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相关试卷

1、若集合 $A = \{x | ln (\frac{x}{3} - 1) < 0, x \in N^{*}\}$ ，集合 $B = \{x | x^{2} - 5 x - 6 < 0\}$ ，则 $A \cap B$ 的非空真子集个数为（）

A、 $1$ B、 $2$ C、 $3$ D、 $4$

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2、已知复数 $z = 1 + 2i$ ，则 $(z - \bar{z}) z =$ （）

A、 $4 + 8 i$ B、 $4 - 8 i$ C、 $4 i - 8$ D、 $4 i + 8$

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3、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的左，右顶点分别为 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ，过C的右焦点 $F (2, 0)$ 的直线 $l$ 与 $C$ 的右支交于 $P, Q$ 两点.当 $l$ 与 $x$ 轴垂直时， $∠ P A_{1} F = \frac{π}{4}$ .

(1)、求C的方程；

(2)、直线 $A_{1} P$ ， $A_{1} Q$ 与直线 $x = 1$ 的交点分别为 $M, N$ ， $E$ 为 $A_{2} M$ 的中点.
（i）求 $| M N |$ 的最小值；
（ii）证明：点 $A_{2}$ 关于直线 $E F$ 对称的点在 $l$ 上.

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4、如图，在多面体 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $△ A B C$ 为正三角形， $A A_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ， $B B_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ， $C C_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A A_{1} < B B_{1} < C C_{1}$ ， $O$ ， $O_{1}$ 分别为 $△ A B C$ 与 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 的重心.

(1)、求证： $B B_{1} / / O O_{1}$ ，且平面 $A A_{1} C_{1} C ⊥$ 平面 $B B_{1} O_{1} O$ ；

(2)、若 $A B = A A_{1} = 2$ ， $B B_{1} = 3$ ，直线 $A_{1} C_{1}$ 与平面 $A B C$ 所成的角为 $\frac{π}{4}$ ，求 $C_{1}$ 到平面 $A O_{1} C$ 的距离.

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5、已知函数 $f (x) = (a - x) e^{x}$ ， $a \in R$ ．

(1)、若 $a = 2$ ，求曲线 $y = f (x)$ 的斜率为1的切线方程；

(2)、若不等式 $f (x) > 1 - x$ 没有整数解，求实数 $a$ 的取值范围．

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6、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $b = 2$ .

(1)、若 $\frac{sin C}{sin B} = \frac{\sqrt{10}}{2}, cos C = \frac{1}{4}$ ，求 $a$ ；

(2)、若 $a^{2}, b^{2}, c^{2}$ 依次成等差数列，求 $△ A B C$ 面积的最大值.

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7、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} a x - ln x - 1, x > 0 \\ - 2 x^{3} - a x^{2} + 1, x \leq 0 \end{array}$ ， $\forall x \in (0, + \infty)$ ，有 $f (x) \cdot f (- x) \geq 0$ 恒成立，则 $a$ 的取值范围是．

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8、若 $λ sin 160^{\circ} + tan 20^{\circ} - \sqrt{3} = 0$ ，则实数 $λ$ 的值为．

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9、已知 $i$ 为虚数单位，若 $(1 - i) (2 + a i)$ 是纯虚数，则实数 $a =$ ．

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10、已知函数 $f (x) = - a x^{3} + 3 x^{2} + 1$ ，则下列命题中正确的是（）

A、0是 $f (x)$ 的极小值点 B、当 $- 1 < a < 0$ 时， $f (a - 1) < f (a)$ C、若 $a = 1$ ，则 $f (- 2022) + f (- 2023) + f (2024) + f (2025) = 12$ D、若 $f (x)$ 存在极大值点 $x_{1}$ ，且 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ ，其中 $x_{1} \neq x_{2}$ ，则 $x_{1} + 2 x_{2} = 0$

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11、已知 $F_{1}, F_{2}$ 是椭圆 $C : \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左、右焦点， $P$ 为 $C$ 上第一象限内一点， $∠ F_{1} P F_{2}$ 的平分线 $l$ 经过抛物线 $x^{2} = - 2 y$ 的焦点，且与 $x$ 轴交于点 $M$ ，则 $\frac{|F_{1} M|}{|M F_{2}|} =$ （）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{5}{2}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、 $\frac{5}{3}$

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12、已知多面体 $A B C E F$ ， $D$ 为边 $A B$ 的中点，四边形 $E F D C$ 为矩形，且 $D F ⊥ A B$ ， $A C = B C = 3$ ， $∠ A C B = 120^{\circ}$ ，当 $A E ⊥ B E$ 时，多面体 $A B C E F$ 的体积为（）

A、 $\frac{9 \sqrt{6}}{4}$ B、 $\frac{9 \sqrt{3}}{8}$ C、 $\frac{9 \sqrt{6}}{8}$ D、 $\frac{9 \sqrt{3}}{4}$

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13、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{10} = 19$ ， $\frac{S_{7}}{a_{4} + 7} = \frac{7}{2}$ ，则数列 $\{a_{n} \cdot cos n π\}$ 的前51项和为（）

A、26 B、 $- 26$ C、51 D、 $- 51$

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14、君子六艺包括礼、乐、射、御、书、数，这些技能不仅是周朝贵族教育的重要组成部分，也对后世的教育体系产生了深远影响.某校国学社团周末开展“六艺”课程讲座活动，一天连排六节，每艺一节，则“礼”与“乐”之间最多间隔一艺的不同排课方法总数有（）

A、432种 B、486种 C、504种 D、540种

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15、锐角 $△ A B C$ 的内角 $A, B$ 的对边分别为 $a, b$ ，则“ $a > b$ ”是“ $t a n A > t a n B$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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16、设集合 $A = \{0, 1, 2, 3\}, B = \{x |x^{2} - x - 6 < 0\}$ ，则 $A \cap B$ 中元素的个数为（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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17、设函数 $f (x) = a ln (x + 2) + \frac{1}{2} (x^{2} - 1)$ （a为非零常数）

(1)、若曲线 $f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线经过点 $(1, \ln 2)$ ，求实数 $a$ 的值；

(2)、讨论函数 $y = f (x)$ 的单调性.

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18、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $a_{1} = 2$ ，且对于任意正整数 $n$ ，均有 $n a_{n + 1} - (n + 1) a_{n} = n (n + 1)$ ．

(1)、设 $b_{n} = \frac{a_{n}}{n}$ ，证明： $\{b_{n}\}$ 为等差数列；

(2)、设 $c_{n} = \frac{b_{n}}{2^{b_{n}}}$ ， $S_{n}$ 为数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和， $T_{n}$ 为数列 $\{c_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，若 $\frac{3}{2} - T_{n} \leq \frac{k (n + 3)}{S_{n}}$ 对任意的 $n \in N^{*}$ 恒成立，求 $k$ 的取值范围．

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19、已知函数 $f (x) = e^{x} \cdot (\frac{1}{x} - ln x + a)$ ，其中 $a \in R$ ．

(1)、若 $f^{'} (1) = e$ ，求 $a$ 的值；

(2)、若函数 $f (x)$ 在定义域内单调递减，求 $a$ 的取值范围．

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20、已知函数 $f (x) = 2 x^{2} - x$ ，

(1)、若数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = f (n)$ ，求数列的通项公式 $a_{n}$ ；

(2)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $P (1, f (1))$ 处的切线方程．

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