广东省湛江市2026届高三普通高考测试(一)数学试题

试卷更新日期：2026-02-05 类型：高考模拟

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合 $A = \{x |\lg x < 1\}, B = \{x |x > 2\}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $(2, + \infty)$ B、 $(2, 10)$ C、 $(0, 10)$ D、 $(0, + \infty)$

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2. 设复数 $z_{1}, z_{2}$ 在复平面内的点关于实轴对称， $z_{1} = 1 + i$ ，则 $\frac{z_{1}}{z_{2}} =$ （）

A、 $- i$ B、 $i$ C、 $- 1$ D、 $1$

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3. 设 $\vec{a}, \vec{b}$ 为单位向量，且 $|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{2}$ ，则 $|\vec{a} + \vec{b}| =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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4. 若 $x_{1} = \frac{π}{3}, x_{2} = \frac{2 π}{3}$ 是函数 $f (x) = \sin (ω x + φ) (ω > 0)$ 的两个相邻的零点，则 $ω =$ （）

A、3 B、4 C、5 D、6

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5. 某次展览会有4个核心主题，已知每个主题下有2个案例，现需从8个案例中随机抽取4个案例进行重点演示，则抽出的4个案例中，恰好包含某一个主题下的2个案例，而另外2个案例来自两个不同主题的抽取方案的种数为（）

A、120 B、96 C、48 D、24

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6. 在数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 1, a_{n + 1} = \sqrt{a_{n}^{2} + 1}$ ，令 $b_{n} = \frac{1}{a_{n + 1} + a_{n}}$ ，则数列 $\{b_{n}\}$ 的前15项的和为（）

A、2 B、3 C、 $\sqrt{15}$ D、4

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7. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为4，其中 $\vec{A_{1} E} = 3 \vec{E D_{1}}$ ，点F为 $B_{1} C_{1}$ 的中点，则点C到平面 $B E F$ 的距离为（）

A、 $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{8 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{16 \sqrt{21}}{21}$ D、 $\frac{4 \sqrt{17}}{17}$

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8. 已知不等式 $2 x - m \ln x + 1 \geq 2 \ln x + n$ （ $m, n \in R$ ，且 $m \neq - 2$ ）对任意正实数x恒成立，则 $\frac{n - 5}{m + 2}$ 的最大值为（）

A、 $\ln 2$ B、1 C、 $- 1$ D、 $- \ln 2$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. 一组互不相等的数据从小到大排列为 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{6}$ ，去掉 $x_{1}$ 后，则下列选项正确的有（）

A、极差变大 B、平均数变大 C、中位数变小 D、 $80 %$ 分位数变大

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10. 已知 $g (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数，两个函数的定义域均为 $R$ ， $f (x)$ 为偶函数，且 $f (2 x - 1)$ 为奇函数，则下列选项一定正确的有（）

A、 $f (1) = 0$ B、 $f (4) = 0$ C、 $g (0) = 0$ D、 $g (1) = 0$

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11. 如图，已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，两条渐近线 $l_{1} : a y = b x, l_{2} : a y = - b x$ 互相垂直，点P是双曲线C右支上任意一点，则下列说法正确的是（）

A、双曲线C的离心率为 $\sqrt{2}$ B、存在点P，使得 $△ P F_{1} F_{2}$ 为等腰直角三角形 C、当 $k \in (- 1, 1)$ 时，直线 $l : y = k x + 1$ 与双曲线C一定有两个交点 D、 $\frac{|P F_{1}|}{|P F_{2}|}$ 的最大值为 $2 \sqrt{2} + 3$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 已知 $\tan (α + \frac{5π}{4}) = 2$ ，则 $\tan 2 α =$ ．

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13. 已知直线 $l_{1} : x + y + 3 = 0$ 和直线 $l_{2} : y = - 1$ ，则抛物线 $y = \frac{1}{4} x^{2}$ 上一动点P到直线 $l_{1}, l_{2}$ 的距离之和的最小值为．

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14. 某智力问答游戏的规则如下：游戏共有 $A, B$ 两类问题（每类问题的数量无限多，且不重复）．参加游戏的选手解答任意一道问题正确，则游戏结束；若解答错误，则按以下规则抽取一道问题进行解答：若解答的是A类问题，则抽取一道B类问题进行解答，若解答的是B类问题，则等可能地抽取一道A类或B类问题进行解答．如此循环，直到解答正确为止．已知甲解答 $A, B$ 两类问题的正确率分别是 $\frac{1}{4}, \frac{1}{3}$ ，且解答每道问题是相互独立的．若甲最先解答一道A类问题，则他通过解答B类问题结束游戏的概率是．

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四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 在 $△ A B C$ 中， $A B = \sqrt{3}, A C = \sqrt{7}, D$ 是 $B C$ 的中点， $∠ A D B = \frac{π}{3}$ ．

(1)、当 $B D = 2 A D$ 时，求 $\sin B$ 的值；

(2)、求 $△ A B C$ 的面积S．

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16. 某农作物的种植过程分为育苗与移栽两个环节．在育苗环节，每粒种子的成活率为p．在育苗成功的条件下，对幼苗进行移栽，每株幼苗移栽的成活率为q．若该农作物育苗成功且移栽成活则认为种植成功．每粒种子种植是否成功互不影响．

(1)、若一粒种子种植成功的概率为 $\frac{1}{2}$ ，在育苗成功的条件下，移栽失败的概率为 $\frac{1}{4}$ ，现播撒300粒种子，设育苗成功的种子数量为 $ζ$ ，求 $E (ζ)$ ；

(2)、播撒6粒种子，设种植成功的数量为X，求 $X = 5$ 的概率P，并求P的最大值．

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17. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A B ⊥ A D, A B // D C, P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，且 $P A = A D = D C = 2 A B = 2$ ．过点A作平面 $α$ 与棱 $P B, P C, P D$ 交于点 $E, F, G$ ，其中 $\frac{P E}{P B} = \frac{2}{3}$ ，且点G为 $P D$ 的中点．

(1)、证明： $A G //$ 平面 $P B C$ ；

(2)、求 $\frac{P F}{P C}$ 的值；

(3)、求平面 $α$ 与平面 $A B C D$ 夹角的余弦值．

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18. 已知椭圆 $Γ : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右顶点分别为 $A, B$ ，其离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，且 $Γ$ 上的点到其中一个焦点的距离的最小值为 $2 - \sqrt{3}$ ，过点 $G (1, 0)$ 的直线交椭圆于 $C, D$ 两点，直线 $C B, D B$ 分别交直线 $l : x = 4$ 于点 $M, N$ ．

(1)、求椭圆 $Γ$ 的方程；

(2)、证明： $A, D, M$ 三点共线；

(3)、试问以 $M N$ 为直径的圆是否恒过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由．

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19. 已知 $f (x) = \frac{x + 1}{e^{x}}$ ，设 $y = f (x)$ 与 $y = x - n - 1 (n \in N^{*})$ 的图象位于第一象限的交点为 $P_{n} (x_{n}, y_{n})$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的最大值；

(2)、证明： $n + 1 < x_{n} < n + 1 + \frac{1}{n}$ ；

(3)、证明： $x_{n + 1} - x_{n} > \frac{e}{e + 1}$ ．

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