河北省承德市承德县第一中学2026届高三下学期一模数学试题

试卷更新日期：2026-03-24 类型：高考模拟

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合 $M = \{- 1, 0, 1, 2\}$ ， $N = \{x| y = \sqrt{x - 1}\}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 $\{2\}$ B、 $(1, 2]$ C、 $[1, 2]$ D、 $\{1, 2\}$

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2. 若复数 $z$ 满足 $z (1 + i) = 2 i$ ，则 $|z| =$ （）

A、 $1$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $2$

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3. 已知向量 $\vec{a} = (3, 6)$ ， $\vec{b} = (0, 2)$ ，若 $\vec{b}$ 与 $\vec{a} + λ \vec{b}$ 的夹角的余弦值为 $\frac{4}{5}$ ，则 $λ$ 的值为（）

A、 $- 1$ B、 $- 5$ C、 $- 1$ 或 $- 5$ D、无法确定

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4. 已知某函数的大致图象如图所示，则该函数的解析式可能为（）

A、 $y = \frac{sin x}{x^{2} + 1}$ B、 $y = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2 (e^{x} + e^{- x})}$ C、 $y = \frac{cos x}{x^{2} + 1}$ D、 $y = \frac{x}{x^{2} + 1}$

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5. 已知直线 $x + y = 2$ 与坐标轴分别交于A，B两点，在圆 ${(x - a)}^{2} + {(y - a)}^{2} = 2$ $(a > 0)$ 上仅存在一点P，使 $P A ⊥ P B$ ，则 $a =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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6. 记 ${(2 x + 1)}^{2025} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{2025} x^{2025}$ ，若 $f (x) = a_{2025} + a_{2024} x + \dots + a_{0} x^{2025}$ ，则 $f (2) =$ （）

A、1 B、 $2^{2025}$ C、 $4^{2025}$ D、 $5^{2025}$

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7. 已知把函数 $f (x) = 2 sin (ω x + \frac{π}{3}) - 1$ （ $ω > 0$ ）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ ，纵坐标不变得到函数 $g (x)$ 的图象，若 $g (x)$ 在区间 $[0, \frac{π}{2}]$ 上有三个零点，则 $ω$ 的取值范围为（）

A、 $(\frac{5}{2}, \frac{23}{6}]$ B、 $[\frac{5}{2}, \frac{23}{6})$ C、 $[\frac{11}{6}, \frac{5}{2})$ D、 $(\frac{11}{6}, \frac{5}{2}]$

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8. 已知集合 $M = {(x, y) | x^{4} + a x + a - 2025 = 0$ 且 $x y + y = 2024}$ ，若M中任意元素均在曲线 $y = x^{3}$ 的下方，则符合条件的整数a的最大值是（）

A、0 B、1 C、2 D、2025

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 已知曲线 $C : \frac{x^{2}}{2 m - 1} + \frac{y^{2}}{7 - 2 m} = 1$ ，则下列说法正确的（）

A、若 $m = 1$ ，则曲线 $C$ 的焦距为4 B、若 $m = 0$ ，则曲线 $C$ 表示双曲线，且其渐近线方程为 $y = \pm \sqrt{7} x$ C、若曲线 $C$ 表示椭圆，则 $\frac{1}{2} < m < \frac{7}{2}$ D、 $m > 4$ 是曲线 $C$ 表示焦点在 $x$ 轴上的双曲线的充分不必要条件

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10. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} - 2 a_{n} = - 3^{n}$ ，设 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $a_{2} = - 1$ B、数列 $(a_{n} + 3^{n})$ 是等比数列 C、 $S_{n} = \frac{2^{n + 3} - 3^{n + 1} - 5}{2}$ D、数列 $\{a_{n}\}$ 中存在最小项

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11. 已知在直角 $△ A B C$ 中， $∠ A = 3 ∠ B = 90 °$ ， $A C = 1$ ， AD为边BC上的中线，将 $△ A B D$ 沿边AD翻折至 $△ A B^{'} D$ ，则下列选项正确的是（）

A、 $sin ∠ B^{'} A D = \frac{1}{2}$ B、三棱锥 $B^{'} - A C D$ 的体积的最大值为 $\frac{1}{8}$ C、存在某个位置使得平面 $A B^{'} D ⊥$ 平面 $A B^{'} C$ D、三棱锥 $B^{'} - A C D$ 的外接球的体积最小值为 $\frac{13 \sqrt{39}}{54} π$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 已知函数 $f (x) = ln x + a x + \frac{1}{2} x^{2}$ 是增函数，则实数a的取值范围是．

