湖南省常德市石门县第一中学2025-2026学年高一上学期元月份阶段性检测数学试题

试卷更新日期：2026-01-15 类型：月考试卷

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一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 已知集合 $A = \{x ||x - 2| \leq 5\}$ ， $B = \{x |x^{2} - 5 x - 6 > 0\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- 1, 6)$ B、 $(- 3, - 1) \cup (6, 7)$ C、 $[- 3, - 1) \cup (6, 7]$ D、 $[- 3, 7]$

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2. 已知点 $P (\sin α, \cos α)$ 是第四象限的点，则角 $α$ 的终边位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 函数 $y = \sqrt{2 \sin x - 1}$ 的定义域为（）

A、 $[2 k π + \frac{π}{6} ， 2 k π + \frac{5 π}{6}] (k \in Z)$ B、 $[2 k π + \frac{π}{6} ， 2 k π + \frac{2 π}{3}] (k \in Z)$ C、 $[2 k π + \frac{π}{3} ， 2 k π + \frac{5 π}{6}] (k \in Z)$ D、 $[2 k π + \frac{π}{3} ， 2 k π + \frac{2 π}{3}] (k \in Z)$

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4. 已知半径为 $\sqrt{3}$ 的扇形面积为3，则扇形的圆心角为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、2

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5. 若函数 $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x}$ ，函数 $f (x)$ 与函数 $g (x)$ 图象关于 $y = x$ 对称，则 $g (4 - x^{2})$ 的单调减区间是（）

A、 $[- 2, 0)$ B、 $(- 2, 0]$ C、 $(0, 2]$ D、 $[0, 2)$

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6. $f (x) = |lg |x||$ ，下列说法不正确的是（　　）

A、 $f (x)$ 是偶函数 B、 $f (x)$ 有最小值，没有最大值 C、 $f (x)$ 有4个零点 D、 $f (x)$ 在 $(- \infty, - 1)$ 和 $(0, 1)$ 单调递减

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7. 已知函数 $f (x)$ 在 $[2, + \infty)$ 上是增函数， $y = f (x + 2)$ 关于y轴对称，若 $f (t) - f (3 - 2 t) > 0$ 成立，则实数t的取值范围是（）

A、 $(- 1, 1)$ B、（1，3） C、 $(- \infty, - 1) \cup (1, + \infty)$ D、 $(- \infty, 1) \cup (3, + \infty)$

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8. 已知函数 $f (x) = x |x - \frac{a^{2}}{x}| - 2 a^{2} x$ ，若当 $1 < x < 2$ 时， $f (x) < 0$ ，则实数a的取值范围是（）

A、 $（ - \infty, - \frac{2 \sqrt{5}}{5}] \cup [\frac{2 \sqrt{5}}{5}, + \infty)$ B、 $（ - \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3}] \cup [\frac{\sqrt{3}}{3}, + \infty)$ C、 $[- \frac{2 \sqrt{5}}{5}, \frac{\sqrt{3}}{3}]$ D、 $[- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{2 \sqrt{5}}{5}]$

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二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得2分/选项，有选错的得0分）

9. 已知函数 $y = f (x)$ 的对应关系如下表所示，函数 $y = g (x)$ 的图象是如图所示的曲线 $A B C$ ，若 $g (f (x) + 2) = 2$ ，则 $x$ 的值可能为（）
$x$
$- 2$
$- 1$
0
1
2
3
4
$f (x)$
0
2
1
2
0
3
1

A、 $- 2$ B、0 C、2 D、4

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10. 已知函数 $f (x) = t a n (2 x - \frac{π}{4})$ ，则下列命题中正确的有（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $\frac{π}{2}$ B、 $f (x)$ 的定义域为 ${x | x \in R ， x \neq \frac{k π}{2} + \frac{π}{8}} (k \in Z)$ C、 $f (x)$ 图象的对称中心为 $(\frac{k π}{4} + \frac{π}{8} ， 0)$ ， $k \in Z$ D、 $f (x)$ 的单调递增区间为 $(\frac{k π}{2} - \frac{π}{8} ， \frac{k π}{2} + \frac{3 π}{8})$ ， $k \in Z$

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11. 已知函数 $f (x) = \ln (\sqrt{1 + 4 x^{2}} - 2 x) + 4$ ，则下列说法正确的有（）

A、函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(0, 4)$ 对称 B、 $f (\ln 3) + f (\ln \frac{1}{3}) = 8$ C、若函数 $g (x) = f (x) - 4$ ，则 $g (x)$ 在定义域上单调递增 D、若实数 $a$ ， $b$ 满足 $f (a) + f (b) > 8$ ，则 $a + b < 0$

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三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）

12. 已知函数 $f (x) = \tan (ω x - \frac{π}{3}) (ω > 0)$ ，若 $f (x)$ 的周期为 $π$ ，则 $f (2024 π) =$ .

