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相关试卷

1、为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐．已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选择，已知他第一天选择米饭套餐的概率为 $\frac{2}{3}$ ，而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为 $\frac{1}{4}$ ，前一天选择面食套餐后一天继续选择面食套餐的概率为 $\frac{1}{2}$ ，如此往复．
（1）求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率；
（2）记该同学第 $n$ 天选择米饭套餐的概率为 $P_{n}$ ．
（i）证明： $\{P_{n} - \frac{2}{5}\}$ 为等比数列；
（ii）证明：当 $n \geq 2$ 时， $P_{n} \leq \frac{5}{12}$ ．

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2、如图所示，某小区为美化环境，准备在小区内的草坪的一侧修建一条直路OC，另一侧修建一条休闲大道．休闲大道的前一段OD是函数 $y = k \sqrt{x} (k > 0)$ 的图象的一部分，后一段DBC是函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ)$ ( $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $| φ | < \frac{π}{2}$ ， $x \in [4, 8]$ )的图象，图象的最高点为 $B (5, \frac{8 \sqrt{3}}{3})$ ，且 $D F ⊥ O C$ ，垂足为点F．

(1)、求函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ)$ ( $x \in [4, 8]$ )的解析式；

(2)、若在草坪内修建如图所示的矩形儿童乐园PMFE，点P在曲线OD上，其横坐标为 $\frac{4}{3}$ ，点E在OC上，求儿童乐园的面积．

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3、已知函数 $f (x) = 2 s i n x c o s x + 2 \sqrt{3} {c o s}^{2} x - \sqrt{3}$ ．
$(1)$ 求函数 $f (x)$ 的单调减区间；
$(2)$ 将函数 $y = f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位，再将所得的图象上各点的横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，纵坐标不变，得到函数 $y = g (x)$ 的图象，求 $y = g (x)$ 在 $(- \frac{π}{12}, \frac{π}{8})$ 上的值域．

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4、已知 $\sin \frac{x}{2} - 2 \cos \frac{x}{2} = 0$ .
（1）求 $\tan x$ 的值；
（2）求 $\frac{\cos 2 x}{\cos (\frac{5 π}{4} + x) \sin (π + x)}$ 的值.

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5、已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别是 $a, b, c$ ，若 $c = 2 b cos A$ ， $a sin A - b sin B = c (sin C - sin B)$ ，则角 $B$ 为.

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6、已知向量 $\vec{a} = (3, m)$ ， $\vec{b} = (n, 1)$ ， $\vec{a} - 2 \vec{b} = (- 1, 2)$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $\vec{a} // (3 \vec{a} + 2 \vec{b})$ B、 $(2 \vec{a} - 5 \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ C、 $cos ⟨\vec{a}, \vec{b}⟩ = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、 $|\vec{a}| = \sqrt{5} |\vec{b}|$

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7、如图是函数 $y = 2 \sin (ω x + φ) (| φ | < \frac{π}{2})$ 的图象，那么（）

A、 $ω = \frac{10}{11}, φ = \frac{π}{6}$ B、 $ω = \frac{10}{11}, φ = - \frac{π}{6}$ C、 $ω = 2, φ = \frac{π}{6}$ D、 $ω = 2, φ = - \frac{π}{6}$

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8、已知 $\frac{tan α}{tan α - 1} = - 1$ ，则 ${sin}^{2} α + sin α cos α + 2 =$ （）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{12}{5}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{13}{5}$

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9、四边形 $A B C D$ 中， $A B / / C D$ ， $∠ A = 90^{\circ}, A B = 2 A D = 2 D C, \vec{B C} = 3 \vec{E C}, \vec{A E} = 2 \vec{A F}$ ，则下列表示正确的是（）

A、 $\vec{C B} = - \frac{1}{2} \vec{A B} + \vec{A D}$ B、 $\vec{A F} = \frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A D}$ C、 $\vec{C F} = \frac{1}{6} \vec{A B} - \frac{2}{3} \vec{A D}$ D、 $\vec{B F} = - \frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A D}$

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10、已知f （x）是定义在R上的偶函数，且当 $x \in (- \infty, 0]$ 时， $f (x) = x^{2} - \sin x$ ，则当 $x \in [0, + \infty)$ 时， $f (x) =$ （）

A、 $x^{2} + \sin x$ B、 $- x^{2} - \sin x$ C、 $x^{2} - \sin x$ D、 $- x^{2} + \sin x$

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11、设 $z = 3 - 2 i$ ，则在复平面内 $\bar{z}$ 对应点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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12、下面命题中，正确的是（）

A、若 $|\vec{a}| = |\vec{b}|$ ，则 $\vec{a} = \vec{b}$ B、若 $|\vec{a}| > |\vec{b}|$ ，则 $\vec{a} > \vec{b}$ C、若 $\vec{a} = - \vec{b}$ ，则 $\vec{a} / / \vec{b}$ D、若 $|\vec{a}| = 0$ ，则 $\vec{a} = 0$

