ， $\frac{1}{2} x_{2}$ ， …， $\frac{1}{2} x_{n}$ 的方差为 $\frac{1}{2}$ ； D、对分类变量 $x$ 与 $y$ 的随机变量 $K^{2}$ 的观测值 $k$ 来说， $k$ 越小，判断“ $x$ 与 $y$ 有关系”的把握程度越大．

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3、在等差数列 $\{a_{n}\}$ 中，若 $a_{2} + a_{8} = 10$ ， $a_{4} = 4$ ，则公差 $d =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、 $1$ D、 $2$

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4、已知函数 $f (x) = 3 f^{'} (1) x - x^{2} + \ln x + \frac{1}{2}$ ，则 $f^{'} (1) =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、2 C、 $\frac{1}{4}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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5、若随机变量 $X ~ N (2, σ^{2})$ ，且 $P (X > 3) = 0.3$ ，则 $P (1 < X < 3) =$ （）

A、0.4 B、0.5 C、0.6 D、0.7

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6、在锐角 $△ A B C$ 中， $a, b, c$ 是角 $A, B, C$ 的对边，若满足 $\sqrt{3} c = b \sin A + \sqrt{3} b \cos A$ .

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、求 $\sin A + \sin C$ 取值范围；

(3)、当 $\sin A + \sin C$ 取得最大值时，在 $△ A B C$ 所在平面内取一点 $D$ （ $D$ 与 $B$ 在 $A C$ 两侧），使得线段 $D C = 2, D A = 1$ ，求 $△ B C D$ 面积的最大值．

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7、函数 $f (x) = 4 \sin x \cos x - 4 \cos^{2} x + 2$ ，

(1)、把 $f (x)$ 的单调减区间

(2)、求 $f (x)$ 在区间 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的最大值和最小值及取最值时相应x的值

(3)、把 $y = f (x)$ 图象上所有点的横坐标变为原来的2倍得到函数 $y = g (x)$ 的图象，再把函数 $y = g (x)$ 图象上所有的点向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度，得到函数 $y = h (x)$ 的图象，若函数 $y = h (x) - \sqrt{2}$ 在区间 $[0, m]$ 上至少有20个零点，求m的最小值．

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8、已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0)$ 的部分图象如图所示，则 $f (\frac{2025 π}{2}) =$

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9、已知 $\tan α = 2$ ，则 $\sin^{2} α - 3 \sin α \cos α =$

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10、已知向量 $\vec{a} = (2, m), \vec{b} = (- 1, m)$ ，若 $2 \vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{b}$ 垂直，则正数m的值为．

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11、已知函数 $f (x) = sin 2 x$ 和 $g (x) = sin (2 x - \frac{π}{3})$ ，则（）

A、 $f (x)$ 和 $g (x)$ 的最小正周期相同 B、 $f (x)$ 和 $g (x)$ 在区间 $(0, \frac{π}{4})$ 上的单调性相同 C、 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度得到 $g (x)$ 的图象 D、 $f (x)$ 和 $g (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{3}$ 对称

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12、设向量 $\vec{a} = (2, 0), \vec{b} = (1, 1)$ ，则（）

A、 $|\vec{a}| = |\vec{b}|$ B、 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角是 $\frac{π}{4}$ C、 $(\vec{a} - \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ D、向量 $\vec{b}$ 在向量 $\vec{a}$ 上的投影向量是 $\vec{a}$

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13、若复数 $z_{1} = 2 - i, z_{2} = 3 + 4 i$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $|\bar{z_{2}}| = |z_{2}|$ B、 $z_{1} - z_{2}$ 的虚部是 $- 5 i$ C、在复平面内， $\bar{z_{2}}$ 所对应的点在第四象限 D、在复数范围内， $z_{1}$ 是方程 $x^{2} - 4 x + 5 = 0$ 的根

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14、如果 $\vec{a}, \vec{b}$ 是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是（）

A、 $\vec{a} = \vec{b}$ B、 ${|\vec{a}|}^{2} = {|\vec{b}|}^{2}$ C、 ${\vec{a}}^{2} \neq {\vec{b}}^{2}$ D、 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$

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15、在 $△ A B C$ 中，已知 $a = \sqrt{3}$ ， $b = \sqrt{2}$ ， $A = 60^{\circ}$ ，则角 $B$ 的值为（）

A、 $45^{\circ}$ 或 $135^{\circ}$ B、 $45^{\circ}$ C、 $135^{\circ}$ D、 $30^{\circ}$ 或 $150^{\circ}$

