广西壮族自治区河池市2026届高三毕业班3月教学质量联合测试数学试题

试卷更新日期：2026-03-26 类型：高考模拟

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. ${(\frac{1 + 2 i}{2 - i})}^{5} =$ （）

A、1 B、 $- 1$ C、 $i$ D、 $- i$

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2. 已知集合 $A = \{x |- 3 \leq x < 1\}$ ， $B = \{x |0 < x + 1 < 4\}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $\{x |- 3 \leq x < 3\}$ B、 $\{x |x < 3\}$ C、 $\{x | - 3 \leq x < 1\}$ D、 $\{x |x \geq - 3\}$

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3. 已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 2, |\vec{b}| = 3, (\vec{a} - \vec{b}) \cdot \vec{a} = 1$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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4. 已知某圆锥的轴截面是顶角为 $α$ 的等腰三角形，侧面展开图是圆心角为 $β$ 的扇形，则（）

A、 $β = π \sin α$ B、 $β = 2 π \sin α$ C、 $β = π \sin \frac{α}{2}$ D、 $β = 2 π \sin \frac{α}{2}$

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5. 在一次校园活动的组织过程中，由甲、乙等5名同学负责接待、咨询、向导三个志愿者服务项目，每名同学只负责一个服务项目，且每个服务项目至少有一名同学负责．若甲、乙两人负责同一个服务项目，则不同的安排方案共有（）

A、18种 B、36种 C、48种 D、54种

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6. 如图，函数 $f (x) = \sin (ω x + φ) (ω > 0)$ 的图象与 $y$ 轴交于点 $P (0, - \frac{1}{2})$ ，若 $f (x)$ 的最小正周期为 $\frac{4 π}{3}$ ，则 $f (\frac{π}{3}) =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $- 1$

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7. 已知椭圆 $C$ 以 $A (- 1, 0)$ 和 $B (1, 0)$ 为焦点，且与直线 $l : y = - x + 3$ 相切，则椭圆 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{15}}{5}$ D、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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8. 若关于 $x$ 的方程 $e^{x} = a ln (x - 1) + a ln a - a$ 在 $(1, + \infty)$ 上有解，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $（ 0, 2]$ B、 $[2, + \infty ）$ C、 $(0, e^{2}]$ D、 $[e^{2}, + \infty)$

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二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. 下列结论正确的是（）

A、样本数据12，13，15，18，19，21，23，24，26，27的第70百分位数为23 B、若一组样本数据 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{10}$ 的方差 $s^{2} = \frac{1}{10} [{(x_{1} - 6)}^{2} + {(x_{2} - 6)}^{2} + \dots + {(x_{10} - 6)}^{2}]$ ，则这组样本数据的总和为60 C、若随机变量 $X$ 服从二项分布 $B (6, \frac{1}{2}), Y = 2 X + 3$ ，则 $E (Y) = 9$ D、若随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (6, σ^{2})$ ，且 $P (3 < X < 6) = 0.35$ ，则 $P (X > 9) = 0.15$

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10. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = a_{n}^{2} + a_{n}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $\{a_{n}\}$ 是递增数列 B、当 $n > 2$ 时， $a_{n} > n$ C、 $a_{2026} \leq 2^{2025}$ D、 $\frac{1}{a_{1} + 1} + \frac{1}{a_{2} + 1} + \dots + \frac{1}{a_{n} + 1} < 1$

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11. 如图，平面 $A B N ⊥$ 平面 $α ， M$ 为线段 $A B$ 的中点， $A B = M N = 2, A N > B N$ ，直线 $M N$ 与平面 $α$ 所成角的大小为 $30^{\circ} ， P$ 为平面 $α$ 内的动点，则下列说法正确的是（）

A、球心为 $N$ 、半径为 $\sqrt{2}$ 的球面被平面 $α$ 截得的圆周长为 $2 π$ B、若点 $P$ 到点 $M$ 和点 $N$ 的距离相等，则点 $P$ 的轨迹是抛物线 C、若点 $P$ 到直线 $M N$ 的距离为 $\sqrt{3}$ ，则 $∠ A P B$ 的最大值为 $60^{\circ}$ D、满足 $∠ M N P = 45^{\circ}$ 的点 $P$ 的轨迹是椭圆

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. ${(2 x - y)}^{5}$ 的展开式中 $x^{2} y^{3}$ 的系数为．

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13. $tan 25^{\circ} + tan 50^{\circ} + (2 + \sqrt{3}) tan 25^{\circ} tan 50^{\circ} =$ ．

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14. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，其一条渐近线的斜率为 $\sqrt{3}$ ，过点 $F_{2}$ 且斜率存在的直线 $l$ 与 $C$ 的右支交于 $P, Q$ 两点．若 $A, B$ 分别为 $△ P F_{1} F_{2}$ 和 $△ Q F_{1} F_{2}$ 的内心，且四边形 $A F_{1} B F_{2}$ 的面积为 $2 \sqrt{5} a^{2}$ ，则直线 $l$ 的斜率的绝对值为．

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四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 如图，在 $△ A B C$ 中， $D$ 为 $A C$ 的中点，且 $∠ A B C + ∠ D B C = π$ ．

(1)、求 $\frac{B A}{B D}$ ；

(2)、若 $A C = 3 B C$ ，求 $∠ B C D$ ．

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16. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A B / / C D ， B C = C D = 2 ， A B = 4 ， P C = P D = 3$ ，平面 $P C D ⊥$ 平面 $A B C D ， P D ⊥ B C ， Q$ 是棱 $P C$ 的中点．

(1)、求证： $B C ⊥$ 平面 $P C D$ ；

(2)、求平面 $A B Q$ 与平面 $P B C$ 夹角的余弦值．

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17. 已知函数 $f (x) = a \ln x - 2 x + 2 a (a \in R)$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的极值；

(2)、当 $a > \frac{2}{e^{2}}$ 时，证明： $a^{2} e^{x} > x f (x) + 2 x^{2} - 2 a x$ ．

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18. 已知抛物线 $E ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ ，过 $E$ 上一动点 $A$ 作斜率为2的直线 $l, l$ 与 $E$ 交于另一点 $B$ ，当点 $A$ 与原点 $O$ 重合时， $|A B| = \sqrt{5}$ ．

(1)、求 $p$ ．

(2)、当 $l$ 不经过点 $N (4, 1)$ 时，直线 $A N$ 与 $E$ 交于另一点 $C$ ，直线 $B N$ 与 $E$ 交于另一点 $D$ ．
（i）证明： $A B / / C D$ ；
（ii）试判断直线 $A D$ 与 $B C$ 是否交于定点，若是，请求出定点的坐标，否则，请说明理由．

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19. 每届高考结束后，某校各班都要推荐优秀学生代表作为嘉宾与下一届学生进行学习经验分享.2025届高三年级班号依次为 $0, 1, 2, \dots, 27$ ，高三0班的优秀学生代表为2名男生和2名女生，其余各班的优秀学生代表均为1名男生和1名女生．第一场分享会的4名学生嘉宾由从高三0班的优秀学生代表中选出的2名和高三1班的2名优秀学生代表共同组成，第二场分享会的4名学生嘉宾由从上一场的4名嘉宾中选出的2名和高三2班的2名优秀学生代表共同组成，．．．，按照这样的方式，依次进行到第二十七场分享会．

(1)、求第一场分享会的学生嘉宾中恰有2名男生的概率；

(2)、求第二场分享会的学生嘉宾中恰有2名男生的概率；

(3)、记第二十七场分享会的学生嘉宾中男生人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望．

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