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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = A cos (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 部分图像如图所示，则下列说法中正确的是（）

A、 $f (x)$ 的图像关于直线 $x = \frac{7 π}{12}$ 对称 B、 $f (x)$ 的图像关于点 $(\frac{5 π}{6}, 0)$ 对称 C、将函数 $y = \sqrt{3} sin 2 x - cos 2 x$ 的图像向左平移 $\frac{π}{2}$ 个单位得到函数 $f (x)$ 的图像 D、若方程 $f (x) = m$ 在 $[- \frac{π}{2}, 0]$ 上有两个不相等的实数根，则实数 $m$ 的取值范围是 $[- 2, - \sqrt{3}]$

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2、已知函数 $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$ ，对任意 $x \in [\frac{1}{3}, \frac{3}{5}]$ ，都有 $f (x) + f (4 x - a) \leq 0$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $[1, 4]$ B、 $[2, 5]$ C、 $[3, 4]$ D、 $[3, 5]$

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3、在四边形 $A B C D$ 中，已知 $A B^{2} + B C^{2} + C D^{2} + D A^{2} = A C^{2} + B D^{2}$ ，若 $A B = 3, A D = 4, A C = 6$ ，则 $B D$ 的长度为（）

A、4 B、 $2 \sqrt{3}$ C、5 D、 $\sqrt{14}$

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4、对空间中的非零向量 $\vec{a_{i}} (1 \leq i \leq m)$ ，记向量 $\vec{a_{i}}$ ，与 $\vec{a_{j}}$ 的夹角为 $⟨\vec{a_{i}}, \vec{a_{j}}⟩$ ，对 $\forall i \neq j, \cos ⟨\vec{a_{i}}, \vec{a_{j}}⟩ \leq 0$ ，则 $m$ 的最大值是（）

A、5 B、6 C、7 D、8

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5、已知 $\tan α = 3 \tan β$ ，则 $\frac{\sin (α + β)}{\cos (α - β)}$ 的最大值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ C、1 D、 $\frac{2}{3}$

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6、已知函数 $f (x) = \frac{\ln |2 a + \frac{2}{1 - x}|}{x}$ 为偶函数，则 $a =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{2}$

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7、在平面直角坐标系中，动点 $P (x, y)$ 满足方程 $|\sqrt{{(x + 2 \sqrt{6})}^{2} + y^{2}} - \sqrt{{(x - 2 \sqrt{6})}^{2} + y^{2}}| = 4$ ，则动点轨迹的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ B、2 C、 $\sqrt{6}$ D、 $2 \sqrt{6}$

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8、已知集合 $A = \{x |x^{2} - 4 x + 3 \leq 0\}, B = \{x |1 < 3^{x} < 9\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{x |1 \leq x \leq 2\}$ B、 $\{x |1 < x \leq 2\}$ C、 $\{x |1 \leq x < 2\}$ D、 $\{x |0 \leq x < 2\}$

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9、已知随机变量 $X ~ N (4, 9)$ ，则 $D (X) =$ （）

A、2 B、3 C、4 D、9

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10、如图所示，设 $O x$ ， $O y$ 是平面内相交成 $θ (0 < θ < π)$ 角的两条数轴， $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 分别是与x，y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系 $x O y$ 为 $θ$ 仿射坐标系，若在 $θ$ 仿射坐标系下 $\vec{O M} = a \vec{e_{1}} + b \vec{e_{2}}$ ，则把有序数对 $(a, b)$ 叫做向量 $\vec{O M}$ 的仿射坐标，记为 $\vec{O M} = (a, b)$ .若 $\vec{O M} = (a, b)$ 满足 $sin (θ a) = sin (θ b) = \frac{θ}{π}$ ，则称 $\vec{O M} = (a, b)$ 是 $θ$ 仿射坐标系下的“完美向量”，已知在 $θ$ 仿射坐标系下 $\vec{O A} = (3, 1)$ ， $\vec{O B} = (1, 1)$ .

(1)、若 $θ = \frac{π}{2}$ ，求向量 $\vec{O A} - \vec{O B}$ 的仿射坐标，并写一个“完美向量”的仿射坐标（不需要说明理由）；

(2)、当 $θ = \frac{π}{3}$ 时， $\vec{O M} = (a, b)$ 是 $θ$ 仿射坐标系下的“完美向量”，且 $0 < a < b < \frac{π}{θ}$ ，求 $sin (\frac{π}{6} (b - a))$

(3)、设 $∠ A O B = α$ ，若 $|\vec{O A} - t \vec{O B}| \geq \sqrt{3}$ 对 $\forall t \in R$ 恒成立，求 $cos α$ 的最大值.