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13. 若命题“对任意 $x \in [- \frac{π}{4}, \frac{π}{4}]$ ，函数 $y = \sin x + \tan x$ 的值恒小于 $m$ ”为假命题，则 $m$ 的取值范围为．

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14. 已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} x^{2} + 2 x + 2, x \leq 0 \\ |\ln x - 1|, x > 0 \end{cases}$ ，若关于x的方程 $a {[f (x)]}^{2} - (3 a + 1) f (x) + 5 = 0$ 有6个不相等的实数根，则实数a的取值范围为.

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四、解答题（本题共5小题.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）

15. 已知 $\frac{2 sin (π - x) - sin (\frac{π}{2} + x)}{5 cos (\frac{3 π}{2} + x) + 3 cos (2 π - x)} = \frac{3}{13}$ .

(1)、求 $tan x$ 的值；

(2)、若 $sin x, cos x$ 是方程 $x^{2} - m x + n = 0$ 的两个根，求 $m^{2} + 3 n$ 的值.

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16. 已知 $f (x) = \frac{\sqrt{2}}{2} sin (- 2 x - \frac{π}{4}) + 2$ ．

(1)、 $f (x)$ 的对称轴方程；

(2)、 $f (x)$ 的单调递增区间；

(3)、若方程 $f (x) - m + 1 = 0$ 在 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ 上有解，求实数m的取值范围．

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17. 已知关于 $x$ 的函数 $f (x) = 4^{x} + m \cdot 2^{x} + 1$ ，定义域为 $(- 1, 1]$

(1)、当 $m = - 1$ 时，求函数 $g (x) = f (x) - 3$ 的零点；

(2)、若函数 $f (x)$ 有零点，求 $m$ 的取值范围．

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18. 已知函数 $f (x) = {log}_{2} (1 + 2^{x}) - \frac{1}{2} x$ .

(1)、判断 $f (x)$ 的奇偶性并证明；

(2)、若函数 $F (x) = m \cdot 2^{f (x) + \frac{1}{2} x} + 4^{x}$ ，请判断是否存在实数 $m$ 使得 $F (x)$ 有两个零点，其中一个在 $(0, 1)$ 之间，另一个在 $(1, {log}_{2} 3)$ 之间，若存在，求出 $m$ 的取值范围；若不存在，请说明理由；

(3)、若函数 $G (x) = n \cdot 4^{x} - 2^{f (x) + \frac{1}{2} x} - 2 (n \geq 0)$ ，当 $x \in [{log}_{2} 3, {log}_{2} 5]$ 时，记 $G (x)$ 的最小值为 $h (n)$ ，求 $h (n)$ .

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19. 定义：对于函数 $f (x)$ ， $x \in D$ ，若存在闭区间 $[a, b] \subseteq D$ 和常数 $c$ ，使得对 $\forall x \in [a, b]$ ，都有 $f (x) = c$ ，且对 $\forall x \in D$ ，当 $x \notin [a, b]$ 时， $f (x) > c$ 恒成立，则称函数 $f (x)$ 为区间 $D$ 上的“凹平函数”.

(1)、若函数 $g (x) = |x - 1| + |x - 2|$
（i）证明： $g (x)$ 是 $R$ 上的“凹平函数”；
（ii）对于 $\forall m > 0$ ， $n > 0$ ，且满足 $m + n = 1$ ，若 $\frac{4}{2 m + n} + \frac{16}{n + 2} \geq g (x)$ 恒成立，求实数 $x$ 的取值范围；

(2)、若函数 $h (x) = s \cdot 2^{x} + \sqrt{4^{x + 1} - 2^{x + 1} + t}$ 是 $[- 3, + \infty)$ 上的“凹平函数”，求实数 $s$ ， $t$ 的值.

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$x$	$- 2$	$- 1$	0	1	2	3	4
$f (x)$	0	2	1	2	0	3	1