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13. 将标号为1，1，2，2，3，4的6张不同卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张标号不同的卡片，则不同的放法共有种．

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14. 设数列 $\{a_{n}\}$ ， $\{b_{n}\}$ 满足 $a_{1} = b_{1} = 1$ ， $a_{n} + b_{n + 1} = 2 n$ ， $a_{n + 1} - b_{n} = n - 1$ ，设 $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n} - b_{n}\}$ 的前n项和，则 $S_{30} =$ ．

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 2025年9月3日在天安门广场举行纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵式，这不仅是一场军事盛宴，更是一次民族精神的洗礼．某中学为了增强学生的爱国主义情怀，减轻学习压力，决定组织一次军事知识竞赛．为了了解学生喜欢军事是否与性别有关，随机抽取了100名学生进行调查，已知女生中有15名喜欢军事，男生中有 $\frac{3}{5}$ 的人喜欢军事，喜欢军事的学生中有 $\frac{2}{3}$ 是男生．参加竞赛的学生从喜欢军事的学生中选取，测试题型分为选择题与填空题两种，每次由电脑随机选出一道，选择题与填空题出现的频率之比为 $2 : 1$ ，已知学生答对选择题的概率为 $\frac{3}{4}$ ，答对填空题的概率为 $\frac{1}{2}$ ，每次答题互不影响．

喜欢军事
不喜欢军事
合计
男生

女生
15

合计

(1)、根据已知条件补充完整上表，并根据小概率值 $α = 0.001$ 的独立性检验，分析该校学生喜欢军事是否与性别有关；

(2)、若每位学生答3题，求该学生答对题数X的分布列和数学期望．
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．
$α$
$0.01$
$0.005$
$0.001$
$x_{α}$
$6.635$
$7.879$
$10.828$

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16. 已知三棱锥P-ABC中， $∠ A B C = 90 °$ ， $A B = B C = 2$ ， D为AC中点，M为BD中点，平面 $P B D ⊥$ 平面ABC，点P到平面ABC的距离为2．

(1)、证明： $A C ⊥ P M$ ；

(2)、若 $P M = 2$ ，求平面APB与平面CPB夹角的余弦值．

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17. 已知 $△ A B C$ 内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且满足 $a = 2$ ， $b (\sqrt{3} - cos A) = 2 cos B$ ，面积 $S = \frac{\sqrt{3}}{8} (b^{2} + c^{2})$ ，动点 $D, E$ 在边 $B C$ 上， $D, E$ 不重合且 $∠ D A E = 60 °$ ．

(1)、求角 $B$ ；

(2)、求 $A D + A E$ 的最小值．

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18. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{4} = 1 (a > 2)$ ， $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 分别为它的左、右焦点，离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、若点 $A$ 是椭圆 $C$ 上任意一点，求 $△ A F_{1} F_{2}$ 的内切圆半径 $r$ 的最大值；

(3)、过点 $F_{2}$ 分别作直线 $l_{1}$ 与椭圆交于 $M$ 、 $N$ 两点，作直线 $l_{2}$ 与椭圆交于 $P$ 、 $Q$ 两点，其中点 $M$ 、 $P$ 位于第一象限，直线 $l$ 过点 $F_{2}$ 且与 $x$ 轴垂直，直线 $M Q$ 、 $N P$ 与直线 $l$ 分别交于点 $C$ 、 $D$ ，证明：点 $F_{2}$ 为 $C D$ 中点．

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19. 已知函数 $f (x) = \frac{e^{x}}{x} - a x + a ln x$ ．

(1)、当 $a = 0$ 时，求曲线在点 $(1, e)$ 处的切线方程；

(2)、当 $a \leq e$ 时，讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(3)、若 $f (x)$ 有两个极小值点 $x_{1}$ ， $x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ，且对任意满足条件的 $x_{1}, x_{2}$ ，都有 $2 x_{1} + x_{2} \geq m$ 恒成立，求符合条件的整数m的最大值．

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	喜欢军事	不喜欢军事	合计
男生
女生	15
合计

$α$	$0.01$	$0.005$	$0.001$
$x_{α}$	$6.635$	$7.879$	$10.828$