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11、如图，直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $B B_{1} = 3, A B = A C = 2, M, N$ 分别为棱 $B B_{1}$ ， $C C_{1}$ 上的点， $P$ 为 $A_{1} C_{1}$ 的中点，且 $B M = N C_{1} = 2$ .

(1)、求证： $B A_{1}$ $∥$ 平面 $M N P$ ；

(2)、当三棱锥 $A_{1} - A B C$ 的体积最大时，求平面 $M N P$ 与平面 $A B C$ 夹角的余弦值.

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12、在数列 ${a_{n}}$ 中，若 $a_{n} \in N^{*}$ ，且 $a_{n + 1} = \{\begin{matrix} \frac{a_{n}}{2}, & a_{n} 是偶数 \\ a_{n} + 3, & a_{n} 是奇数 \end{matrix}$ ， $(n = 1, 2, 3, \dots)$ 则称 ${a_{n}}$ 为“ $J$ 数列”，设 ${a_{n}}$ 为“ $J$ 数列”，记 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ .

(1)、若 $a_{1} = 10$ ，求 $S_{3}$ ， $S_{6}$ ， $S_{9}$ 的值；

(2)、若 $S_{3} = 17$ ，求 $a_{1}$ 的值.

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13、欧拉公式 $e^{i θ} = \cos θ + isin θ$ （e为自然对数的底数，i为虚数单位）是瑞士著名数学家欧拉发明的， $e^{iπ} + 1 = 0$ 是英国科学期刊《物理世界》评选出的十大最伟大的公式之一.根据欧拉公式可知，复数 $e^{\frac{π}{3} i}$ 虚部为.

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14、下列命题为假命题的有（）

A、若 $x > y$ ，则 $\sin x > \sin y$ B、若 $\cos α = \cos β$ ，则 $α = β + 2 k π$ ， $k \in Z$ C、函数 $f (x) = \sqrt{3} \cos 2 x - \sin 2 x$ 在区间 $(0, \frac{π}{4})$ 上单调递减 D、函数 $y = 2 - \cos^{2} x + \frac{4}{\sin^{2} x}$ 的最小值为5

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15、已知点 $A (- 2 \sqrt{3}, 0)$ ， $C$ ， $D$ 是 $⊙ O : x^{2} + y^{2} = 16$ 与 $x$ 轴的交点．点 $B$ 满足：以 $A B$ 为直径的圆与 $⊙ O$ 相切，则 $△ B C D$ 面积的最大值为（）

A、 $4 \sqrt{3}$ B、8 C、12 D、16

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16、在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 4, A D = 3, E$ 为边 $A D$ 上的一点， $D E = 1$ ，现将 $△ A B E$ 沿直线 $B E$ 折成 $△ A^{'} B E$ ，使得点 $A^{'}$ 在平面 $B C D E$ 上的射影在四边形 $B C D E$ 内（不含边界），设二面角 $A^{'} - B E - C$ 的大小为 $θ$ ，直线 $A^{'} B, A^{'} C$ 与平面 $B C D E$ 所成的角分别为 $α, β$ ，则（）

A、 $β < α < θ$ B、 $β < θ < α$ C、 $α < θ < β$ D、 $α < β < θ$

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17、已知函数 $f (x) = (x - 1 - m) e^{x} - \frac{1}{2} x^{2} + m x$ 的极小值点为0，则m的取值范围是（）

A、 $(- \infty, 0)$ B、 $(- \infty, 0]$ C、 $(0, + \infty)$ D、 $\{0\}$

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18、若 $α \in [0, 2 π]$ 且 $\sqrt{\frac{1 + \cos α}{2}} + \sqrt{\frac{1 - \cos α}{2}} = \sin \frac{α}{2} - \cos \frac{α}{2}$ ，则 $α$ 的取值范围是（）.

A、 $[0, π]$ B、 $[\frac{π}{2}, π]$ C、 $[π, 2 π]$ D、 $[\frac{3 π}{2}, 2 π]$

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19、已知 $f (x) + f (1 - x) = 2$ ， $a_{n} = f (0) + f (\frac{1}{n}) + \dots + f (\frac{n - 1}{n}) + f (1)$ ，则数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式为（）

A、 $a_{n} = n + 1$ B、 $a_{n} = 2 n + 1$ C、 $a_{n} = 2 n + 2$ D、 $a_{n} = 4 n + 2$

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20、角 $α$ 的终边落在射线 $y = 3 x (x \leq 0)$ 上，则 $cos α$ 的值为（）

A、 $- \frac{\sqrt{10}}{10}$ B、 $- \frac{3 \sqrt{10}}{10}$ C、 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ D、 $\frac{3 \sqrt{10}}{10}$

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