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13、对于数列 $\{a_{n}\}$ ，若存在正整数 $T$ ，使得从数列 $\{a_{n}\}$ 的第 $N$ 项起，恒有 $a_{n + T} = a_{n} (n \geq N)$ 成立，则称数列 $\{a_{n}\}$ 为第 $N$ 项起的周期为 $T$ 的周期数列．

(1)、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n} a_{n + 1} a_{n + 2} = 3 (a_{n} + a_{n + 1} + a_{n + 2})$ ，且 $a_{n} a_{n + 1} \neq 3$ ，证明：3是 $\{a_{n}\}$ 的一个周期．

(2)、已知数列 $\{b_{n}\}, b_{1} = - a, b_{2} = b$ （其中 $a, b \geq 0$ ， $a, b$ 不全为0）， $b_{n + 2} = |b_{n + 1}| - b_{n} (n \geq 1)$ ，证明：存在正整数 $N$ ，使得 $n \geq N$ 时， $b_{n + T} = b_{n} (n \geq N)$ 成立，并求出满足条件的一个周期 $T$ ．

(3)、已知数列 $\{c_{n}\}, c_{1} = 3, c_{n + 1} = \frac{3 + c_{n}}{1 - 3 c_{n}}$ ，求证： $\{c_{n}\}$ 不是周期数列．

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14、已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，且过点 $(2, 0)$ ．

(1)、求椭圆 $E$ 的标准方程；

(2)、已知点 $P (4, 0), G (1, 0)$ ，过点 $P$ 作直线 $l$ （不与 $x$ 轴重合）交椭圆 $E$ 于 $A, B$ ，连接 $B G$ 交 $E$ 于点 $C$ ，连接 $A C$ ，直线 $A C$ 与 $x$ 轴交于点 $H$ ．
（i）求 $\frac{|A H|}{|A C|}$ 的值；
（ii）若点 $A$ 在线段 $B P$ 上，求 $\frac{S_{△ G C P}}{S_{△ G B P}}$ 的取值范围．

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15、已知函数 $f (x) = x e^{x - 1} - k (x - 1) + e, k \in R, e = 2.71828 \dots$ 为自然对数的底数．

(1)、当 $k = e$ 时，求函数 $f (x)$ 在点 $(2, f (2))$ 处的切线方程；

(2)、若不等式 $f (x) \geq 0$ 对任意 $x \in [- 2, + \infty)$ 恒成立，求 $k$ 的取值范围．

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16、在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A = B C = \sqrt{2}, P B = A C = 2, A B = \sqrt{6}$ ， $D$ 为 $A C$ 的中点．

(1)、求证： $A B ⊥ P D$ ；

(2)、若二面角 $P - A B - C$ 的大小为 $\frac{π}{3}$ ，求直线 $A C$ 与平面 $P B C$ 所成的角．

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17、已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} \sin x \cos x + \frac{\tan^{2} x - 1}{\tan^{2} x + 1}$ ．

(1)、化简 $f (x)$ ，并求 $f (- \frac{π}{12})$ 的值；

(2)、在锐角 $△ A B C$ 中，内角 $A$ 满足 $f (A) = \frac{2}{3}$ ，求 $\cos 2 A$ 的值．

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18、生活中经常会统计一列数据中出现不同数据的个数．设 $c_{k} \in \{1, 2, 3, 4, 5\}$ ，对于有序数组 $(c_{1}, c_{2}, c_{3}, c_{4}, c_{5})$ ，记 $R (c_{1}, c_{2}, c_{3}, c_{4}, c_{5})$ 为 $c_{1}, c_{2}, c_{3}, c_{4}, c_{5}$ 中所包含的不同整数的个数，比如： $R (1, 1, 2, 2, 2) = 2$ ， $R (2, 1, 3, 4, 4) = 4$ ．当 $(c_{1}, c_{2}, c_{3}, c_{4}, c_{5})$ 取遍所有的 $5^{5}$ 个有序数组时， $R (a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5})$ 的总和为．

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19、已知复数 $z$ 满足 $|z - 1 + 2 i| = 3$ ，则 $|z|$ 的最小值为．

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20、在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $P$ 为面 $A_{1} A D D_{1}$ 内以 $A D$ 为直径的半圆上的动点，则（）

A、 $B P$ 的最大值为 $2 \sqrt{2}$ B、 $B P$ 与平面 $A B C D$ 所成角的最大值的正弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ C、 $\vec{P B} \cdot \vec{P D_{1}}$ 的最小值为 $- 2$ D、二面角 $P - B_{1} D_{1} - A_{1}$ 的最小值的正切值为 $\frac{3}{4} \sqrt{2}$

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