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16、函数 $y = f (x)$ 的定义域为 $D$ ；
①若对 $\forall x_{1}, x_{2} \in D$ ，都有 $\frac{1}{2} [f (x_{1}) + f (x_{2})] \leq f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2})$ 成立，则称 $y = f (x)$ 在 $D$ 上为凹函数（当且仅当 $x_{1} = x_{2}$ 时，等号成立），且凹函数有以下性质：对 $\forall x_{i} \in D (i = 1, 2, \cdot \cdot \cdot, n)$ 都有 $\frac{1}{n} [f (x_{1}) + f (x_{2}) + \cdot \cdot \cdot + f (x_{n})] \leq f (\frac{x_{1} + x_{2} + \cdot \cdot \cdot + x_{n}}{n})$ （当且仅当 $x_{1} = x_{2} = \cdot \cdot \cdot = x_{n}$ 时，等号成立）.
②若对 $\forall x_{1}, x_{2} \in D$ ，都有 $\frac{1}{2} [f (x_{1}) + f (x_{2})] \geq f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2})$ 成立，则称 $y = f (x)$ 在 $D$ 上为凸函数（当且仅当 $x_{1} = x_{2}$ 时，等号成立），且凸函数有以下性质：对 $\forall x_{i} \in D (i = 1, 2, \cdot \cdot \cdot, n)$ 都有 $\frac{1}{n} [f (x_{1}) + f (x_{2}) + \cdot \cdot \cdot + f (x_{n})] \geq f (\frac{x_{1} + x_{2} + \cdot \cdot \cdot + x_{n}}{n})$ （当且仅当 $x_{1} = x_{2} = \cdot \cdot \cdot = x_{n}$ 时，等号成立）.

(1)、判断函数 $f (x) = sin x$ 在 $(0, π)$ 上是否具有凹凸性，并用上述定义法证明你的结论.

(2)、设 $L$ 为 $△ A B C$ 的周长， $S$ 为 $△ A B C$ 的面积；
（i）求： $sin A + sin B + sin C$ 的取值范围；
（ii）证明： $L^{2} \geq 12 \sqrt{3} S$ .

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17、2025年，某卫视推出了“最强大脑围棋版争霸赛”，堪称围棋界史上最激烈的国际赛事，以“棋艺封神，一站扬名”为口号，致力于推广围棋文化和智力竞技.受此启发，某中学为了让学生亲身体验围棋比赛的精彩和激烈，激发学生的思维活力，特别举办了“校园棋王争霸赛”.根据已报名的学生资料统计，有 $\frac{3}{5}$ 的学生学过围棋，将频率视为概率.

(1)、从已报名选手中任取3名学生，记其中学过围棋的学生数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列与数学期望 $E (X)$ ；

(2)、经过海选，最终决定 $Q_{1}$ 、 $Q_{2}$ 、 $Q_{3}$ 、 $Q_{4}$ 、 $Q_{5}$ 、 $Q_{6}$ 、 $Q_{7}$ 、 $Q_{8}$ 八位棋手参加棋王争霸赛，比赛分预赛、半决赛和决赛三个阶段，采用淘汰制决出冠军.预赛共有四场，八位棋手赛前抽签确定比赛位置，获胜的四人进入半决赛，依次类推，在决赛中，胜者为冠军，负者为亚军。已知 $Q_{2}$ ~ $Q_{8}$ 这7位棋手互相对弈时，获胜概率均为 $\frac{1}{2}$ ， $Q_{1}$ 棋手与其他棋手对弈时， $Q_{1}$ 获胜的概率为 $\frac{3}{4}$ ，每局对弈结果相互独立，无和棋情况.
（ⅰ）求棋手 $Q_{2}$ 最终夺冠的概率；
（ⅱ）求棋手 $Q_{2}$ 与 $Q_{1}$ 有过对弈且最终 $Q_{2}$ 获得亚军的概率.

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18、如图，已知四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，点 $C_{1}$ 在底面 $A B C D$ 上的射影 $Q$ 落在线段 $A C$ 上（不含端点），底面 $A B C D$ 为直角梯形， $A D // B C$ ， $A B ⊥ A D$ ， $A B = 2 \sqrt{2}$ ， $B C = 2 A D = 4$ .

(1)、求证： $B D ⊥$ 平面 $A C C_{1} A_{1}$ ；

(2)、若二面角 $B_{1} - B C - A$ 的大小为 $\frac{π}{3}$ ；
（ⅰ）求直线 $C C_{1}$ 与平面 $A B C D$ 所成的角；
（ⅱ）若四边形 $A C C_{1} A_{1}$ 为等腰梯形， $C C_{1} = \sqrt{3}$ ，求平面 $Q A_{1} B_{1}$ 与平面 $A B C D$ 夹角的正切值.

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19、已知平面向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 1$ ， $|\vec{b}| = 2$ ， $(2 \vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = - 3$ .

(1)、求 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量（结果用 $\vec{b}$ 表示）；

(2)、求 $cos ⟨\vec{a}, \vec{a} + \vec{b}⟩$ ；

(3)、若 $\vec{a} \cdot \vec{c} = \vec{b} \cdot \vec{c} = 2$ ，求 $|\vec{c}|$ .

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20、在 $△ A B C$ 中， $a$ 、 $b$ 、 $c$ 分别为 $△ A B C$ 的内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边，满足 $a^{2} + b^{2} = c^{2} - a b$ ， $D$ 为 $A B$ 的中点.

(1)、求角 $C$ 的大小；

(2)、若 $a = 3$ ， $b = 4$ ，求线段 $C D$ 的长度.

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