河北唐山市2026届高三第一次模拟演练数学试题

试卷更新日期：2026-03-11 类型：高考模拟

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 样本数据1，2，3，6，12，24的中位数为（）

A、8 B、6 C、 $4.5$ D、3

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2. $\bar{z}$ 表示复数z的共轭复数，若 $z = 3 + 4 i$ ，则 $| z | + \bar{z} =$ （）

A、 $2 - 4i$ B、 $8 - 4 i$ C、 $22 - 4 i$ D、 $28 - 4 i$

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3. 已知全集U及其两个非空真子集M，N，则 $∁_{U} (M \cup N) =$ （）

A、 $\emptyset$ B、 $M \cap N$ C、 $(∁_{U} M) \cap (∁_{U} N)$ D、 $(∁_{U} M) \cup (∁_{U} N)$

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4. 记 $S_{n}$ 为等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和，若 $a_{2} = 2$ ， $S_{7} = 35$ ，则 $a_{8} =$ （）

A、11 B、9 C、8 D、5

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5. 某学校组织同学们假期参加社区服务活动，4名同学被分配到甲、乙两个社区，每个社区至少一名同学，不同的分配方案有（）

A、6种 B、12种 C、14种 D、28种

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6. 若x为锐角，且 $(2 \sin x - 1) (\sqrt{2} \cos x - 1) > 0$ .则x的取值范围是（）

A、 $(0, \frac{π}{6})$ B、 $(\frac{π}{6}, \frac{π}{4})$ C、 $(\frac{π}{4}, \frac{π}{3})$ D、 $(\frac{π}{3}, \frac{π}{2})$

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7. 等轴双曲线C的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，以 $F_{1} F_{2}$ 为直径的圆O与双曲线C交于M，N，P，Q四点.设四边形 $M N P Q$ 的面积为 $S_{1}$ ，圆O的面积为 $S_{2}$ ， O为坐标原点，则（）

A、 $\frac{S_{1}}{S_{2}} = \frac{3}{2 π}$ B、 $\frac{S_{1}}{S_{2}} = \frac{\sqrt{3}}{π}$ C、 $\frac{S_{1}}{S_{2}} = \frac{2}{π}$ D、 $\frac{S_{1}}{S_{2}} = \frac{3}{π}$

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8. 已知 $\cos α \cos β = \cos α - \cos β$ ， $M = \cos α - \cos β$ ， $N = \cos α + \cos β$ ，则（）

A、M的最小值为 $- \frac{1}{2}$ B、M的最大值为1 C、N的最小值为0 D、N的最大值为 $\frac{3}{2}$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 已知 $a_{n} = 2^{n}$ ， $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和，则下列结论正确的有（）

A、 $\{a_{n}\}$ 是等比数列 B、 $S_{n} = 2^{n} - 2$ C、 ${\frac{1}{a_{n}}}$ 是递减数列 D、 $\{a_{n}\}$ 中存在连续三项成等差数列

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10. 若函数 $y = g (x)$ 与函数 $f (x) = x e^{x}$ 的图象关于y轴对称，则（）

A、 $f (x)$ 与 $g (x)$ 有相同的零点 B、 $f (x) + g (x)$ 为偶函数 C、 $f (x)$ 与 $g (x)$ 有相同的极值点 D、对任意的 $x \in R$ ，都有 $f (x) + g (x) \geq 0$

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11. O为坐标原点，抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 的准线与x轴的交点为M，直线l与x轴交于点N，与抛物线C交于A，B两点，满足 $O A ⊥ O B$ ，作 $O D ⊥ l$ 于D，则（）

A、N的横坐标是4 B、 $| N A | \cdot | N B | \leq | O N |^{2}$ C、直线 $M D$ 斜率的最大为 $\frac{2}{3}$ D、当直线 $M A$ 与C相切时， $| B N | = 4 | A N |$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 已知 $f (x) = x | x - 2 |$ ，若 $f (x) = 3$ ，则 $x =$ .

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13. 已知点 $A (1, 1)$ ， $B (5, 3)$ ，若将 $\vec{A B}$ 绕点A逆时针旋转 $90 °$ 得到 $\vec{A C}$ ，则点C的坐标为.

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14. 若一个棱长为 $2 \sqrt{2}$ 的正四面体可以绕其中心在一个封闭的圆锥形容器（容器壁厚度忽略不计）内任意转动，则此圆锥体积的最小值为.

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $B C = P B = P C = 2$ ， $B C ⊥ A P$ ， D是 $B C$ 的中点.

(1)、证明：平面 $A B C ⊥$ 平面 $A P D$ ；

(2)、若 $A D = 1$ ，三棱锥 $P - A B C$ 的体积为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，求直线 $P C$ 与平面 $P A B$ 所成角的正弦值.

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16. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，其左顶点为A，上顶点为B， $△ A O B$ 的面积是1，其中O是原点，平行于 $A B$ 的直线l与C交于M，N.

(1)、求C的方程；

(2)、是否存在这样的直线l，使以A，B，N，M为顶点的四边形为等腰梯形？若存在，求此时l的方程；若不存在，请说明理由.

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17. 记 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知 $\cos 2 A + \cos 2 B = 2 \cos 2 C$ .

(1)、证明： $a^{2} + b^{2} = 2 c^{2}$ ；

(2)、若 $\frac{b}{c} = \frac{\sin A}{\sqrt{3}}$ ，求A.

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18. 函数 $f (x) = a \ln x - x + \frac{1}{x}$ ， $g (x) = x \ln x - x + 1$ .

(1)、若 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递减，求a的取值范围；

(2)、若曲线 $y = f (x)$ 与 $y = g (x)$ 在 $x = 1$ 处有相同的切线，
（i）求a的值；
（ⅱ）若 $f (x_{1}) = g (x_{2})$ ，证明： $x_{1} \cdot x_{2} \leq 1$ .

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19. 某销售公司为了激励员工，对销售冠军——员工甲进行奖励，奖励方案为：在一个盲盒里，有n（足够多）张奖券，这些奖券的金额各不相等，其最大值为M，但金额具体是多少，并未公开.该员工甲需逐张随机抽取并查看金额，如果对抽取的奖券不满意就弃掉，继续抽奖（弃掉的奖券不能再抽取），如果对这张奖券比较满意就保留，从而停止抽奖，公司将以此奖券金额作为奖励.

(1)、若甲抽取了两张，把第2张奖券保留下来，求甲获得最大金额奖励M的概率；

(2)、若甲先抽取了k（ $k \in N^{*}$ ，且 $k < n$ ）张奖券，记录下其中的最大金额为m，然后继续抽取，若抽到奖券的金额小于m，就继续抽，当抽到第i（ $i \in N^{*}$ ， $k < i \leq n$ ）张奖券时，其金额大于m，则保留该奖券，停止抽奖，若未抽到金额大于m的奖券，则保留第n张.
（ⅰ）若 $n = 5$ ，当 $k = 2$ 时，求甲获得最大金额奖励M的概率p；
（ⅱ）当调整k的取值时，甲获得最大金额奖励M的概率p也会发生变化.若 $n = 100$ ，请估计p的最大值，并求此时k的值.
（估值参考：当 $n \geq 100$ 时， $\sum_{i = k}^{n - 1} \frac{1}{i} \approx \ln \frac{n}{k}$ ， $e \approx 2.72$ ， $0.36 \ln 0.36 \approx - 0.3678$ ， $0.37 \ln 0.37 \approx - 0.3679$ .）

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